微分方程及生物数学若干问题的研究
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摘要
本硕士论文由三部分组成。
第一部分是文献综述，首先简明介绍了Li(?)nard系统中有界性与整体渐近性等问题的研究状况，然后介绍了种群生态学的发展状况，最后介绍了本文所讨论的主要问题。
第二部分 微分方程基本问题的讨论
第一节讨论了一类非线性系统得到此系统有界性的充要条件。
第二节 研究了两类系统非线性系统得到了系统(1)的周期解不存在性的四组判别条件，并举一实例用以判别。构造了一广义旋转向量场，用以判别系统(2)周期解的存在性。
第三部分对生态问题的研究
第一节利用二次型理论研究了一类n维环状自治系统有密度制约模型，得到了判别此类系统稳定平衡点的充分条件。
第二节讨论了均有HolingⅡ型功能反应且具有周期系数的顺环模型，得到了该系统存在唯一全局渐近稳定周期解的充分条件。
第三节利用积分均值法研究了伪酱油果蝇和锯形果蝇在污染环境中的数学模型，给出了两种群的生存阈值。
The present thesis consists of three parts.
In the first part, the developing history of the bound ness and global asymptotic characteristic of non-linear system, then the developing history of the theoretical ecology and the discussed problems of the present thesis are introduced.
In the first section of the second part, a kind of non-linear system is studied; a sufficient and necessary condition for the bound ness is obtained.
In the second section, two kinds of nonlinear systems are studied; four group conditions are established for the nonexistence of periodic solutions. An example is examined by means of these theorems.
In the first section of the part three, the criteria for globally stable equilibrium in n-dimensional predator-prey model are obtained.
In the second section, the sufficient conditions of the global asymptotic stability and uniqueness of periodic solutions are obtained for n-dimensional model.
In the third section, the thresholds for survival and extinction, persistence and extinction of two pieces in a polluted environment are obtained by means of integral mean value.
第一部分是文献综述，首先简明介绍了Li(?)nard系统中有界性与整体渐近性等问题的研究状况，然后介绍了种群生态学的发展状况，最后介绍了本文所讨论的主要问题。
第二部分 微分方程基本问题的讨论
第一节讨论了一类非线性系统得到此系统有界性的充要条件。
第二节 研究了两类系统非线性系统得到了系统(1)的周期解不存在性的四组判别条件，并举一实例用以判别。构造了一广义旋转向量场，用以判别系统(2)周期解的存在性。
第三部分对生态问题的研究
第一节利用二次型理论研究了一类n维环状自治系统有密度制约模型，得到了判别此类系统稳定平衡点的充分条件。
第二节讨论了均有HolingⅡ型功能反应且具有周期系数的顺环模型，得到了该系统存在唯一全局渐近稳定周期解的充分条件。
第三节利用积分均值法研究了伪酱油果蝇和锯形果蝇在污染环境中的数学模型，给出了两种群的生存阈值。
The present thesis consists of three parts.
In the first part, the developing history of the bound ness and global asymptotic characteristic of non-linear system, then the developing history of the theoretical ecology and the discussed problems of the present thesis are introduced.
In the first section of the second part, a kind of non-linear system is studied; a sufficient and necessary condition for the bound ness is obtained.
In the second section, two kinds of nonlinear systems are studied; four group conditions are established for the nonexistence of periodic solutions. An example is examined by means of these theorems.
In the first section of the part three, the criteria for globally stable equilibrium in n-dimensional predator-prey model are obtained.
In the second section, the sufficient conditions of the global asymptotic stability and uniqueness of periodic solutions are obtained for n-dimensional model.
In the third section, the thresholds for survival and extinction, persistence and extinction of two pieces in a polluted environment are obtained by means of integral mean value.
引文
1. Lienard, A. Rev.Gen.delect. 23 (1928), 901-902.
2．李惠卿．Lienard方程零解全局渐近稳定的充要条件[J]，数学学报，2(1988)，209-214
3．刘正荣．Li(?)nard方程全局稳定性的条件[J]，数学学报，Vol．38，No．5，Sept．，1995，614-620．
4．周毓荣．一类自动调节系统的全局性态[J]，山东矿院学报，1981，第一期，1-14．
5. [J]. 18(1),(1954).
6. [J], 18(3), (1954)
7. [J], 88(3) (1953)
8. [J], 17(6) (1953)
9．谷超豪．二阶非线性型方程稳定性问题的一解[J]，数学学报，4(3)(1954)
10. Burton, T.A. On the equation x″+f(x)h(x′)x′+g(x)=e(t), Annali mat. Pura appl., LXXXV(1970), 277-285.
11. Sugie. J. On the generalized solutions of generalized Li(?)nard equation without the signum condition [J], Nonlienar Analysis, 1987, 11: 1391-1397.
12. Zhang B. Boundness and stability of solutions of the retarded Li(?)nard equation with negative damping[J], Nonlinear Analysis, 1993, 20: 303-313.
13．韩茂安．一类广义Li(?)nard方程的有界性[J]，科学通报，1995，21：1924-1928
14．潘志刚，蒋继发．广义Li(?)nard方程的整体渐近性态[J]，系统科学与数学，1992，12 376-380．
15．张芷芬，丁同仁，黄文灶，董镇喜．微分方程定性理论[M]，北京：科学出版社，1985
16．叶彦谦，极限环论[M]，上海：上海科学技术出版社，1984．
17．蔡燧林，钱祥征．常微分方程定性理论引论[M]，北京：高等教育出版社，1994
18. Zheng Zuo-huan. On the nonexistence of periodic solutions for Li(?)nard equations[J],
Nonlinear Analysis, 1991, 16(2): 101-110.
19．周进．Li(?)nard方程周期解不存在的充分条件[J]，应用数学，1998，11(1)：41-43．
20．刘斌．一类广义Li(?)nard方程无环性的条件[J]，数学年刊A辑，1998．
21．刘斌，冯滨鲁，俞元洪．广义Li(?)nard系统周期解的不存在性[J]，应用数学学报，1998，21(2)：233-239．
22．杨启贵．广义Li(?)nard系统的同宿轨族的存在性[J]，应用数学学报，Vol．22 No．3．1999(7)353-361
23．伍卓群．微分方程解的定性研究中的比较定理[J]，东北人民大学自然科学学报，1(1957)131～138
24．周毓荣．常微分方程的比较定理及其应用[J]，数学学报，Vol．21-No．4
25．施宇鸣．Li(?)nard方程的比较原理[J]，应用数学，1997，10(3)61～63．
26．陈兰荪，井竹君．扑食者-食饵相互作用中微分方程的极限环存在性和唯一性[J]，科学通报，1984，29，9，521-523．
27．曹贤通，陈兰荪．推广的扑食与被扑食种群模型的定性研究[J]，数学研究与评论，1986，3，53-56．
28．张炳根．具有一步以上食物链的生态系统的稳定性[J]，应用数学学报，1983；(2)：236-239．
29. JINGAN C and CHEN L. Permanence and extinction in logistic and Lotka-volterra systems with diffusion [J], Journal of Mathematical Analysis and Applications, 258, 512-535 (2001).
30．刘南根．具HollingⅠ型功能反应的食饵-扑食系统的极限环，数学年刊[J]，9(A)4：421-427(1988)
31．任永泰，韩莉．The predator-prey model with two limit cycles[J], ACTA Math. Appl. Sinica, Vol. 5, No. 1, 30-32(1989).
32．江佑霖，关于一类扑食系统极限环的唯一性[J]，生物数学学报，Vol．6，No．1，1-6(1991)
33. S.A.Levin, Models in Ecotoxicology[M].
34. T.G.Hallam, C,E.Clark, R.R.Lassider. Effects of tocicants on populations, A qualitative approach Ⅰ Equilibrium environmental exposure[J], Ecol. Modelling, Vol.8, 291-304 (1983).
35. T.G.Hallam, C.E.Clark, G.S.Jordan. Effects of toxicants on populations, A qualitative approach Ⅱ. First Order Kinefics[J], J.Math.Biol, Vol. 18, 25-37 (1983).
36. T.G.Hallam, J.T.Deluna, Effects of toxicants on populations, A qualitative approach Ⅲ
Environmental and food chain pathways[J], J.Theor, Biol., Vol. 109, 411-429.
37. Hallam T G, Ma Zhien. Persistence in population models with demographic fluctuations[J], J. Math Biol., 1986, 24(3): 327-339.
38．杨启贵．Li(?)nard方程解的有界性与整体渐近性[J]，系统科学与数学，19(2)(1999，4)，211-216．
39. Hang Lihong & Wang Zhicheng. On the boundeness conditions for solutions of a autonomous differential system[J], Ann. of Diff. Eqs, 12(1) 1996.(2) (2000,4), 210-216
40．刘炳文．Li(?)nard方程的比较原理[J]，数学的实践与认识，2001，7(4)504-507．
41．严平，蒋继法．广义Li(?)nard方程周期解的存在性和不存在性[J]，系统科学与数学，20
42. Hang Lihong. On the non-existence of periodic solutions of a generalized Li(?)nard system[J], Ann. of Diff. Eqs, 10(1), 1994, 16-23.
43．周毓荣．微分方程(?)=φ(y)-F(x)，(?)=-g(x)的极限环的存在唯一性和唯二性[J]，数学年刊，1982(1)：79-92．
44. Y.Takeuch and N.Adachi, The existence of globally stable equilibrium of ecosystems of the generalized Volterra type [J], J. Math.Biol, 10(1980), 401-415.
45. Y.Takeuch.N. Adachi, and H. Tokumaru. The stability of generalized Lotka-volterra systems [J], Appl. Anal, 62(1996), 11-28.
46. X.-H.Ji. The existence of globally stable of n-dimensional Lotk, a-Volterra systems, Appl. An-al [J], 62 (1996), 11-28.
47. Xue-ZhiLi, The criteria for globally stable equilibrium in n-dimensional Lotka-Volterra systems[J], J.Math. Appl, 240, 600-606 (1999).
48．熊佐亮．关于三种群第Ⅱ类功能反应周期函数模型的研究，生物数学学报[J]，1998，13(1)：38-42．
49．刘兴臻．一类都有HolingⅡ类功能反应且具有周期系数的三维顺环扑食系统的研究[J]，生物数学学报，1999 14(2)：178-184．
50. Yang pinghua and Xu Rui. Global attractively of the periodic solution of lotka-volerra system[J], J. M. Anal. Appl, 233, 221-232(1999).
51．崔景安，陈兰荪．Asymptotic behavior of the solution for a class of timedependent competitive system[J]，微分方程年刊，Vol．9，No．11-17(1993)．
52．马知恩．种群生态学的数学建模与研究[M]，安徽教育出版社，1996．
2．李惠卿．Lienard方程零解全局渐近稳定的充要条件[J]，数学学报，2(1988)，209-214
3．刘正荣．Li(?)nard方程全局稳定性的条件[J]，数学学报，Vol．38，No．5，Sept．，1995，614-620．
4．周毓荣．一类自动调节系统的全局性态[J]，山东矿院学报，1981，第一期，1-14．
5. [J]. 18(1),(1954).
6. [J], 18(3), (1954)
7. [J], 88(3) (1953)
8. [J], 17(6) (1953)
9．谷超豪．二阶非线性型方程稳定性问题的一解[J]，数学学报，4(3)(1954)
10. Burton, T.A. On the equation x″+f(x)h(x′)x′+g(x)=e(t), Annali mat. Pura appl., LXXXV(1970), 277-285.
11. Sugie. J. On the generalized solutions of generalized Li(?)nard equation without the signum condition [J], Nonlienar Analysis, 1987, 11: 1391-1397.
12. Zhang B. Boundness and stability of solutions of the retarded Li(?)nard equation with negative damping[J], Nonlinear Analysis, 1993, 20: 303-313.
13．韩茂安．一类广义Li(?)nard方程的有界性[J]，科学通报，1995，21：1924-1928
14．潘志刚，蒋继发．广义Li(?)nard方程的整体渐近性态[J]，系统科学与数学，1992，12 376-380．
15．张芷芬，丁同仁，黄文灶，董镇喜．微分方程定性理论[M]，北京：科学出版社，1985
16．叶彦谦，极限环论[M]，上海：上海科学技术出版社，1984．
17．蔡燧林，钱祥征．常微分方程定性理论引论[M]，北京：高等教育出版社，1994
18. Zheng Zuo-huan. On the nonexistence of periodic solutions for Li(?)nard equations[J],
Nonlinear Analysis, 1991, 16(2): 101-110.
19．周进．Li(?)nard方程周期解不存在的充分条件[J]，应用数学，1998，11(1)：41-43．
20．刘斌．一类广义Li(?)nard方程无环性的条件[J]，数学年刊A辑，1998．
21．刘斌，冯滨鲁，俞元洪．广义Li(?)nard系统周期解的不存在性[J]，应用数学学报，1998，21(2)：233-239．
22．杨启贵．广义Li(?)nard系统的同宿轨族的存在性[J]，应用数学学报，Vol．22 No．3．1999(7)353-361
23．伍卓群．微分方程解的定性研究中的比较定理[J]，东北人民大学自然科学学报，1(1957)131～138
24．周毓荣．常微分方程的比较定理及其应用[J]，数学学报，Vol．21-No．4
25．施宇鸣．Li(?)nard方程的比较原理[J]，应用数学，1997，10(3)61～63．
26．陈兰荪，井竹君．扑食者-食饵相互作用中微分方程的极限环存在性和唯一性[J]，科学通报，1984，29，9，521-523．
27．曹贤通，陈兰荪．推广的扑食与被扑食种群模型的定性研究[J]，数学研究与评论，1986，3，53-56．
28．张炳根．具有一步以上食物链的生态系统的稳定性[J]，应用数学学报，1983；(2)：236-239．
29. JINGAN C and CHEN L. Permanence and extinction in logistic and Lotka-volterra systems with diffusion [J], Journal of Mathematical Analysis and Applications, 258, 512-535 (2001).
30．刘南根．具HollingⅠ型功能反应的食饵-扑食系统的极限环，数学年刊[J]，9(A)4：421-427(1988)
31．任永泰，韩莉．The predator-prey model with two limit cycles[J], ACTA Math. Appl. Sinica, Vol. 5, No. 1, 30-32(1989).
32．江佑霖，关于一类扑食系统极限环的唯一性[J]，生物数学学报，Vol．6，No．1，1-6(1991)
33. S.A.Levin, Models in Ecotoxicology[M].
34. T.G.Hallam, C,E.Clark, R.R.Lassider. Effects of tocicants on populations, A qualitative approach Ⅰ Equilibrium environmental exposure[J], Ecol. Modelling, Vol.8, 291-304 (1983).
35. T.G.Hallam, C.E.Clark, G.S.Jordan. Effects of toxicants on populations, A qualitative approach Ⅱ. First Order Kinefics[J], J.Math.Biol, Vol. 18, 25-37 (1983).
36. T.G.Hallam, J.T.Deluna, Effects of toxicants on populations, A qualitative approach Ⅲ
Environmental and food chain pathways[J], J.Theor, Biol., Vol. 109, 411-429.
37. Hallam T G, Ma Zhien. Persistence in population models with demographic fluctuations[J], J. Math Biol., 1986, 24(3): 327-339.
38．杨启贵．Li(?)nard方程解的有界性与整体渐近性[J]，系统科学与数学，19(2)(1999，4)，211-216．
39. Hang Lihong & Wang Zhicheng. On the boundeness conditions for solutions of a autonomous differential system[J], Ann. of Diff. Eqs, 12(1) 1996.(2) (2000,4), 210-216
40．刘炳文．Li(?)nard方程的比较原理[J]，数学的实践与认识，2001，7(4)504-507．
41．严平，蒋继法．广义Li(?)nard方程周期解的存在性和不存在性[J]，系统科学与数学，20
42. Hang Lihong. On the non-existence of periodic solutions of a generalized Li(?)nard system[J], Ann. of Diff. Eqs, 10(1), 1994, 16-23.
43．周毓荣．微分方程(?)=φ(y)-F(x)，(?)=-g(x)的极限环的存在唯一性和唯二性[J]，数学年刊，1982(1)：79-92．
44. Y.Takeuch and N.Adachi, The existence of globally stable equilibrium of ecosystems of the generalized Volterra type [J], J. Math.Biol, 10(1980), 401-415.
45. Y.Takeuch.N. Adachi, and H. Tokumaru. The stability of generalized Lotka-volterra systems [J], Appl. Anal, 62(1996), 11-28.
46. X.-H.Ji. The existence of globally stable of n-dimensional Lotk, a-Volterra systems, Appl. An-al [J], 62 (1996), 11-28.
47. Xue-ZhiLi, The criteria for globally stable equilibrium in n-dimensional Lotka-Volterra systems[J], J.Math. Appl, 240, 600-606 (1999).
48．熊佐亮．关于三种群第Ⅱ类功能反应周期函数模型的研究，生物数学学报[J]，1998，13(1)：38-42．
49．刘兴臻．一类都有HolingⅡ类功能反应且具有周期系数的三维顺环扑食系统的研究[J]，生物数学学报，1999 14(2)：178-184．
50. Yang pinghua and Xu Rui. Global attractively of the periodic solution of lotka-volerra system[J], J. M. Anal. Appl, 233, 221-232(1999).
51．崔景安，陈兰荪．Asymptotic behavior of the solution for a class of timedependent competitive system[J]，微分方程年刊，Vol．9，No．11-17(1993)．
52．马知恩．种群生态学的数学建模与研究[M]，安徽教育出版社，1996．