Densité des Points à Coordonnées Multiplicativement Indépendantes
详细信息 查看全文
- 作者：Francesco Amoroso and Sinnou David
- 关键词：normalized heights ; multiplicative groups ; linear relations ; Lehmer problem ; Bogomolov problem ; density properties ; essential minimum
- 刊名：The Ramanujan Journal
- 出版年：2001
- 出版时间：September 2001
- 年：2001
- 卷：5
- 期：3
- 页码：237-246
- 全文大小：102 KB
- 刊物类别：Mathematics and Statistics
- 刊物主题：Mathematics
- 出版者：Springer U.S.
- ISSN：1572-9303
文摘
Nous montrons que pour toute sous-variété algébrique d'un tore multiplicatif (non contenue dans un sous-groupe algébrique propre), on peut choisir un ensemble Zariski dense de points algébriques de hauteur contrôlée, dont toutes les coordonnées sont multiplicativement indépendantes. Cet énoncé précise et généralise un théorème de S. Zhang qui lie la hauteur projective d'une varété au minimum essentiel de la hauteur des points algébriques de celle-ci. En tenant compte d'un résultat précédent des auteurs sur le problème de Lehmer généralisé à un tore, nous en déduisons une minoration pour la hauteur normalisée d'une sous-variété d'un tore. Cette dernière est optimale à un «-prés» en le degré géométrique de la variété étudiée (confer une conjecture du second auteur avec P. Philippon).In this article, we prove that on any subvariety of a multiplicative torus which is not contained in a proper algebraic subgroup, one can find a Zariski dense set of algebraic points of small height whose coordinates are multiplicatively independent. This statement generalizes an earlier result of S. Zhang which links the projective height of a variety with the essential minimum of its algebraic points. Taking into account an earlier result of the authors on the Lehmer problem generalized to a multiplicative torus, one deduces a lower bound for the normalized height of subvarieties of multiplicative groups. This lower bound is optimal up to an in the geometric degree of the variety studied (confer a conjecture by the second author and P. Philippon).