元明时代的筹算开平方新法——连接传统筹算开平方与珠算开平方的桥梁
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摘要
除传统布算的筹算开平方法外,元末明初还出现了至少两种筹算开平方新法。它们与后来编成的算书中的几种筹算开平方新法,反映了在珠算趋于流行背景下筹算开平方法的改革。其共同特点是,各项均没有退位变化,这正是筹算开平方过渡到珠算开平方的关键一步。其中,筹算三层开平方法尤其适合改造成珠算商除开平方,这种改造的出现应不晚于16世纪上半叶,而可能更早。归除开平方法,是归除法与珠算商除开平方法的结合,大约产生于16世纪六七十年代。从算理上讲,筹算开平方发展为珠算开平方的大致脉络为:传统筹算开平方法到筹算开平方新法,到珠算商除开平方法,再到珠算归除开平方法。此外,文章针对没有说明算具的情况,还提出了能更加精确地判断珠算开方与筹算开方的标准。
In addition to the traditional methods for extracting roots with counting rods, at least two new methods for extracting roots with counting rods appeared in the mathematical books of the period from the late Yuan to early Ming dynasties. These methods, and other new methods in mathematical books composed in later periods, reflect the reform of the methods for extracting roots with counting rods in the context of the increasing popularity of the abacus. The common feature of these methods is that all the terms placed with counting rods were never moved back. This is a key step in the transition from the extraction of square roots with counting rods to that with the abacus.Among these new methods, the three-layers ones using counting rods were more suitable to be reformed into the shangchu method for extracting roots using the abacus, and this reform happened no later than the first half of the 16 thcentury, possibly earlier. The guichu method for extracting roots is a combination of guichu division and the shangchu method for extracting roots with the abacus, whichprobably originated in the 1560 s or 1570 s. In terms of the logic of the development of algorithms, we can summarize the general framework of this change as follows: from the traditional method for extracting roots with counting rods to the new methods for extracting roots with counting rods, then to the shangchu method for extracting roots with the abacus, and finally to the guichu method for extracting roots with the abacus. Furthermore, since some texts do not mention which calculating tools were used, this paper proposes a new accurate standard with which we can distinguish the extraction of roots with counting rods from the extraction of roots with the abacus.
In addition to the traditional methods for extracting roots with counting rods, at least two new methods for extracting roots with counting rods appeared in the mathematical books of the period from the late Yuan to early Ming dynasties. These methods, and other new methods in mathematical books composed in later periods, reflect the reform of the methods for extracting roots with counting rods in the context of the increasing popularity of the abacus. The common feature of these methods is that all the terms placed with counting rods were never moved back. This is a key step in the transition from the extraction of square roots with counting rods to that with the abacus.Among these new methods, the three-layers ones using counting rods were more suitable to be reformed into the shangchu method for extracting roots using the abacus, and this reform happened no later than the first half of the 16 thcentury, possibly earlier. The guichu method for extracting roots is a combination of guichu division and the shangchu method for extracting roots with the abacus, whichprobably originated in the 1560 s or 1570 s. In terms of the logic of the development of algorithms, we can summarize the general framework of this change as follows: from the traditional method for extracting roots with counting rods to the new methods for extracting roots with counting rods, then to the shangchu method for extracting roots with the abacus, and finally to the guichu method for extracting roots with the abacus. Furthermore, since some texts do not mention which calculating tools were used, this paper proposes a new accurate standard with which we can distinguish the extraction of roots with counting rods from the extraction of roots with the abacus.
引文
1华印椿.中国珠算史稿[M].北京:中国财政经济出版社,1987.396~397.
2李迪.中国数学史大系第6卷西夏金元明[M].北京:北京师范大学出版社,1999.403.
3韩祥临.《算法统宗》与珠算[J].湖州师范学院学报,1999,21(6):28~36.
4山崎與右衛門,戶谷清一,鈴木久男.珠算算法の歴史[M].東京:森北出版株式会社,1958.438~440.
5郭书春.中国科学技术史·数学卷[M].北京:科学出版社,2010.574.
6李俨.十三、十四世纪中国民间数学[M].北京:科学出版社,1957.54~55.
7劳汉生.珠算与实用算术[M].石家庄:河北科学技术出版社,2000.231~232.
8邹大海.透廉细草提要[M]//中国科学技术典籍通汇·数学卷.第1分册.郑州:河南教育出版社,1993.1281.
9滕艳辉.《透廉细草》内容分析与评价[J].广西民族大学学报(自然科学版),2010,16(3):26~28,33.
10永乐大典算法[M]//中国科学技术典籍通汇·数学卷.第1分册.郑州:河南教育出版社,1993.1419~1420.
11丁巨.丁巨算法[M]//中国科学技术典籍通汇·数学卷.第1分册.郑州:河南教育出版社,1993.1301.
12贾亨.算法全能集[M]//中国科学技术典籍通汇·数学卷.第1分册.郑州:河南教育出版社,1993.1345.
13安止斋,何平子.详明算法[M]//中国科学技术典籍通汇·数学卷.第1分册.郑州:河南教育出版社,1993.1370.
14朱希安,叶宗义.当代中国珠算[M].北京:中国财经出版社,2000.52.
15严敦杰.关于明初刊本的《通原算法》[C]//梅荣照.明清数学史论文集.南京:江苏教育出版社,1990.21~25.
16段耀勇.筹式开方中借算的位置[J].内蒙古师范大学报(自然科学汉文版),2000,29(4):321~324.
17程大位.算法统宗[M]//中国科学技术典籍通汇·数学卷.第2分册.郑州:河南教育出版社,1993.1418~1419.
18吴敬.九章算法比类大全[M]//中国科学技术典籍通汇·数学卷.第2分册.郑州:河南教育出版社,1993.36.
19李迪,王荣彬.明代算书《一鸿算法》研究[J].自然科学史研究,1993,12(2):112~119.
20郭世荣.算法统宗导读[M].武汉:湖北教育出版社,2000.238.
21吉田光由.塵劫記[M]//日本科學技術古典籍資料·數學篇(13)//近世歷史資料集成.第Ⅶ期.第10卷.東京:科学書院,2016.112~116.
22王文素.算学宝鉴[M]//中国科学技术典籍通汇·数学卷.第2分册.郑州:河南教育出版社,1993.557.
23唐顺之.武编[M]//中国兵书集成.第13~14册.北京:解放军出版社;辽沈书社,1989.20~21.
24黄仁宇.唐顺之[C]//富路特,房兆楹.明代名人传.5.北京:北京时代华文书局,2015.1715~1720.
25杨涤非,邹大海.中国古代军事中的计和算:以开方术在布营中的运用为例[J].广西民族大学学报(自然科学版),2014,20(2):15~20.
26朱载堉.算学新说[M]//中国科学技术典籍通汇·物理卷.第2分册.郑州:河南教育出版社,1995.434.
27朱载堉.嘉量算经[M]//丛书集成三编.第29册.台北:新文丰出版公司,1997.241.
28李天纲.朱载堉集4[M].上海:上海交通大学出版社,2013.3326.
29李培业.中国珠算简史[M].北京:中国财政经济出版社,2007.91.
30戴念祖.朱载堉著作及贡献综述[C]//李天纲.朱载堉集1.上海:上海交通大学出版社,2013.1~40.
(1)这里所说的新法,并非指运算程序上有多大的进步,而是指这种筹算开方法与以前的筹算开方法相比,其各项在布局上呈现出新的特点,这些特点又出现在后来成熟的珠算开方法中,对于珠算开方法的产生有很关键的作用。
(2)《透廉细草》现存71题,其中54题1814年由鲍廷博从《永乐大典》部分卷帙中辑出并刻入《知不足斋丛书》的《透廉细草》残卷,17题见于现存《永乐大典》卷16343和卷16344中。另外,清莫友芝所录《诸家算法》中的13题与《知不足斋丛书》中的后13题相同。三种材料都源于《永乐大典》。见邹大海:《透廉细草提要》[8]。
(3)滕艳辉错误地认为《透廉细草》未单独给出开方的具体过程[9],这是因为他没有看到《永乐大典》中所录《透廉细草》的内容,不知其中有开平方法细草。
(1)《十三、十四世纪中国民间数学》误作“三”([6],9页)。
(2)原文误作“十”,李俨亦从之([6],9页),今据算理校正为“千”。
(3)原文误作“百”,今从李俨校正为“十”([6],9页)。
(4)原文误作“二”,今从李俨校正为“一”([6],9页)。
(5)原文“六尺”下有“一步”二字,疑因古代六尺为一步而误衍“一步”,今删之。
(1)《丁巨算法》原8卷,现存仅90题,有两个来源。一为清《知不足斋丛书》中的《丁巨算法》残本,存62题,二为现存《永乐大典》卷16343、16344所录《丁巨算法》,存28题。另外,《诸家算法及序记》录有28题,与前者的后28题相同。([5],526页)
(1)“倍方法八”是指把方法148中的8加倍,加倍以后要往高位进一,方法就变成了156,所以下文说“得方法一百五十六”。
(1)原文作“问”,今校改为“商”。可能“商”字上半部残损,之后又被误识为“问”。
(1)可能因为第三位商使乘减后没有余数,作者用了一个简省的表述,没再给出细节。据前面的行文习惯,可将步骤补全为:“下方亦续六,又将上下六为六六三十六,又除三百六十。又将上下六为六六三十六,又除三十六。适尽。”
(2)“方法”由商的位置确定后,不再需要也不能进行退位变化了。
(3)此说明文字后所载例题与上述《丁巨算法》中“今有平方积五万五千六百九十六尺”例题相同,且例解基本一致,如最后“续商六”之后直接是“以六除,尽”,没有详述如何“以六除”的过程。说明《算法全能集》和《丁巨算法》有很大渊源关系。
(1)此处“除见合得之数,另置于上”与该算书开平方歌诀“除得其间上置诸”刚好对应。
(2)“揔”,同“总”。下同。
(1)“逐位续商尽而止”,可能是“逐位续商,商尽而止”之误,可能流传过程中“商”字下脱重文号“=”。
(2)朱希安等认为《算法全能集》和《详明算法》中的商除法是将古法上商、中实、下法的三行式改排为左商、中实、右法的一行式,并称这是将筹算方法直接搬上算盘的表现[14]。此说法不妥。首先从《详明算法》的歌诀及对应的解释可知,其布算只有“商”、“总数”两项,未见有“法数”的布算说明;其次,商数“另置于上”中的“上”字解释为左边比解释为上方需要更多的证据;商数“别置一位下之”是另外安排一个位置放下算筹来表示商数的意思,其中“下”字不是指下面,而是动词,表示放下(算筹)之义,应该是指放在上方。即使在左边,同样可以是使用算筹,不一定是用算盘。况且如果是用算盘,则商数在左边,不能用“下”,只能说“上”字(如果不用“左”字的话)来描述。另外,“则之命”疑当作“则以法命之”。
(3)方法退一位时,数值缩小到1/10,严格地说需要把算筹的纵式变成横式、横式变成纵式,这会增加出错的机率;但不做改变也对计算没什么影响,没有材料说明古人是否严格地做这种改变。
(1)原文中称为“约法”、“常隅”、“下法”或“隅法”。
(2)原文中称为“隅”或“隅法”。
(3)原文中称为“下隅”。
[(1)原文“百”字前有“千”,郭世荣亦从之20]。据算理,此“千”字为衍文,今删之。
(1)华判为珠算开方的《通原算法》开平方法有5项,与他所列珠算用3项的标准相矛盾。
(1)日本吉田光由《尘劫记》(1627)中有将筹算开方法各项数字直接用多个算盘来表示而形成的珠算开方法[21],是筹算开方过渡到珠算开方的一种最直接且最简单的原始过渡形式。这种形式在中国也可能产生过,但现存中算著作中的珠算开方法都是各项在算盘上从左至右进行排列,而我们关注的是不那么容易判断的开方文献,所以本文所说珠算开方暂不包括这种情形。
(1)郭一鹗为《武编》写的序言说:“得是编熟之化之,天下无勍敌矣!荆川先生熟而化此,以南剿倭、北创虏,十用其七八”[23],似乎《武编》在唐顺之1555年复出参加抗倭[24]之前已成书。
(2)“陪”通“倍”,或为“倍”之误[25]。
2李迪.中国数学史大系第6卷西夏金元明[M].北京:北京师范大学出版社,1999.403.
3韩祥临.《算法统宗》与珠算[J].湖州师范学院学报,1999,21(6):28~36.
4山崎與右衛門,戶谷清一,鈴木久男.珠算算法の歴史[M].東京:森北出版株式会社,1958.438~440.
5郭书春.中国科学技术史·数学卷[M].北京:科学出版社,2010.574.
6李俨.十三、十四世纪中国民间数学[M].北京:科学出版社,1957.54~55.
7劳汉生.珠算与实用算术[M].石家庄:河北科学技术出版社,2000.231~232.
8邹大海.透廉细草提要[M]//中国科学技术典籍通汇·数学卷.第1分册.郑州:河南教育出版社,1993.1281.
9滕艳辉.《透廉细草》内容分析与评价[J].广西民族大学学报(自然科学版),2010,16(3):26~28,33.
10永乐大典算法[M]//中国科学技术典籍通汇·数学卷.第1分册.郑州:河南教育出版社,1993.1419~1420.
11丁巨.丁巨算法[M]//中国科学技术典籍通汇·数学卷.第1分册.郑州:河南教育出版社,1993.1301.
12贾亨.算法全能集[M]//中国科学技术典籍通汇·数学卷.第1分册.郑州:河南教育出版社,1993.1345.
13安止斋,何平子.详明算法[M]//中国科学技术典籍通汇·数学卷.第1分册.郑州:河南教育出版社,1993.1370.
14朱希安,叶宗义.当代中国珠算[M].北京:中国财经出版社,2000.52.
15严敦杰.关于明初刊本的《通原算法》[C]//梅荣照.明清数学史论文集.南京:江苏教育出版社,1990.21~25.
16段耀勇.筹式开方中借算的位置[J].内蒙古师范大学报(自然科学汉文版),2000,29(4):321~324.
17程大位.算法统宗[M]//中国科学技术典籍通汇·数学卷.第2分册.郑州:河南教育出版社,1993.1418~1419.
18吴敬.九章算法比类大全[M]//中国科学技术典籍通汇·数学卷.第2分册.郑州:河南教育出版社,1993.36.
19李迪,王荣彬.明代算书《一鸿算法》研究[J].自然科学史研究,1993,12(2):112~119.
20郭世荣.算法统宗导读[M].武汉:湖北教育出版社,2000.238.
21吉田光由.塵劫記[M]//日本科學技術古典籍資料·數學篇(13)//近世歷史資料集成.第Ⅶ期.第10卷.東京:科学書院,2016.112~116.
22王文素.算学宝鉴[M]//中国科学技术典籍通汇·数学卷.第2分册.郑州:河南教育出版社,1993.557.
23唐顺之.武编[M]//中国兵书集成.第13~14册.北京:解放军出版社;辽沈书社,1989.20~21.
24黄仁宇.唐顺之[C]//富路特,房兆楹.明代名人传.5.北京:北京时代华文书局,2015.1715~1720.
25杨涤非,邹大海.中国古代军事中的计和算:以开方术在布营中的运用为例[J].广西民族大学学报(自然科学版),2014,20(2):15~20.
26朱载堉.算学新说[M]//中国科学技术典籍通汇·物理卷.第2分册.郑州:河南教育出版社,1995.434.
27朱载堉.嘉量算经[M]//丛书集成三编.第29册.台北:新文丰出版公司,1997.241.
28李天纲.朱载堉集4[M].上海:上海交通大学出版社,2013.3326.
29李培业.中国珠算简史[M].北京:中国财政经济出版社,2007.91.
30戴念祖.朱载堉著作及贡献综述[C]//李天纲.朱载堉集1.上海:上海交通大学出版社,2013.1~40.
(1)这里所说的新法,并非指运算程序上有多大的进步,而是指这种筹算开方法与以前的筹算开方法相比,其各项在布局上呈现出新的特点,这些特点又出现在后来成熟的珠算开方法中,对于珠算开方法的产生有很关键的作用。
(2)《透廉细草》现存71题,其中54题1814年由鲍廷博从《永乐大典》部分卷帙中辑出并刻入《知不足斋丛书》的《透廉细草》残卷,17题见于现存《永乐大典》卷16343和卷16344中。另外,清莫友芝所录《诸家算法》中的13题与《知不足斋丛书》中的后13题相同。三种材料都源于《永乐大典》。见邹大海:《透廉细草提要》[8]。
(3)滕艳辉错误地认为《透廉细草》未单独给出开方的具体过程[9],这是因为他没有看到《永乐大典》中所录《透廉细草》的内容,不知其中有开平方法细草。
(1)《十三、十四世纪中国民间数学》误作“三”([6],9页)。
(2)原文误作“十”,李俨亦从之([6],9页),今据算理校正为“千”。
(3)原文误作“百”,今从李俨校正为“十”([6],9页)。
(4)原文误作“二”,今从李俨校正为“一”([6],9页)。
(5)原文“六尺”下有“一步”二字,疑因古代六尺为一步而误衍“一步”,今删之。
(1)《丁巨算法》原8卷,现存仅90题,有两个来源。一为清《知不足斋丛书》中的《丁巨算法》残本,存62题,二为现存《永乐大典》卷16343、16344所录《丁巨算法》,存28题。另外,《诸家算法及序记》录有28题,与前者的后28题相同。([5],526页)
(1)“倍方法八”是指把方法148中的8加倍,加倍以后要往高位进一,方法就变成了156,所以下文说“得方法一百五十六”。
(1)原文作“问”,今校改为“商”。可能“商”字上半部残损,之后又被误识为“问”。
(1)可能因为第三位商使乘减后没有余数,作者用了一个简省的表述,没再给出细节。据前面的行文习惯,可将步骤补全为:“下方亦续六,又将上下六为六六三十六,又除三百六十。又将上下六为六六三十六,又除三十六。适尽。”
(2)“方法”由商的位置确定后,不再需要也不能进行退位变化了。
(3)此说明文字后所载例题与上述《丁巨算法》中“今有平方积五万五千六百九十六尺”例题相同,且例解基本一致,如最后“续商六”之后直接是“以六除,尽”,没有详述如何“以六除”的过程。说明《算法全能集》和《丁巨算法》有很大渊源关系。
(1)此处“除见合得之数,另置于上”与该算书开平方歌诀“除得其间上置诸”刚好对应。
(2)“揔”,同“总”。下同。
(1)“逐位续商尽而止”,可能是“逐位续商,商尽而止”之误,可能流传过程中“商”字下脱重文号“=”。
(2)朱希安等认为《算法全能集》和《详明算法》中的商除法是将古法上商、中实、下法的三行式改排为左商、中实、右法的一行式,并称这是将筹算方法直接搬上算盘的表现[14]。此说法不妥。首先从《详明算法》的歌诀及对应的解释可知,其布算只有“商”、“总数”两项,未见有“法数”的布算说明;其次,商数“另置于上”中的“上”字解释为左边比解释为上方需要更多的证据;商数“别置一位下之”是另外安排一个位置放下算筹来表示商数的意思,其中“下”字不是指下面,而是动词,表示放下(算筹)之义,应该是指放在上方。即使在左边,同样可以是使用算筹,不一定是用算盘。况且如果是用算盘,则商数在左边,不能用“下”,只能说“上”字(如果不用“左”字的话)来描述。另外,“则之命”疑当作“则以法命之”。
(3)方法退一位时,数值缩小到1/10,严格地说需要把算筹的纵式变成横式、横式变成纵式,这会增加出错的机率;但不做改变也对计算没什么影响,没有材料说明古人是否严格地做这种改变。
(1)原文中称为“约法”、“常隅”、“下法”或“隅法”。
(2)原文中称为“隅”或“隅法”。
(3)原文中称为“下隅”。
[(1)原文“百”字前有“千”,郭世荣亦从之20]。据算理,此“千”字为衍文,今删之。
(1)华判为珠算开方的《通原算法》开平方法有5项,与他所列珠算用3项的标准相矛盾。
(1)日本吉田光由《尘劫记》(1627)中有将筹算开方法各项数字直接用多个算盘来表示而形成的珠算开方法[21],是筹算开方过渡到珠算开方的一种最直接且最简单的原始过渡形式。这种形式在中国也可能产生过,但现存中算著作中的珠算开方法都是各项在算盘上从左至右进行排列,而我们关注的是不那么容易判断的开方文献,所以本文所说珠算开方暂不包括这种情形。
(1)郭一鹗为《武编》写的序言说:“得是编熟之化之,天下无勍敌矣!荆川先生熟而化此,以南剿倭、北创虏,十用其七八”[23],似乎《武编》在唐顺之1555年复出参加抗倭[24]之前已成书。
(2)“陪”通“倍”,或为“倍”之误[25]。