时滞微分方程的一种展开方法
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摘要
动力学与控制系统中的时滞效应已经成为一个不容忽视的基本问题,它对于系统动力学响应特性变化、稳定性切换等都具有至关重要的影响。国内外许多学者都对时滞微分方程进行过详细的研究,取得了一系列丰硕的成果。秦元勋曾经对时滞微分方程中的时滞项按Maclaurin级数展开,从而将原时滞方程用一个截断的高阶常微分方程逼近,结果发现这种展开方法不能保持原系统的稳定性特性,因而认为时滞微分方程不可能展开。单自由度线性时滞动力学系统微分方程的特征方程是一个代数域的复超越方程,具有无穷多个特征值,且无法获得这些特征值的解析表达式。本文首先在充分宽的频域区间内,求取时滞微分方程全部特征值的数值解,经观察,其特征值分布具有如下特点:1.在以虚部为横轴、实部为纵轴的右半平面上(左右平面对称),特征值的分布曲线仅具有一个峰值(实部最大值),且峰值位于原无时滞开环系统的固有频率附近。从横轴来看,从零频到峰值为单调上升段,从峰值到最大频率为单调下降段;2.若时滞系统稳定,其全部无穷多个特征值的实部均小于零;若系统不稳定,其实部大于零的特征值位于上述特征值分布曲线的峰值及其附近,且为有限个;3.特征值虚部的分布,在峰值附近间隔有一定差异,远离峰值时近似按等间隔分布;基于上述特征,本文认为,可以在充分宽的频带内,构造一个有限阶的高阶常微分方程,使其具有与时滞微分方程完全一致的特征值体系,该高阶常微分方程可用来等价或逼近原时滞微分方程,从而将时滞微分方程展开成为常微分方程处理,进而使原时滞系统的动力学特性研究、稳定性分析、响应计算等等方面变得简单。本文针对原始稳定、原始不稳定、不同时滞及不同增益等多种组合工况进行了分类,求解每一类工况下时滞微分方程的特征值体系,并利用特征值重构高阶常微分方程。通过在相同的初始条件和强迫激励下的响应计算,对比研究二者解函数曲线的一致性及其误差,初步认为,论文所提出的展开方法具有一定的可行性,更详细的工作还在进一步进行中。
引文