摘要
随着变分数阶微分方程在各个领域得到了广泛深入的运用,变分数阶微分方程的求解随之成为一个新的研究热点.考虑到变时间分数阶扩散方程是工程实际中广泛涉及的一类方程,本文针对该类方程的数值求解方法进行研究.首先介绍Caputo分数阶变导数及移位切比雪夫多项式相关定义和性质.然后,基于移位切比雪夫多项式,推导了变时间分数阶微分方程矩阵算子.最后,结合配点方法,应用该算子矩阵将变时间分数阶扩散方程转化为线性方程组的求解,并通过数值算例验证该方法的有效性及正确性.
引文
[1]Samko S, Ross B. Integration and Differentiation to A Variable Fractional Order[J]. Integral Transforms&Special Functions, 1993, 1(4):277-300.
[2]Agrawal O. Formulation of Euler–Lagrange Equations for Fractional Variational Problems[J]. Journal of Mathematical Analysis&Applications, 2002, 272(1):368-379.
[3]于春肖,苑润浩,魏国勇,等.变分数阶扩散方程的新隐式差分法[J].安徽大学学报:自然科学版,2014,38(1):12-18.
[4]于强,刘发旺.时间分数阶反应-扩散方程的隐式差分近似[J].厦门大学学报(自然版),2006,45(3):315-319.
[5]卢旋珠,刘发旺.时间分数阶扩散-反应方程[J].高等学校计算数学学报,2005,27(3):267-273.
[6]Chen M, Liu F, Anh V, et al. Numerical Schemes with High Spatial Accuracy for a Variable-Order Anomalous Subdiffusion Equation[J]. Siam Journal on Scientific Computing, 2010, 32(4):1740-1760.
[7]Zhuang P, Liu F, Anh V, et al. Numerical Methods for the Variable-Order Fractional Advection-Diffusion Equation with a Nonlinear Source Term[J]. Siam Journal on Numerical Analysis, 2009, 47(3):1760-1781.
[8]Sun H, Chen W, Chen Y. Variable-Order Fractional Differential Operators in Anomalous Diffusion Modeling[J]. Physica A Statistical Mechanics&Its Applications,2009, 388(21):4586-4592.
[9]沈淑君.变时间分数阶扩散方程的数值模拟[J].莆田学院学报,2011,18(5):5-9.
[10]刘立卿.基于Bernstein多项式求五类变分数阶微分方程的数值解[D].秦皇岛:燕山大学,2014.
[11]Saadatmandi A, Dehghan M. A New Operational Matrix for Solving Fractional-Order Differential Equations[J]. Computers&Mathematics with Applications, 2010,59(3):1326-1336.
[12]吴绪权,杨国武.切比雪夫多项式的通项表达式[J].武汉理工大学学报(交通科学与工程版),2000,24(5):573-576.