一类具有功能反应函数的捕食系统的脉冲控制
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摘要
脉冲微分方程是描述某些运动状态在固定或不固定时刻的快速变化或跳跃，是对自然界发展过程更真实的反映。在生物控制研究领域中，生物种群的脉冲控制已成为一个绕有趣味并富有意义的课题。脉冲微分方程在种群动力学研究方面显示出了很好的应用前景。
本文主要研究脉冲微分方程理论在具有功能反应函数为x~(2／1)的食饵—捕食生物模型上的应用。通过引入线性脉冲微分系统零解稳定性的概念，利用参数形式的变分及比较原理，给出了非线性脉冲微分系统的解达到稳定所需要的充分条件。在此基础上，根据种群生态系统的复杂性，通过对模型进行改进，分别研究了具有功能反应函数为x~(2／1)的两类食饵-捕食两种群生物模型的稳定性。利用脉冲微分系统理论中的比较原理，通过脉冲控制得到了使其在适当条件下渐近稳定到原先不稳定的正平衡点的充分条件，使食饵密度和捕食者密度保持在一个定数附近并给出了生态解释。本文还在具有功能反应函数的三种群模型的基础上，考虑功能反应函数为x~(2／1)的三种群捕食链系统的稳定性问题，利用脉冲系统的线性近似判定的方法对此生物模型进行了研究，通过适当的控制得到了使原先不稳定的正平衡点渐近稳定的充分条件，从而使该种群达到了一个新的适宜各物种持续共存、发展的稳定状态，并通过数值模拟验证了其有效性。
Impulsive differential equation presents the quick change or jump of some states of motion at the fixed or varied time. It reflects the developing process of nature more actually. Impulsive control of biological population becomes an interesting and challenging research task in the fields of biological control. Impulsive differential equation has shown all-right applicative prospect in the study of population dynamics.
In this paper we principally study that impulsive differential equation theory applies to predator-prey ecosystem with functional reaction function x~(1/2) . The notions of the trivial solution's stability for the linear impulsive differential system are defined. Then the sufficient conditions for the solution's stability of nonlinear impulsive differential system are given by applying the relations of the parameter's variation and comparison principle. After that based on the complexity of population ecosystem, the models are modified. Next we investigate the stable problem of both a predator-prey ecosystem with functional reaction function x~(1/2) respectively. Then we get the sufficient condition for this system's unstable positive equilibrium to asymptotic stability in the proper condition by the impulsive control. And densities of predator and prey individually exist around a constant. Further more, the paper gives ecological explanation. Thereafter, based on three-species system with functional reaction function, the function is specified as x~(1/2). Then we study a predator-prey ecosystem with functional reaction function x~(1/2) by using the linear approximate method of impulsive control system. The sufficient condition for this system's unstable positive equilibrium to asymptotic stability by the impulsive control is obtained in the discussion. And the species arrive at a new stable state in which they can coexist and development. Finally, the paper gives ecological explanation by figure simulation.
本文主要研究脉冲微分方程理论在具有功能反应函数为x~(2／1)的食饵—捕食生物模型上的应用。通过引入线性脉冲微分系统零解稳定性的概念，利用参数形式的变分及比较原理，给出了非线性脉冲微分系统的解达到稳定所需要的充分条件。在此基础上，根据种群生态系统的复杂性，通过对模型进行改进，分别研究了具有功能反应函数为x~(2／1)的两类食饵-捕食两种群生物模型的稳定性。利用脉冲微分系统理论中的比较原理，通过脉冲控制得到了使其在适当条件下渐近稳定到原先不稳定的正平衡点的充分条件，使食饵密度和捕食者密度保持在一个定数附近并给出了生态解释。本文还在具有功能反应函数的三种群模型的基础上，考虑功能反应函数为x~(2／1)的三种群捕食链系统的稳定性问题，利用脉冲系统的线性近似判定的方法对此生物模型进行了研究，通过适当的控制得到了使原先不稳定的正平衡点渐近稳定的充分条件，从而使该种群达到了一个新的适宜各物种持续共存、发展的稳定状态，并通过数值模拟验证了其有效性。
Impulsive differential equation presents the quick change or jump of some states of motion at the fixed or varied time. It reflects the developing process of nature more actually. Impulsive control of biological population becomes an interesting and challenging research task in the fields of biological control. Impulsive differential equation has shown all-right applicative prospect in the study of population dynamics.
In this paper we principally study that impulsive differential equation theory applies to predator-prey ecosystem with functional reaction function x~(1/2) . The notions of the trivial solution's stability for the linear impulsive differential system are defined. Then the sufficient conditions for the solution's stability of nonlinear impulsive differential system are given by applying the relations of the parameter's variation and comparison principle. After that based on the complexity of population ecosystem, the models are modified. Next we investigate the stable problem of both a predator-prey ecosystem with functional reaction function x~(1/2) respectively. Then we get the sufficient condition for this system's unstable positive equilibrium to asymptotic stability in the proper condition by the impulsive control. And densities of predator and prey individually exist around a constant. Further more, the paper gives ecological explanation. Thereafter, based on three-species system with functional reaction function, the function is specified as x~(1/2). Then we study a predator-prey ecosystem with functional reaction function x~(1/2) by using the linear approximate method of impulsive control system. The sufficient condition for this system's unstable positive equilibrium to asymptotic stability by the impulsive control is obtained in the discussion. And the species arrive at a new stable state in which they can coexist and development. Finally, the paper gives ecological explanation by figure simulation.
引文
[1]．陈兰荪．数学生态模型与研究方法[M]．北京：科学出版社，1988
[2]．欧阳军，杨德全．功能反应函数为x~(2／1)的食饵-捕食系统的定性分析[J]．生物数学学报，1998，13(3)：329-333
[3]．张利军，霍海峰，陈菊芳．功能反应函数为x~(2／1)的食饵-捕食系统的渐进性[J]．陕西师范大学学报(自然科学版)，1999，27(4)：12-16
[4]．程荣福，蔡淑云．一类具有功能反应的食饵-捕食者两种群模型的定性分析[J]．生物数学学报，2002，17(4)：406-410
[5]．司成斌，具有功能性反应函数为x~(2／1)的捕食系统[J]．工科数学，2002，18(1)：43-47
[6]．司成斌，沈伯骞．具有功能性反应函数x~(n／(n＋1))的捕食系统[J]．生物数学学报，2003，18(2)：192-196
[7]．谭欣欣，冯恩民，沈伯骞．以x~(m／n)为功能性反应函数的食饵-捕食系统的定性分析[J]．生物数学学报，2004，19(1)：42-50
[8]．沈聪．两种群均具有常收获率或常投放率的Lotka—Volterra系统极限环的个数问题[J]．华中师范大学学报，1995，29(3)：281-284
[9]．司成斌．两种群均具有常收获率或常投放率的Lotka—Volterra系统可以存在三个极限环[J]．生物数学学报，2002，17(1)：27-30
[10]．朴仲铉，薛春燕．食饵种群具有收获(存放)率的第Ⅱ类功能性反应模型的定性分析[J]．生物数学学报，1997，12(2)：140-145
[11]．刘宣亮，韩茂安．具有第Ⅲ类功能性反应的捕-食系统的定性分析[J]．上海交通大学学报，2004，38(5)：842-844
[12]．陈柳娟，孙建华．一类Holling型功能性反应模型极限环的惟一性[J]．数学学报，2002，45(2)：383-388
[13]．李传荣．一类生态系统的全局稳定性和极限环的存在性与惟一性[J]．西安交通大学学报，1990，24(2)：93-98
[14]．王志萍．一类食饵-捕食系统的收获模型分析[J]．山西大学学报(自然科学版)，2005，28(2)：136-137
[15]．李建民．捕食-被捕食同时进行捕获具有第二类功能性反应系统的定性分析[J]．河南大学学报，2004，34(3)：12-15
[16]．王竞波，徐宝树，刘忻柏．第二类功能性反应收获模型的稳定性分析[J]．沈阳大学学报，2004，16(2)：17-20
[17]．张剑．具有收获率的捕食与被捕食种群模型的定性分析[J]．齐齐哈尔大学学报，2004，20(4)：84-87
[18]．陈忠华．食饵种群具有常数投放率的捕食-食饵模型分支问题[J]．数学杂志，1994，14(4)：89-96
[19]．周展宏．一类具有收获率的捕食与被捕食系统[J]．湛江海洋大学学报，2002，22(1)：51-56
[20]. Yosef Cohen. Applications of optimal impulse control to optimal foraging problems[M]. Berlin: Springer Verlag, 1987, 73
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[33]．赵立纯，张庆灵，杨启昌．具有阶段结构的单种群模型的脉冲控制[J]．东北大学学报(自然科学版)，2002，23(10)：1012-1015
[34]．赵立纯，张庆灵，杨启昌．具有周期系数的单种群模型的最优脉冲控制[J]．东北大学学报 (自然科学版)，2002，23(11)：1040-1043
[35]．赵立纯，张庆灵，杨启昌．Optimal Impulsive Harvesting For Fish Populations[J]．Journal of System Science and Complexity，2003，16(4)：467-474
[36]．陈狄岚，孙继涛．一类生态系统的脉冲控制[J]．生物数学学报，2003，18(4)：406-410
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[40]．周凤艳，马成荣．三种群捕食与被捕食生物方程基于神经网络的H_∞非线性控制[J]．绍兴文理学院学报，2004，24(8)：12-15
[41]．赵立纯，张庆灵，杨启昌．通过非线性控制使一个捕食-被捕食系统永久持续生存[J]．生物数学学报，2002，17(2)：201-207
[42]．马知恩，周义仓．常微分方程定性与稳定性方法[M]．北京：科学出版社，2001
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