曲面形态连续介质一般运动的涡量动力学理论与数值研究——Ⅰ理论研究部分
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摘要
曲面形态连续介质作为一种理论模型指连续介质的厚度/法向尺度远远小于其展向/切平面尺度,而且仅考虑物理量在展向的时空演化而不考虑其在法向的时空演化。类比于经典的体积形态的连续介质的有限变形理论,我们已提出曲面形态连续介质的有限变形理论,主要包括:构型构造,变形梯度及其基本性质,基于变形梯度的变形刻画,基于变形刻画的输运方程;基于内蕴形式的第二类广义Stokes公式获得质量守恒、动量守恒、动量矩守恒以及能量守恒的积分方程,并可结合输运方程获得各种守恒律的微分方程。曲面形态连续介质的一般运动可设计为运动基面上的相对运动,对应的典型事例诸如海面上的油污扩散(海面作为基面具有自身运动,而油污相对基面具有相对运动)与运动皂膜的流动(皂膜作为基面具有自身运动,而构成皂膜的液膜又具有自身运动)。如果基面静止,则相对基面的运动为固定曲面上的运动;如果仅有基面运动而无相对运动,则纯粹的基面运动为膜运动。本报告将阐述我们新近发展的曲面形态连续介质一般运动的涡量动力学相关理论。理论研究方面,我们就一般运动引入速度分解,将曲面介质的速度分解为基面运动速度与相对运动速度之和。进一步,基于速度分解,对速度作用曲面上梯度算子可以获得胀量分解;对速度作用Levi-Civita算子可以获得涡量分解。基于Levi-Civita算子,我们可获得运动学意义的相对速度的涡量控制方程。另一方面,基于速度分解,可以获得加速度分解,将曲面介质的加速度分解为基面运动加速度与相对运动加速度之和。基于加速度分解,可以获得相对速度的胀量控制方程。由于相对速度总是位于切平面,故可以引入曲面上向量场的Helmholtz-Stokes分解,可由相对胀量与相对涡量确定相对速度。综上所述,我们提出曲面形态连续介质一般运动的涡量动力学解法。基于此种解法,我们数值研究了固定曲面上的二维不可压缩与可压缩流动,运动曲面上的油污扩散以及膜运动,以此检验理论的有效性与正确性。
引文