Sur l'exemple d'Euler d'une fonction complètement multiplicative à somme nulle

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• 作者：Jean-Pierre Kahane^a ; ^{jean-pierre.kahane@u-psud.fr" class="auth_mail" title="E-mail the corresponding author} ; É ; ric Saï ; as^b ; ^{eric.saias@upmc.fr" class="auth_mail" title="E-mail the corresponding author}
• 刊名：Comptes Rendus Mathematique
• 出版年：2016
• 出版时间：June 2016
• 年：2016
• 卷：354
• 期：6
• 页码：559-561
• 全文大小：192 K

文摘

Euler a publié une formule que nous écrivons aujourd'hui class="mathmlsrc">title="View the MathML source" class="mathImg" data-mathURL="/science?_ob=MathURL&_method=retrieve&_eid=1-s2.0-S1631073X16300267&_mathId=si1.gif&_user=111111111&_pii=S1631073X16300267&_rdoc=1&_issn=1631073X&md5=59f0aaa1592d2a212318428459de8bc8">class="imgLazyJSB inlineImage" height="33" width="66" alt="View the MathML source" title="View the MathML source" src="/sd/grey_pxl.gif" data-inlimgeid="1-s2.0-S1631073X16300267-si1.gif">class="mathContainer hidden">class="mathCode">$\sum _1^{\infty }\frac{\lambda (n)}{n}=0$, λ   étant la fonction complètement multiplicative qui vaut −1 sur les nombres premiers. Ainsi, class="mathmlsrc">title="View the MathML source" class="mathImg" data-mathURL="/science?_ob=MathURL&_method=retrieve&_eid=1-s2.0-S1631073X16300267&_mathId=si2.gif&_user=111111111&_pii=S1631073X16300267&_rdoc=1&_issn=1631073X&md5=2b60605c657cef875a11c18e64a74aed">class="imgLazyJSB inlineImage" height="26" width="37" alt="View the MathML source" title="View the MathML source" src="/sd/grey_pxl.gif" data-inlimgeid="1-s2.0-S1631073X16300267-si2.gif">class="mathContainer hidden">class="mathCode">$\left(\frac{\lambda (n)}{n}\right)$ est un exemple de fonction CMO (complètement multiplicative à somme nulle). Nous étendons cette formule au cas où λ est définie sur des nombres premiers et entiers généralisés de Beurling, suivant la condition sur les premiers généralisés donnée par Diamond pour assurer la régularité de la distribution des entiers généralisés (théorème 3). En guise d'application, nous indiquons comment construire, pour tout a entre 0 et 1, une fonction CMO   dont la distribution du support est de la forme class="mathmlsrc">class="formulatext stixSupport mathImg" data-mathURL="/science?_ob=MathURL&_method=retrieve&_eid=1-s2.0-S1631073X16300267&_mathId=si3.gif&_user=111111111&_pii=S1631073X16300267&_rdoc=1&_issn=1631073X&md5=15e0a697aab44bee44cfa2f73fb832c1" title="Click to view the MathML source">Dx^a(1+o(1))class="mathContainer hidden">class="mathCode">$D{x}^a(1+o(1))$class="mathmlsrc">class="formulatext stixSupport mathImg" data-mathURL="/science?_ob=MathURL&_method=retrieve&_eid=1-s2.0-S1631073X16300267&_mathId=si4.gif&_user=111111111&_pii=S1631073X16300267&_rdoc=1&_issn=1631073X&md5=2f83c588ea364a658666e3c39e5b0f70" title="Click to view the MathML source">(x→∞)class="mathContainer hidden">class="mathCode">$(x\to \infty )$ (théorème 1).