四元数体上的矩阵分解
|
摘要
本文以实数和复数域中关于矩阵分解和矩阵方程的既有理论为线索,研究四元数体上的矩阵分解和矩阵方程理论,把实数和复数域上部分关于矩阵分解和矩阵方程的结论推广到了四元数体上,得到了一些有意义的结果,深化了人们对四元数矩阵的认识,丰富了四元数矩阵理论。
本文的主要成果在于:
1.通过定义四元数矩阵的一种新的LU分解,将四元数矩阵的LU分解和复数矩阵的LU分解联系起来,结果获取了该新的LU分解存在性的判定条件和获取该分解的计算方法。
2.证明了四元数矩阵有唯一LDU分解的充分必要条件,把对复数矩阵进行Crout分解和Doolittle分解的实用算法推广到四元数矩阵上,并给出了算例。
3.把复数矩阵方程AXB=C的一些性质和结论逐一推广到四元数矩阵上。
在A和B中一个是实数矩阵另一个是自共轭阵的情况下,得到了四元数矩阵方程AXB=C有解的充分必要条件和解的构造。
We studys the theory of matrix decomposition and matrix equation over quaternion field, along the clues of the theory of matrix decomposition and matrix equation over real number field and complex number field. It gets some results and enrichs quaternion matrices theory.
The main results of this paper lie in:
1. By introducing a new LU decomposition of quaternion matrix, we establish the relationship between this new LU decomposition of quaternion matrix and the corresponding part of complex matrix. Consequently, we obtain this new LU decomposition existence determinant condition and obtain the method of calculation.
2. We give the necessary and sufficient condition of quaternion matrices to have unique LDU decompositions and build a kind of practical algorithm of matrix LU decompositions, over including Crout decompositions and Doolittle decompositions.
3. We extend some properties and conclusions of complex number matrix equation AXB = C over quaternion field and give the necessary and sufficient condition of which the quaternion matrix equation AXB = C can be solved. Moreover, we describe the structure of solutions of such an equation under circumstances that one of A and B is real matrix, other is self-conjugate matrix.
本文的主要成果在于:
1.通过定义四元数矩阵的一种新的LU分解,将四元数矩阵的LU分解和复数矩阵的LU分解联系起来,结果获取了该新的LU分解存在性的判定条件和获取该分解的计算方法。
2.证明了四元数矩阵有唯一LDU分解的充分必要条件,把对复数矩阵进行Crout分解和Doolittle分解的实用算法推广到四元数矩阵上,并给出了算例。
3.把复数矩阵方程AXB=C的一些性质和结论逐一推广到四元数矩阵上。
在A和B中一个是实数矩阵另一个是自共轭阵的情况下,得到了四元数矩阵方程AXB=C有解的充分必要条件和解的构造。
We studys the theory of matrix decomposition and matrix equation over quaternion field, along the clues of the theory of matrix decomposition and matrix equation over real number field and complex number field. It gets some results and enrichs quaternion matrices theory.
The main results of this paper lie in:
1. By introducing a new LU decomposition of quaternion matrix, we establish the relationship between this new LU decomposition of quaternion matrix and the corresponding part of complex matrix. Consequently, we obtain this new LU decomposition existence determinant condition and obtain the method of calculation.
2. We give the necessary and sufficient condition of quaternion matrices to have unique LDU decompositions and build a kind of practical algorithm of matrix LU decompositions, over including Crout decompositions and Doolittle decompositions.
3. We extend some properties and conclusions of complex number matrix equation AXB = C over quaternion field and give the necessary and sufficient condition of which the quaternion matrix equation AXB = C can be solved. Moreover, we describe the structure of solutions of such an equation under circumstances that one of A and B is real matrix, other is self-conjugate matrix.
引文
[1]肖尚彬.四元数矩阵的乘法及其可异性.力学学报,1984,(2)
[2]肖尚彬.多刚体开链系统运动的四元数算法.固体力学学报,1985,(4)
[3]张劲夫,蔡泰信.多偶四元数及其在刚体定位中的应用.黄淮学刊,1993,9(4):27-30
[4]#12
[5]王庆贵.四元数变换及其在空间机构位移分析中的应用.力学学报,1983,(1):54-55
[6]王庆贵.四元数矩阵在研究多刚体相对运动中的应用.北方交通大学学报,1987,(1):52-62
[7]王庆贵.四元数乘法的结构张量与四元数矩阵的张量表示.力学学报,1995,27(6):702-710
[8]丁光涛.偏振光的四元数表示.黄淮学刊,1993,9(1):43-48
[9]丁光涛.偏振器件的四元数表示.黄淮学刊,1993,9(2):23-30
[10]Shoemake K.Animating rotation with quaternion curves.Computer Gaphics.1985,19(3)
[11]施开达,马利庄.试论四元数与旋转矩阵的关系及其在计算机图形学中的应用.舟山师专学报(自然科学版),1997,(1):7-13
[12]张国良,曾静,邓方林.用四元数法提取加速度计三轴转台测试中的动态误差量.中国惯性技术学报,2000,8(3):70-73
[13]陈万春,肖业伦.矢阵与四元数的关系及其在飞行力学中的应用.宇航学报.1997,(1):23-30
[14]陈万春,肖业伦,赵丽红,邹辉.四元数的核心矩阵及其在航天器姿态控制中的应用.航空学报,2000,21(5):389-392
[15]Anderson.Inrariant nonnal models.Auu Statist,1975,(3):132-154
[16]滕成业,李绍明.四元数矩阵微分及其在精确分布上的应用.中山大学学报(自然科学版),1999,38(3):12-16
[17]李绍明,滕成业,王琪.四元数矩阵变元的带状多项式及其性质.中山大学学报(自然科学版),2000,39(4):19-22
[18]吴光磊,陈维桓.一个矩阵不等式及其几何应用.数学学报,1988,31(3):348-355
[19]邓辉.若干矩阵不等式及Riemann对称空间截面曲率估计.数学学报,1991,34(3):299-308
[20]华罗庚,万哲先.典型群.上海:上海科学技术出版社,1963
[21]Jacobson N.Theory of Ring.AMS Surveys No.2,1943
[22]Jacobson N.Lectures in Abstract Algebra Vol.2.Springer-Verlag,1964;中译本:抽象代数学,卷2.黄缘芳译.北京:科学出版社,1966
[23]Cohn P M.Skew Field Constructions.Cambridge University Press,1977
[24]Cohn P M.Free Rings and Their Relations.Academic Press,1985
[25]Cohn P M.Skew Field—Theory of general division rings.Cambridge University Press,1995
[26]谢邦杰.抽象代数学.上海:上海科学技术出版社,1982
[27]谢邦杰.Hadamard定理在四元数体上的推广.中国科学,1979,数学专辑(Ⅰ):88-93
[28]谢邦杰.体上特征矩阵的法式与弱法式存在定理.数学学报,1980,23:398-410
[29]谢邦杰.体上矩阵的特征根与标准形式的应用.数学学报,1980,23:522-533
[30]谢邦杰.自共轭四元数矩阵的行列式的展开定理及其应用.数学学报,1980,23:668-683
[31]谢邦杰.环与体上的矩阵及其两类广义Jordan形式.吉林大学自然科学学报,1978,1:21-46
[32]谢邦杰.体上矩阵的有理简化与Jordan形式的唯一性问题.吉林大学自然科学学报,1978,1:107-116
[33]谢邦杰.Cochran定理在任意体上的推广.吉林大学自然科学学报,1978,1:117-118
[34]谢邦杰.体上特征矩阵的简化形式的唯一性定理.吉林大学自然科学学报,1979.1:1-10
[35]谢邦杰.四元数自共轭矩阵与行列式.吉林大学自然科学学报,1980,2:19-35
[36]谢邦杰.任意体上可中心化矩阵的行列式.吉林大学自然科学学报,1980,3:1-33
[37]谢邦杰.关于自共轭四元数矩阵与行列式的几个定理.吉林大学自然科学学报,1982,1:1-7
[38]李文亮.四元数矩阵.长沙:国防科技大学出版社,2002
[39]庄瓦金.体上的矩阵理论导引.北京:科学出版社,2006
[40]张禾瑞.近世代数基础.北京:等教育出版社,1978
[41]程云鹏,张凯院,徐仲.矩阵论.西安:西北工业大学出版社,2000
[42]李庆扬,王能超,易大义.数值分析.北京:清华大学出版社,2001
[43]俞森,冯良贵.四元数矩阵的Gauss消去法及其应用.2006“数学技术应用科学”论文集,2006
[44]李乔.矩阵论八讲.上海:上海科学技术出版社,1988.
[45]陈龙玄.四元数体上的逆矩阵和重行列式的性质.中国科学(A辑),1991,(1):23-33
[46]冯良贵.四元数矩阵的列左秩.自然科学进展,2006,(05)
[47]李晓沛,顾广泽,杨红伏,王仙桃.关于自共轭四元数矩阵特征值的一个不等式.湖南大学学报(自然科学版),2000,(03)
[48]庄瓦金。分块的自共轭四元数矩阵的惯性与行列式.数学理论与应用,1987,(02)
[49]黄礼平.关于四元数矩阵乘积迹的不等式.数学理论与应用,1991,(Z1)
[50]李珊.关于四元数体矩阵的对角化定理.哈尔滨师范大学自然科学学报,2007,(04)
[51]张峥嵘.关于自共轭四元数矩阵的注记.南京师大学报(自然科学版),2002,(01)
[52]张锦川,李志伟,朱福胜.四元数方阵的GH合同标准形与同时对角化.泉州师范学院学报,2005,(06)
[53]周高岚,杨忠鹏.四元数矩阵弱圈积的特征值不等式.重庆师范学院学报(自然科学版),1996,(02)
[54]曾月迪,庄瓦金.四元数矩阵的加正定权广义逆.漳州师范学院学报(自然科学版),2006,(03)
[55]黄敬频.自共轭四元数矩阵Schur补的单调性.广西师院学报(自然科学版),1999,(04)
[56]许方官.四元数在建立波动方程中的应用.大学物理,2002,(03)
[57]许毛跃,张登成,李嘉林.四元数在欧拉方程中的应用研究.飞行力学,2002,(01)
[58]杨轶璐,徐心和.四元数在手术导航系统中的应用.东北大学学报(自然科学版),2005,(01)
[59]刘延斌,许晖,徐长吉,安源,王智,金光.四元数矩阵在航天相机像面位置求解中的应用.光学精密工程,2004,(02)
[60]刘永辉,姜同松,魏木生.四元数矩阵的奇异值分解及其应用.高等学校计算数学学报,2003,(04)
[61]周江华,苗育红,肖刚.捷联惯导系统初始四元数提取的新算法.飞行力学,2003,(03)
[62]金玲玲.四元数矩阵的中心化子.华南农业大学学报,1998,(04)
[63]夏铁成,张福振.关于实四元数矩阵数值半径的综述.锦州师范学院学报(自然科学版),2001,(04)
[64]夏铁成,张福振.关于实四元数矩阵数值半径的综述(续).锦州师范学院学报 (自然科学版),2002,(01)
[65]武永贵,王树勋,汪飞.四元数在方向角和多普勒频率同时估计中的应用.吉林大学学报(工学版),2005,(03)
[66]姜同松.四元数的一种新的代数结构.力学学报,2002,(01)
[67]黄敬频.关于四元数矩阵方程AX+YA=C的三种解.哈尔滨师范大学自然科学学报,2004,(01)
[68]王永超,马占营.惯量张量引入的四元数方法.洛阳师范学院学报,2002,(05)
[69]连德忠.四元数体上的范数理论和应用.闽西职业大学学报,2003,(02)
[70]吴世锦.四元数体上若干线性代数问题的显式.数学学报,2001,(05)
[71]连德忠.四元数向量和矩阵的秩.数学研究,2003,(03)
[72]李样明.四元数矩阵理论中的几个概念间的关系.数学学报,1998,(03)
[73]黄礼平.四元数体上方阵的标准形与矩阵方程AX+XB=D.新疆大学学报(自然科学版),1994,(01)
[74]CHEN Wanchun,XIAO Yelun.Vectrix and some of its properties suited to flight dynamics.Chinese Journal of Aeronautics.1996,9(2):92-97
[75]Paielli R A,Bach R E.Attitude control with realization of linear error dynamics.J Guidance,Control and Dynamics.1993,16(1):182-189
[76]Xie Bangjie.Normal Formula of the Charactedsfic Matrix and Weakly Normal Formula Existence Theorem.Acta Math.Sinica.1980,23(3):398-410
[77]Wang Shasheng,Tu Fengsheng.Extension of Vandermonde determinant and its applications to theory of control.Acta Mathematica Scientia.1984,4(3):329-337
[78]Chen Longxuan.Popularization of Cayley-Hamiltcn over Quaternion Field.Sci.Sinica.1991,36(17):1291-1293
[79]Chen Longxuan.Definition of determinant and cramer solution over quaternion field.Acta Math Sinica New Series.1991,7(2):171-180
[80]Bach R,Paielli R.Linearization of attitude-control error dynamics.IEEE Trans.on Automatic Control.1993,38(10):1521-1525
[81]Chen Longxuan.Inverse matrix and properties of double determinant over quaternion field.Science in China Series A.1991,34(5):528-540
[82]Tobias Dantzig.Number the Language of Science.London:George Allen & Unwin Ltd,1938;中译本:数科学的语言.苏仲湘译.北京:商务印书馆,1985:193
[83]A.Д.亚历山大洛夫.数学—它的内容、方法和意义.北京:科学出版社,1958
[84]徐渤.关于四元数矩阵方程的注记.国防科技大学第六届研究生学术活动节论文集,2006
[85]徐渤,冯良贵.四元数矩阵的一类LU分解.国防科技大学第七届研究生学术活动节论文集,2007
[2]肖尚彬.多刚体开链系统运动的四元数算法.固体力学学报,1985,(4)
[3]张劲夫,蔡泰信.多偶四元数及其在刚体定位中的应用.黄淮学刊,1993,9(4):27-30
[4]#12
[5]王庆贵.四元数变换及其在空间机构位移分析中的应用.力学学报,1983,(1):54-55
[6]王庆贵.四元数矩阵在研究多刚体相对运动中的应用.北方交通大学学报,1987,(1):52-62
[7]王庆贵.四元数乘法的结构张量与四元数矩阵的张量表示.力学学报,1995,27(6):702-710
[8]丁光涛.偏振光的四元数表示.黄淮学刊,1993,9(1):43-48
[9]丁光涛.偏振器件的四元数表示.黄淮学刊,1993,9(2):23-30
[10]Shoemake K.Animating rotation with quaternion curves.Computer Gaphics.1985,19(3)
[11]施开达,马利庄.试论四元数与旋转矩阵的关系及其在计算机图形学中的应用.舟山师专学报(自然科学版),1997,(1):7-13
[12]张国良,曾静,邓方林.用四元数法提取加速度计三轴转台测试中的动态误差量.中国惯性技术学报,2000,8(3):70-73
[13]陈万春,肖业伦.矢阵与四元数的关系及其在飞行力学中的应用.宇航学报.1997,(1):23-30
[14]陈万春,肖业伦,赵丽红,邹辉.四元数的核心矩阵及其在航天器姿态控制中的应用.航空学报,2000,21(5):389-392
[15]Anderson.Inrariant nonnal models.Auu Statist,1975,(3):132-154
[16]滕成业,李绍明.四元数矩阵微分及其在精确分布上的应用.中山大学学报(自然科学版),1999,38(3):12-16
[17]李绍明,滕成业,王琪.四元数矩阵变元的带状多项式及其性质.中山大学学报(自然科学版),2000,39(4):19-22
[18]吴光磊,陈维桓.一个矩阵不等式及其几何应用.数学学报,1988,31(3):348-355
[19]邓辉.若干矩阵不等式及Riemann对称空间截面曲率估计.数学学报,1991,34(3):299-308
[20]华罗庚,万哲先.典型群.上海:上海科学技术出版社,1963
[21]Jacobson N.Theory of Ring.AMS Surveys No.2,1943
[22]Jacobson N.Lectures in Abstract Algebra Vol.2.Springer-Verlag,1964;中译本:抽象代数学,卷2.黄缘芳译.北京:科学出版社,1966
[23]Cohn P M.Skew Field Constructions.Cambridge University Press,1977
[24]Cohn P M.Free Rings and Their Relations.Academic Press,1985
[25]Cohn P M.Skew Field—Theory of general division rings.Cambridge University Press,1995
[26]谢邦杰.抽象代数学.上海:上海科学技术出版社,1982
[27]谢邦杰.Hadamard定理在四元数体上的推广.中国科学,1979,数学专辑(Ⅰ):88-93
[28]谢邦杰.体上特征矩阵的法式与弱法式存在定理.数学学报,1980,23:398-410
[29]谢邦杰.体上矩阵的特征根与标准形式的应用.数学学报,1980,23:522-533
[30]谢邦杰.自共轭四元数矩阵的行列式的展开定理及其应用.数学学报,1980,23:668-683
[31]谢邦杰.环与体上的矩阵及其两类广义Jordan形式.吉林大学自然科学学报,1978,1:21-46
[32]谢邦杰.体上矩阵的有理简化与Jordan形式的唯一性问题.吉林大学自然科学学报,1978,1:107-116
[33]谢邦杰.Cochran定理在任意体上的推广.吉林大学自然科学学报,1978,1:117-118
[34]谢邦杰.体上特征矩阵的简化形式的唯一性定理.吉林大学自然科学学报,1979.1:1-10
[35]谢邦杰.四元数自共轭矩阵与行列式.吉林大学自然科学学报,1980,2:19-35
[36]谢邦杰.任意体上可中心化矩阵的行列式.吉林大学自然科学学报,1980,3:1-33
[37]谢邦杰.关于自共轭四元数矩阵与行列式的几个定理.吉林大学自然科学学报,1982,1:1-7
[38]李文亮.四元数矩阵.长沙:国防科技大学出版社,2002
[39]庄瓦金.体上的矩阵理论导引.北京:科学出版社,2006
[40]张禾瑞.近世代数基础.北京:等教育出版社,1978
[41]程云鹏,张凯院,徐仲.矩阵论.西安:西北工业大学出版社,2000
[42]李庆扬,王能超,易大义.数值分析.北京:清华大学出版社,2001
[43]俞森,冯良贵.四元数矩阵的Gauss消去法及其应用.2006“数学技术应用科学”论文集,2006
[44]李乔.矩阵论八讲.上海:上海科学技术出版社,1988.
[45]陈龙玄.四元数体上的逆矩阵和重行列式的性质.中国科学(A辑),1991,(1):23-33
[46]冯良贵.四元数矩阵的列左秩.自然科学进展,2006,(05)
[47]李晓沛,顾广泽,杨红伏,王仙桃.关于自共轭四元数矩阵特征值的一个不等式.湖南大学学报(自然科学版),2000,(03)
[48]庄瓦金。分块的自共轭四元数矩阵的惯性与行列式.数学理论与应用,1987,(02)
[49]黄礼平.关于四元数矩阵乘积迹的不等式.数学理论与应用,1991,(Z1)
[50]李珊.关于四元数体矩阵的对角化定理.哈尔滨师范大学自然科学学报,2007,(04)
[51]张峥嵘.关于自共轭四元数矩阵的注记.南京师大学报(自然科学版),2002,(01)
[52]张锦川,李志伟,朱福胜.四元数方阵的GH合同标准形与同时对角化.泉州师范学院学报,2005,(06)
[53]周高岚,杨忠鹏.四元数矩阵弱圈积的特征值不等式.重庆师范学院学报(自然科学版),1996,(02)
[54]曾月迪,庄瓦金.四元数矩阵的加正定权广义逆.漳州师范学院学报(自然科学版),2006,(03)
[55]黄敬频.自共轭四元数矩阵Schur补的单调性.广西师院学报(自然科学版),1999,(04)
[56]许方官.四元数在建立波动方程中的应用.大学物理,2002,(03)
[57]许毛跃,张登成,李嘉林.四元数在欧拉方程中的应用研究.飞行力学,2002,(01)
[58]杨轶璐,徐心和.四元数在手术导航系统中的应用.东北大学学报(自然科学版),2005,(01)
[59]刘延斌,许晖,徐长吉,安源,王智,金光.四元数矩阵在航天相机像面位置求解中的应用.光学精密工程,2004,(02)
[60]刘永辉,姜同松,魏木生.四元数矩阵的奇异值分解及其应用.高等学校计算数学学报,2003,(04)
[61]周江华,苗育红,肖刚.捷联惯导系统初始四元数提取的新算法.飞行力学,2003,(03)
[62]金玲玲.四元数矩阵的中心化子.华南农业大学学报,1998,(04)
[63]夏铁成,张福振.关于实四元数矩阵数值半径的综述.锦州师范学院学报(自然科学版),2001,(04)
[64]夏铁成,张福振.关于实四元数矩阵数值半径的综述(续).锦州师范学院学报 (自然科学版),2002,(01)
[65]武永贵,王树勋,汪飞.四元数在方向角和多普勒频率同时估计中的应用.吉林大学学报(工学版),2005,(03)
[66]姜同松.四元数的一种新的代数结构.力学学报,2002,(01)
[67]黄敬频.关于四元数矩阵方程AX+YA=C的三种解.哈尔滨师范大学自然科学学报,2004,(01)
[68]王永超,马占营.惯量张量引入的四元数方法.洛阳师范学院学报,2002,(05)
[69]连德忠.四元数体上的范数理论和应用.闽西职业大学学报,2003,(02)
[70]吴世锦.四元数体上若干线性代数问题的显式.数学学报,2001,(05)
[71]连德忠.四元数向量和矩阵的秩.数学研究,2003,(03)
[72]李样明.四元数矩阵理论中的几个概念间的关系.数学学报,1998,(03)
[73]黄礼平.四元数体上方阵的标准形与矩阵方程AX+XB=D.新疆大学学报(自然科学版),1994,(01)
[74]CHEN Wanchun,XIAO Yelun.Vectrix and some of its properties suited to flight dynamics.Chinese Journal of Aeronautics.1996,9(2):92-97
[75]Paielli R A,Bach R E.Attitude control with realization of linear error dynamics.J Guidance,Control and Dynamics.1993,16(1):182-189
[76]Xie Bangjie.Normal Formula of the Charactedsfic Matrix and Weakly Normal Formula Existence Theorem.Acta Math.Sinica.1980,23(3):398-410
[77]Wang Shasheng,Tu Fengsheng.Extension of Vandermonde determinant and its applications to theory of control.Acta Mathematica Scientia.1984,4(3):329-337
[78]Chen Longxuan.Popularization of Cayley-Hamiltcn over Quaternion Field.Sci.Sinica.1991,36(17):1291-1293
[79]Chen Longxuan.Definition of determinant and cramer solution over quaternion field.Acta Math Sinica New Series.1991,7(2):171-180
[80]Bach R,Paielli R.Linearization of attitude-control error dynamics.IEEE Trans.on Automatic Control.1993,38(10):1521-1525
[81]Chen Longxuan.Inverse matrix and properties of double determinant over quaternion field.Science in China Series A.1991,34(5):528-540
[82]Tobias Dantzig.Number the Language of Science.London:George Allen & Unwin Ltd,1938;中译本:数科学的语言.苏仲湘译.北京:商务印书馆,1985:193
[83]A.Д.亚历山大洛夫.数学—它的内容、方法和意义.北京:科学出版社,1958
[84]徐渤.关于四元数矩阵方程的注记.国防科技大学第六届研究生学术活动节论文集,2006
[85]徐渤,冯良贵.四元数矩阵的一类LU分解.国防科技大学第七届研究生学术活动节论文集,2007