分数阶非线性系统的激变现象
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摘要
分数阶微积分是将整数阶微积分推广到任意阶的一种微积分。由于分数阶微积分缺乏明确的物理意义,因此在初期时发展较为缓慢,主要在纯数学领域内被人们研究。直到1974年,Oldham和Spanier合著的第一部有关分数阶微积分的专著《应用分数阶微积分》拉开了分数阶微积分应用的大幕。上个世纪70年代Mandelbrot提出了自然界中存在着大量分数维的事实,从此分数阶微积分理论得到了迅猛的发展,各种应用分数阶微积分的实例大量涌现。非线性动力学的分岔和混沌的研究一直是非线性性科学领域中最活跃的研究前沿问题。混沌作为非线性动力系统是一种特殊现象,它的产生往往是由于分岔引起的,如周期倍分岔、准周期环面破裂等道路是混沌产生的重要途径。对于混沌系统,往往会发生激变,这是一种非常独特的分岔现象,主要指混沌吸引子的突然消失或者出现的问题,这种变化在非线性动力学系统中普遍存在。胞映射方法是上世纪80年代由Hsu提出的,其基本思想是将连续的相空间转化为离散的胞状态空间,动力系统相应的转化为胞映射动力系统,研究胞和胞直接的转移关系完成对原动力系统全局动力学的研究。一直以来,胞映射方法在整数阶系统的全局动力学和分岔分析上,取得了丰富的结果。但对于分数阶系统的全局动力学来说,一直没有合适的数值算法进行研究。究其原因主要是因为分数阶微积分的算子是全局算子,具有记忆累积性;而Markov链是无后效性的,即无记忆性。因此使得分数阶系统的演化不能用Markov链来描述。所以,对于分数阶系统的动力学目前只限于对单个或者有限几个初值的稳态归属问题的研究,而关于分数阶系统的全局动力学研究鲜有报道。综合以上原因,对一个非自治分数阶系统的激变现象进行了研究。首先介绍了一种研究分数阶非线性系统全局动力学的数值方法,即拓展的广义胞映射方法(EGCM)。该方法是基于分数阶导数的短记忆原理,并结合了广义胞映射方法和改进的预估校正算法,根据胞空间的特点,将胞尺寸作为截断误差的参考值,以此得到了一步映射时间的估算公式。用EGCM方法分别研究了一个分数阶系统随分数阶导数的阶数和外激励强度变化的发生的边界激变和内部激变。所得结果说明了EGCM方法对于分析分数阶系统全局动力学的有效性。
引文