受迫Van der Pol-Duffing振子的倍周期与拟周期之解析解研究
详细信息 查看官网全文
摘要
波兰科学家Kapitaniak在其著作中提到机械系统可以被认为是非线性科学的一个例子,其非线性效应来自于如几何非线性、非线性体积力、本构关系和运动学边界条件。并且他认为经典动力系统的非线性行为包括极限环、拟周期运动(准周期、概周期)、跃阶和混沌现象等。俄罗斯物理学家Landau和奥地利数学家兼天文学家Hopf于1940年左右研究流体流动如何变为湍流时,提出了Laudau-Hopf理论。该理论认为系统经过无穷多次准周期分叉进入混沌。而法国数学物理学家Ruelle与荷兰数学家Takens经过研究发现,只要经过有限次,一般几次即可进入混沌,亦称为Ruelle-Takens道路。这条道路是指通过若干次Hopf分叉进入混沌。随后,一批学者开始研究拟周期现象,以便对混沌系统有更深入的了解。值得一提的是波兰科学院的Stupnicka利用数值模拟和渐近理论研究了通过增加或减小受迫Van der Pol-Duffing振子的受迫频率?以达到主共振。同时利用渐近理论和拓扑概念阐述了所观察到的概周期、锁频、从非共振过渡到共振时出现的混沌和跃阶现。Shukla等人于2014年利用同伦分析方法获得了Van der Pol-Duffing振子的极限环和拟周期解。Zou等人于2016年利用同伦分析方法研究了Duffing振子的对称破裂分岔和倍周期分岔现象,但这些解析近似解仅在短时间范围内有效。本文在同伦分析方法的框架下,结合多尺度方法的思想,得到了受迫Van der Pol-Duffing振子在长时间范围内收敛的周期解、倍周期解和拟周期解。同时提出可信赖时间Tc来度量拟周期解析近似解的有效时间。
引文