交换环上赋值的完全性
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摘要
对有乘法单位元的交换环上的非精简显赋值定义一种"完全性"。首先就Von Neumann正则环成为完全赋值环给出一个充分必要条件(定理1);并对正则的完全赋值环证明在它的代数扩环上也能给出完全的拓展赋值(定理2)。其次,再对另一种特殊的环给出与定理1和定理2相同的结论(定理3,4)。
In the following all rings appeared will be commutative with identity.At first,a definition of"Completeness"for valued-rings is given.Now let R be a von Neumann regular ring with a nontrivial valuation v,a necessary and sufficient condition that(R,v)be complete is given(Theorem i).Let(S,w)be an algebraic excension of a complete valued-ring(R,v)then(S,w)is also complete(Theorem 2).As for rings having only a finite number of idealso similar results can als be established(Theorems 3,4).
In the following all rings appeared will be commutative with identity.At first,a definition of"Completeness"for valued-rings is given.Now let R be a von Neumann regular ring with a nontrivial valuation v,a necessary and sufficient condition that(R,v)be complete is given(Theorem i).Let(S,w)be an algebraic excension of a complete valued-ring(R,v)then(S,w)is also complete(Theorem 2).As for rings having only a finite number of idealso similar results can als be established(Theorems 3,4).
引文
[1]BURBAKI R.Algebre Commutative:Chap.6[M].Hermann,1964.
[2]戴执中.似收敛与完全赋值体[J].数学学报,1955,5(5):489-495.
[3]戴执中.赋值论基础[M].南昌:江西教育出版社,2008.
[4]ISAACS I M.Algebra[M].影印本,2003.
[5]LAMBEK J.Lectures on Rings and Modules[J].Blaisdell Pub.Com,1966.
[6]MANIS M E.Valuations on a Commutative ring[J].Proc A M S,1963,20:193-198.
[7]MCCOY N H.Rings and Ideals[M].影印本K9/4,1948.
[8]OSTROWSKI A.Untersohugen Zur Arithmeyrishes Rheorie Der Korper[J].M Z,1934,34:289-401.
[9]RAPHAEL R M.Algebraic Extentions of Commutatuive Regular Rings[J].Can J Math,1970,22:ii33-ii55.
[10]RIBENBOIM P.Corps Maximaux et Complete Par Des Valuations de Krub[J].M Z,1958,69:466-476.
[11]RIBENBOIM P.Theorie Des Valuations[J].Les Presses de L’Unive ae Ontreal,1964.
[12]Samuel R.La Notion de Place Dans un Anneau[J].Bull Soe M F,1957,85:123-133.
[13]王湘浩.关于似收敛[J].东北大学学报:自然科学版,1956(2):153-159.
[14]戴执中.关于实全商环的一则短记[J].南昌大学学报:理科版,2014,38(5):409-410.
1Samuel在[12]中并未提出“赋值”这一名称,但文中具有:性质的子环按Manis文[6]的Prop.1实与[12]中的子环等价。又在[1]Chap.6 3的首段曾对环的赋值给出定义,但未予申论。由于[6]中对环上赋值论述较详,故对环的赋值常以Manis赋值称之。
2在(1)中出现的<是Γ中的大小关系,而在τ<ζ所用的<侧为T中的前后关系,同一符号代表两个不同的意义。特此说明。
3在域的情况,与此相类同的结论是[13]定理2及定理3。
[2]戴执中.似收敛与完全赋值体[J].数学学报,1955,5(5):489-495.
[3]戴执中.赋值论基础[M].南昌:江西教育出版社,2008.
[4]ISAACS I M.Algebra[M].影印本,2003.
[5]LAMBEK J.Lectures on Rings and Modules[J].Blaisdell Pub.Com,1966.
[6]MANIS M E.Valuations on a Commutative ring[J].Proc A M S,1963,20:193-198.
[7]MCCOY N H.Rings and Ideals[M].影印本K9/4,1948.
[8]OSTROWSKI A.Untersohugen Zur Arithmeyrishes Rheorie Der Korper[J].M Z,1934,34:289-401.
[9]RAPHAEL R M.Algebraic Extentions of Commutatuive Regular Rings[J].Can J Math,1970,22:ii33-ii55.
[10]RIBENBOIM P.Corps Maximaux et Complete Par Des Valuations de Krub[J].M Z,1958,69:466-476.
[11]RIBENBOIM P.Theorie Des Valuations[J].Les Presses de L’Unive ae Ontreal,1964.
[12]Samuel R.La Notion de Place Dans un Anneau[J].Bull Soe M F,1957,85:123-133.
[13]王湘浩.关于似收敛[J].东北大学学报:自然科学版,1956(2):153-159.
[14]戴执中.关于实全商环的一则短记[J].南昌大学学报:理科版,2014,38(5):409-410.
1Samuel在[12]中并未提出“赋值”这一名称,但文中具有:性质的子环按Manis文[6]的Prop.1实与[12]中的子环等价。又在[1]Chap.6 3的首段曾对环的赋值给出定义,但未予申论。由于[6]中对环上赋值论述较详,故对环的赋值常以Manis赋值称之。
2在(1)中出现的<是Γ中的大小关系,而在τ<ζ所用的<侧为T中的前后关系,同一符号代表两个不同的意义。特此说明。
3在域的情况,与此相类同的结论是[13]定理2及定理3。
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