数学基本活动经验研究
|
摘要
2001年义务教育数学课程标准（实验稿）将“数学活动经验”作为数学知识的一部分，在课程目标中首次提出。2011年版义务教育数学课程标准将“数学基本活动经验”与“数学知识”并列，作为“四基”之一单独提出。为什么在数学课程目标中单独提出？怎么理解？实践中如何落实？相关问题的研究有时代意义和现实意义。
数学基本活动经验包括“思维活动的经验”和“实践活动的经验”，论文针对“思维活动的经验”进行了较为深入的理论结合实践的探讨。理论方面构建了数学基本活动经验的内涵和维度划分；理论结合实践，构建了学生数学基本活动经验的层次水平划分；根据维度划分和层次水平划分，自行研制测试问卷，调查研究了1295名初中学生数学基本活动经验的现状；进行持续两个多月的日常课堂教学追踪，研究初二“一次函数”课堂教学积累学生数学基本活动经验的现状，并给出改进建议。研究采用定性和定量相结合的方法，理论框架的构建通过定性研究，学生数学基本活动经验的现状调研通过定量研究。定量研究包括层次分析法确定每题不同层次的相对合理赋分；对测试问卷的数据进行统计处理：求样本均值考察总体状况；进行方差分析检验年级间差异；通过聚类分析确定层次水平划分等。
研究得到如下主要结论：
1．数学基本活动经验的提出是基于创新人才的培养，是时代发展和数学发展的需要。数学基本活动经验是亲身经历和感悟的结果，它不同于数学知识，也不同于数学能力。知识能够传递，可以不经过亲身实践而被告知；能力更细化，直接体现在数学活动效率上；数学基本活动经验不能传递，必须亲身实践和感悟，更为综合，需要长时间积淀。
2．数学基本活动经验是长时间经历和感悟了数学的归纳推理和演绎推理后，形成的一种数学思维模式，进而获得一定的数学直观。表现在中小学生身上，主要为“从最简单问题入手、循序渐进地摸索规律和性质，并获得一般结论的数学思维模式”。其中“摸索规律”，是尝试性分析特例、发现共性、特性、关系的“思考”过程。
3．数学基本活动经验的维度划分是观察联想、归纳猜想、表达、验证或证明，层次水平划分包括模仿阶段、性质阶段和实质阶段。“模仿阶段”没有形成“观察入手、特例启发、探索规律和结论”的有效数学思维模式，只是单纯模仿；“性质阶段”形成了这种有效数学思维模式，能看到问题共性，但还不能看到问题的最本质，也不能触类旁通；“实质阶段”能看到问题的共性、特性和关系，看到问题的核心和本质，能进行问题的远端联想。
4．自行研制的测试问卷从数学基本活动经验的四个维度进行了考察。结果表明：初中学生数学基本活动经验总体状况一般；四个维度中，学生在归纳猜想维度发展均衡，其他维度呈偏态分布；聚类分析结果表明，初中学生大部分处于数学基本活动经验的第一级水平“模仿阶段”和第二级水平“性质阶段”，即能进行模仿，初步归纳概括，看到问题的形式或表面；很少一部分学生达到第三级水平“实质阶段”，能看到问题的核心和实质，但没有丰富联想；极少一部分学生达到第三级水平“实质阶段”，能看到问题的核心和实质，并有丰富联想。
5．课堂教学观察的结果，以及教学过程中“看图编故事”的测试表明：教师不能自觉、有意识地帮助学生建立“从最简单问题入手，循序渐进探索规律和结论”的数学思维模式；学生的思考往往带有自己的原始直观，教学容易忽视学生的原始直观；达到数学基本活动经验层次水平三是重要的，即能看到问题“实质”并展开“联想”，但看到“实质”未必一定有丰富“联想”，教学需要帮助学生在认识问题实质基础上进一步联想。
在此基础上提出：教学要保护学生的原始直观，要正确引导、帮助学生建立起正确的直观；要让学生“学会数学思考”，即观察入手、特例揭示，归纳推理得到猜想；广泛联想、进入“漫江碧透、鱼翔浅底”的浮想联翩境地。
“Mathematical fundamental activity experience” as part of the course objectives of theexperimental version of the Chinese compulsory education mathematics curriculum standardswas first proposed in2001. In2011, it was proposed as one of “the four basic requirements ofthe course objectives” in the current version of the compulsory education mathematicscurriculum standards. Research was undertaken to investigate the nature of “mathematicalfundamental activity experience” and why it should be included as a key component of thecourse objectives. These are important questions in the context of curricular reform in Chinaand investigation of the classroom implementation of “mathematical fundamental activityexperience” provides significant insight into the reform process and the challengesconfronting mathematics teachers in China and elsewhere.
The research reported in this paper defined mathematical fundamental activity experienceand constructed a theoretical framework, including its dimensions and associated hierarchicalstructure, with which to investigate its implementation in the classroom. On the practical side,the paper identifies the conditions governing junior middle school students’ experience of thefundamental mathematical activity through questionnaires and the investigation of the dailyclass teaching of “linear function” for eighth-grade students. The research methods includedboth qualitative and quantitative approaches, such as hierarchical analysis of the relativelyobjective scores of the test questions, and cluster analysis of measures of the level of students’fundamental mathematical activity experience.
The main conclusions are the following:
First, the fundamental mathematical activity experience is based on the cultivation ofinnovative talents, which are the requirement of the times and of developments in thediscipline of mathematics. Mathematical activity experience is different from mathematicalknowledge and also different from mathematical ability. Knowledge can be told; ability canbe divided into parts, while mathematical activity experience must be a combination ofpersonal practice and comprehension, and takes a long time to develop.
Second, mathematical fundamental activity experience provides the basis for theformation of the individual’s mode of mathematical thinking, which should be theconsequence of personal experience of the process of mathematical inductive and deductivereasoning over an extended period of time. The outcome of this process is the formation ofmathematical intuition. This is visible in the mathematical performances of primary andsecondary school students as the mathematical thinking mode of beginning with the simplestquestions and exploring the laws of mathematics (and its nature) step by step. Among these,“exploring the law” is the thinking process of analysing special cases, and of discovering common and idiosyncratic characteristics of mathematical objects and procedures. The threehierarchical divisions of the process of “exploring the law” are imitation, nature, and essence.
Third, the dimensions of mathematical fundamental activity experience are observationand association, inductive guess, expression, and verification or proof. As with “exploring thelaw,” the hierarchical levels of students’ fundamental mathematical activity experience areimitation, nature, and essence.
Fourth, the results from researcher-developed student questionnaires indicate that theoverall situation of students’fundamental mathematical activity experience is not satisfactory;the results indicate a normal distribution in the inductive guess dimension, but skeweddistribution in the other dimensions. The results of the cluster analysis indicate that manystudents are at the “imitation level” and “nature level”, a few students are the “nature level”,while very few students can reach the level of essence.
Finally, through classroom observation, we discover that teachers are not able to helpstudents to consciously develop the mathematical thinking mode of “starting with the simplestsituation and exploring the law step by step.” Students have their own original intuitions, andeven if the students can grasp the essence of the questions, it is not at all certain that this willlead to the development of a rich imagination–a key goal of the new curriculum.
In brief, the main idea of the paper is to enable students to develop mathematical thinking.We should help the students to accumulate mathematical fundamental activity experiences of“begin with the observation, reveal by special case, and come to guess by inductivereasoning”, on the basis of which students should be capable of forming rich mathematicalconnections, leading to sophisticated mathematical understanding, intuition and imagination.
数学基本活动经验包括“思维活动的经验”和“实践活动的经验”，论文针对“思维活动的经验”进行了较为深入的理论结合实践的探讨。理论方面构建了数学基本活动经验的内涵和维度划分；理论结合实践，构建了学生数学基本活动经验的层次水平划分；根据维度划分和层次水平划分，自行研制测试问卷，调查研究了1295名初中学生数学基本活动经验的现状；进行持续两个多月的日常课堂教学追踪，研究初二“一次函数”课堂教学积累学生数学基本活动经验的现状，并给出改进建议。研究采用定性和定量相结合的方法，理论框架的构建通过定性研究，学生数学基本活动经验的现状调研通过定量研究。定量研究包括层次分析法确定每题不同层次的相对合理赋分；对测试问卷的数据进行统计处理：求样本均值考察总体状况；进行方差分析检验年级间差异；通过聚类分析确定层次水平划分等。
研究得到如下主要结论：
1．数学基本活动经验的提出是基于创新人才的培养，是时代发展和数学发展的需要。数学基本活动经验是亲身经历和感悟的结果，它不同于数学知识，也不同于数学能力。知识能够传递，可以不经过亲身实践而被告知；能力更细化，直接体现在数学活动效率上；数学基本活动经验不能传递，必须亲身实践和感悟，更为综合，需要长时间积淀。
2．数学基本活动经验是长时间经历和感悟了数学的归纳推理和演绎推理后，形成的一种数学思维模式，进而获得一定的数学直观。表现在中小学生身上，主要为“从最简单问题入手、循序渐进地摸索规律和性质，并获得一般结论的数学思维模式”。其中“摸索规律”，是尝试性分析特例、发现共性、特性、关系的“思考”过程。
3．数学基本活动经验的维度划分是观察联想、归纳猜想、表达、验证或证明，层次水平划分包括模仿阶段、性质阶段和实质阶段。“模仿阶段”没有形成“观察入手、特例启发、探索规律和结论”的有效数学思维模式，只是单纯模仿；“性质阶段”形成了这种有效数学思维模式，能看到问题共性，但还不能看到问题的最本质，也不能触类旁通；“实质阶段”能看到问题的共性、特性和关系，看到问题的核心和本质，能进行问题的远端联想。
4．自行研制的测试问卷从数学基本活动经验的四个维度进行了考察。结果表明：初中学生数学基本活动经验总体状况一般；四个维度中，学生在归纳猜想维度发展均衡，其他维度呈偏态分布；聚类分析结果表明，初中学生大部分处于数学基本活动经验的第一级水平“模仿阶段”和第二级水平“性质阶段”，即能进行模仿，初步归纳概括，看到问题的形式或表面；很少一部分学生达到第三级水平“实质阶段”，能看到问题的核心和实质，但没有丰富联想；极少一部分学生达到第三级水平“实质阶段”，能看到问题的核心和实质，并有丰富联想。
5．课堂教学观察的结果，以及教学过程中“看图编故事”的测试表明：教师不能自觉、有意识地帮助学生建立“从最简单问题入手，循序渐进探索规律和结论”的数学思维模式；学生的思考往往带有自己的原始直观，教学容易忽视学生的原始直观；达到数学基本活动经验层次水平三是重要的，即能看到问题“实质”并展开“联想”，但看到“实质”未必一定有丰富“联想”，教学需要帮助学生在认识问题实质基础上进一步联想。
在此基础上提出：教学要保护学生的原始直观，要正确引导、帮助学生建立起正确的直观；要让学生“学会数学思考”，即观察入手、特例揭示，归纳推理得到猜想；广泛联想、进入“漫江碧透、鱼翔浅底”的浮想联翩境地。
“Mathematical fundamental activity experience” as part of the course objectives of theexperimental version of the Chinese compulsory education mathematics curriculum standardswas first proposed in2001. In2011, it was proposed as one of “the four basic requirements ofthe course objectives” in the current version of the compulsory education mathematicscurriculum standards. Research was undertaken to investigate the nature of “mathematicalfundamental activity experience” and why it should be included as a key component of thecourse objectives. These are important questions in the context of curricular reform in Chinaand investigation of the classroom implementation of “mathematical fundamental activityexperience” provides significant insight into the reform process and the challengesconfronting mathematics teachers in China and elsewhere.
The research reported in this paper defined mathematical fundamental activity experienceand constructed a theoretical framework, including its dimensions and associated hierarchicalstructure, with which to investigate its implementation in the classroom. On the practical side,the paper identifies the conditions governing junior middle school students’ experience of thefundamental mathematical activity through questionnaires and the investigation of the dailyclass teaching of “linear function” for eighth-grade students. The research methods includedboth qualitative and quantitative approaches, such as hierarchical analysis of the relativelyobjective scores of the test questions, and cluster analysis of measures of the level of students’fundamental mathematical activity experience.
The main conclusions are the following:
First, the fundamental mathematical activity experience is based on the cultivation ofinnovative talents, which are the requirement of the times and of developments in thediscipline of mathematics. Mathematical activity experience is different from mathematicalknowledge and also different from mathematical ability. Knowledge can be told; ability canbe divided into parts, while mathematical activity experience must be a combination ofpersonal practice and comprehension, and takes a long time to develop.
Second, mathematical fundamental activity experience provides the basis for theformation of the individual’s mode of mathematical thinking, which should be theconsequence of personal experience of the process of mathematical inductive and deductivereasoning over an extended period of time. The outcome of this process is the formation ofmathematical intuition. This is visible in the mathematical performances of primary andsecondary school students as the mathematical thinking mode of beginning with the simplestquestions and exploring the laws of mathematics (and its nature) step by step. Among these,“exploring the law” is the thinking process of analysing special cases, and of discovering common and idiosyncratic characteristics of mathematical objects and procedures. The threehierarchical divisions of the process of “exploring the law” are imitation, nature, and essence.
Third, the dimensions of mathematical fundamental activity experience are observationand association, inductive guess, expression, and verification or proof. As with “exploring thelaw,” the hierarchical levels of students’ fundamental mathematical activity experience areimitation, nature, and essence.
Fourth, the results from researcher-developed student questionnaires indicate that theoverall situation of students’fundamental mathematical activity experience is not satisfactory;the results indicate a normal distribution in the inductive guess dimension, but skeweddistribution in the other dimensions. The results of the cluster analysis indicate that manystudents are at the “imitation level” and “nature level”, a few students are the “nature level”,while very few students can reach the level of essence.
Finally, through classroom observation, we discover that teachers are not able to helpstudents to consciously develop the mathematical thinking mode of “starting with the simplestsituation and exploring the law step by step.” Students have their own original intuitions, andeven if the students can grasp the essence of the questions, it is not at all certain that this willlead to the development of a rich imagination–a key goal of the new curriculum.
In brief, the main idea of the paper is to enable students to develop mathematical thinking.We should help the students to accumulate mathematical fundamental activity experiences of“begin with the observation, reveal by special case, and come to guess by inductivereasoning”, on the basis of which students should be capable of forming rich mathematicalconnections, leading to sophisticated mathematical understanding, intuition and imagination.
引文
[1][175][186][190][191][美]P. J.戴维斯. R.赫什著.王前，俞晓群等译.数学经验[M].南京：江苏教育出版社，1991:12.271.123-124.7.12.
[2]国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）[R].北京：人民出版社2010：10.
[3][9][10]中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[S].北京：北京师范大学出版社，2001：6.2.2.
[4][5][6][178][179]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012：8.7.4.29-30.30.
[7]Lee v. Stiff. Developing Mathematical Reasoning in Grades K-12[M]. National Council ofteachers of mathematics.1999.
[8]刘香琴.郭玉峰.数学知识由“学术形态”向“教育形态”的转化——以“开平方”教学为例[J].中小学教材教学（月刊）2005年第7期：69-71.
[11][12]仲秀英.学生数学活动经验研究[D].西南大学博士论文，2008：4-5.5-6.
[13][14]徐利治著.徐利治论数学方法学[M].山东：山东教育出版社，2003：583.586.
[15][23][24]曹才翰、蔡金法著.数学教育学概论[M].南京：江苏教育出版社，1992：29-31.29.30-31.
[16]马复.论数学活动经验[J].数学教育学报，1996年11月第5卷第4期：22-25.
[17][26][31]张奠宙等.“基本数学经验”的界定和分类[J].数学通报，2008年第47卷第5期：4.4.4-5.
[18][39]张奠宙等.“四基”数学模块教学的构建——兼谈数学思想方法的教学[J].数学教育学报，2011年10月第20卷第5期：16.16.
[19][27][32][40]孔凡哲.基本活动经验的含义、成分与课程教学价值[J].课程教材教法.2009年3月（第29卷第3期）:33.34.34-36.37.
[20]黄翔等.获得数学活动经验应成为数学课堂教学关注的目标[J].课程教材教法.2008年1月第28卷第1期：40-41.
[21][30][35][42]王新民等.数学“四基”中“基本活动经验”的认识与思考[J].数学教育学报.2008年6月第17卷第3期：17.18.17-18.19.
[22][33]王林.我国目前数学活动经验研究综述[J].课程教材教法.2011年6月第31卷第6期:43-49.46.
[25]顾泠沅.教学改革的行动与诠释[M].北京：人民教育出版社，2003：185.
[28][34]仲秀英.学生数学活动经验的内涵探究[J].课程教材教法.2010年10月（第30卷第10期）:54.55.
[29]武江红.数学活动经验的内涵及特征探析[J].河北师范大学学报（教育科学版）2009年第11卷第2期:108.
[36]宁连华.数学活动的过程知识与教学改革[J].辽宁师范大学学报(自然科学版)第29卷第4期2006年12月:508-510.
[37]涂荣豹.数学教学认识论[M].江苏南京：南京师范大学出版社，2003:109-113；227.
[38]孙晓天.数学课程发展的国际视野[M].北京：高等教育出版社，2003.
[41]黄翔、童莉.获得数学活动经验应成为数学课堂教学关注的目标[J].课程教材教法，2008年1月:40-43.
[43]严加丽等.60年来数学双基教学研究反思[J].课程教材教法，2010年9月第30卷第9期：66.
[44]杨豫晖.数学双基教学的发展、争鸣与反思[J].中国教育学刊，2010.5：37.
[45]张红.我国数学双基教学文化的特色及其继承和发展[J].数学教育学报，2009年12月第18卷第6期：12.
[46]D. Thiessen and A. Cook-Sather (eds.), International Handbook of Student Experience inElementary and Secondary School[M].Springer,2007:1–76.
[47]Schiefele, U.,&Csikszentmihalyi, M. Motivation and ability as factors in mathematicsexperience and achievement [J]. Journal for Research in Mathematics Education,1995,26(2):163-181.
[48]John Biggs；David Kember；Doris Y P Leung. The revised two-factor study processquestionnaire: R-SPQ-2F [J]. British Journal of Educational Psychology, Mar2001:133-149.
[49]Ikseon Choi, Sang Joon LeeE，and Jong Won Jung.Designing Multimedia Case-Based InstructionAccommodating Students’ Diverse Learning Styles[J].Jl.of Educational Multimedia andHypermedia，2008:5-25.
[50]M. Jayne Fleener（Louisiana State University），Gabriel Matney（University of Arkansas atFort Smith）.Curriculum Clearings as Being-With-Mathematics Experiences: Authentic Learningthrough a Heideggerian Lens[J]. Journal of Curriculum and Pedagogy，2004:92-93.
[51]Michael de Villiers（University of KwaZuiu-Natai）.The Role and Function of Quasi-empiricalMethods in Mathematics[J].Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education，2004.
[52]Rian Stephenson, Geoff Smith，Kathryn Crawford. Creating a diversity of mathematicalexperiences for tertiary students [J].International mathematics education and technology,1998Vol.29, No.6:872-841.
[53]Hiroshi Nemoto. Mathematics Education and Reflective Experience—The Significance of“Unlearning” in Mathematics Education [J].APEC-Tsukuba International Conference: Developingmathematical thinking through reflective experience December10,2007.
[54][83][113]史宁中著.数学思想概论：数学中的归纳推理[M].长春：东北师范大学出版社，2010：142.35.111.
[55]转引自：[德]赫尔曼外尔著.齐民友译.数学与自然科学之哲学[M].上海：上海世纪出版集团，2007.8:204（E.MACH,，Erkenntnis und Irrtum，1905：231（注：马赫））.
[56][57][58][59][60][61][62][63][66][69][70][71][美]M克莱因著.刘志勇译.数学与知识的探求
[M].上海：复旦大学出版社,2010:2.4.7.16.18.48.50.50.38.51.239.250-251.
[64]史宁中著.数学思想概论:数量与数量关系的抽象[M].长春：东北师范大学出版社，2008:1.
[65][加]弗拉第米尔塔西奇著.蔡仲.戴建平译.后现代思想的数学根源[M].上海：复旦大学出版社,2005：1.
[67]让迪厄多内著.沈永欢译.当代数学：为了人类心智的荣耀[M].上海：上海教育出版社2001:7.
[68]转引自：让迪厄多内著.沈永欢译.当代数学：为了人类心智的荣耀[M].上海：上海教育出版社2001：8（A.Weil，Oeuvres scientifiques，3vol.，New York-Berlin-Heidelberg-Tokyo（Springer），1979：465）.
[72][73][74][英]G.H.哈代著.李文林等编译.一个数学家的辩白[M].南京：江苏教育出版社,1996:12.12.12.
[75]参见John von Neumann Collected Works,Ⅰ,p9，中译文参见《数学史译文集》第123页，刘金顺、何绍庚译，上海：上海科学技术出版社，1981年.
[76][77][78]张楚廷著.数学与创造[M].大连：大连理工大学出版社,2008:14-15.14.14.
[79]马克思.数学手稿[M].北京大学《数学手稿》编译组.北京：人民教育出版社，1975：204-205.
[80][81]史宁中著.数学思想概论：图形与图形关系的抽象[M].长春：东北师范大学出版社，2009：2.62.
[82][英]牛顿著.自然哲学之数学原理[M].北京：北京大学出版社，2006年1月第1版，2011年1月第九次印刷：8.
[84][85][86][88]（美）A﹒J﹒斯塔科著.刘晓陵.曾守锤译.创造能力教与学（第二版）[M].上海：华东师范大学出版社,2007：6.10.20.64.
[87]来源：科学时报2010-11-310:25:14求答钱学森之问：中国如何培养创新人才.
[89]美国数学的现在和未来[M].中译本.上海：复旦大学出版社，1996：51.
[90][91][92][93][94]课程教材研究所编.20世纪中国中小学课程标准教学大纲汇编数学卷[S].北京：人民教育出版社，2001：434.453.528.605.648.
[95][96][97][98][99][100][114][115]中国社会科学院语言研究所词典编辑室编.现代汉语词典第5版
[M].北京：商务印书馆，2009：1150.1342.444.444.1746.718.473.1281.
[101]辞海[M].上海辞书出版社，1990：1952.
[102]石中英著.教育哲学[M].北京：北京师范大学出版社，2009：111.
[103][104]喻平等.中国数学教育心理研究30年[M].北京：科学出版社，2011：261.261.
[105][110][138]许良英，范岱年编译.爱因斯坦文集Ⅰ[M].北京：商务印书馆，1976:574.574.15
[106]参见：杨振宁《我的生平》，东北师范大学60周年校庆学术报告，2006年.
[107]恩格斯.自然辩证法[M]，北京：人民出版社,1971:206.
[108][137][145][146][156][157][159][160][161][162][美]G.波利亚著.数学与猜想:数学中的归纳和类比[M].北京：科学出版社，2001:2-3.2.5.6.186.187.188.51.54.54.
[109]史宁中.数学课程标准的若干思考[J].数学通报.2007年第46卷第5期:2.
[111]钱学森主编.关于思维科学[M].上海：上海人民出版社,1987:134.
[112]金岳霖著.形式逻辑[M].北京：人民出版社，2005：211-212.
[116]转引自：[美]G.波利亚著.数学与猜想：数学中的归纳和类比[M].北京：科学出版社2001:1（《欧拉全集》第1辑，第1卷，459页，“纯粹数学中的观察实例”（Specimen de usu observationumin mathesipura））.
[117]转引自：宋丽波.表象的心理学研究与想象力训练[M].北京：北京科学技术出版社,2006：4.
[118]列宁.列宁选集第2卷[M].北京：人民出版社，1972：107.
[119]林仲贤.中国大百科全书:心理学[M].北京:中国大百科全书出版社,1988:21.
[120]彭聃龄等著.认知心理学[M].哈尔滨：黑龙江教育出版社，1990:193.
[121]朱智贤.林崇德著.思维发展心理学[M].北京：北京师范大学出版社，1986:300.
[122]加扎尼加.沈政等译.认知神经科学[M].上海：上海教育出版社，1990:193.
[123][134]戴再平等编.数学方法与解题研究[M].北京：高等教育出版社，1996：26.27.
[124]小平邦彦著.陈治中译：数学的印象[J].载《数学译林》1991年第2期.
[125]张顺燕编著.数学的美与理[M].北京：北京大学出版社,2009:9.
[126][127]转引自：张顺燕编著.数学的美与理[M].北京：北京大学出版社,2009:9.10.
[128][131]列宁.列宁选集第38卷[M].北京：人民出版社，1972：310.181
[129]毛泽东.毛泽东选集第2卷[M].北京：人民出版社，1991：467.
[130]朱智贤.林崇德著.思维发展心理学[M].北京：北京师范大学出版社，1986:116,315.
[132]毛泽东.毛泽东选集第3卷[M].北京：人民出版社，1991：774.
[133][140][163]张奠宙.过伯祥著.数学方法论稿[M].上海：上海教育出版社1998:31.32.38.
[135]Andre Weil著.王启明译.数论今昔两讲（上）[J].载《数学译林》1981年第2期.
[136]转引自：戴再平等编.数学方法与解题研究[M].北京：高等教育出版社,1996:27.
[139]王梓坤著.科学发现纵横谈[M].北京：北京师范大学出版社，2006：25，47.
[141]转引自：刘云章.马复著.数学直觉与发现[M].合肥：安徽教育出版社，1991:147.
[142]史久一.朱梧槚著.化归与归纳﹒类比﹒联想[M].南京：江苏教育出版社，2008:139.
[143][144][147][151][152][153][154][美]乔治波利亚.数学的发现—对解题的理解、研究和讲授
[M].北京：科学出版社2007:248.2.238.242.236.246.329.
[148][149][150][美]G波利亚著.数学与猜想—合情推理模式[M].北京：科学出版社2001:6.7.9
[155]转引自：[美]G.波利亚著.数学与猜想—数学中的归纳和类比[M].北京:科学出版社,2001:185（《笛卡尔全集》，Adam和Tannery出版，第10卷，1908，390页）.
[158]波利亚.《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly），第54卷，1947:201-206.
[164]I.M.Gelfand,Alexander Shen.Algebra[M].Birkhauser Boston,1993:137.
[165][173][德]Rolf Biehler等主编.数学教学理论是一门科学[M].上海：上海教育出版社，1998：265-266.258.
[166][167][168][169][美]怀特海著.思维方式[M].北京：商务印书馆，2006：3.18.10.10.
[170][171][172][英]休谟著.关文运译.郑之骧校.人性论[M].北京：商务印书馆，2004：17.22.23
[174][美]D.A.格劳斯主编.数学教与学研究手册[M].上海：上海教育出版社，1999：11
[176]华东师范大学第二附属中学校本课程.陆继红编著.数学中的联想[M].上海：华东师范大学出版社，2008：1-4.
[177]史宁中.数学的基本思想.数学通报[J].2011年第50卷第1期：1.
[180]课程教材研究所.中学数学课程教材研究开发中心.义务教育数学课程标准实验教科书数学八年级上册[M].北京：人民教育出版社，2005：110-111.10-14.
[181]曹才翰.章建跃著.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006：105-110.
[182][184][185]David Coffey. Heinemann maths zone VELS Edition9[M]. Australia: HeinemannHarcourt Education.2005:245.248-249.258-261.
[183]David Coffey. Heinemann maths zone VELS Edition10[M]. Australia: Heinemann HarcourtEducation.2005:490.
[187]顾沛.数学文化[M].北京：高等教育出版社，2008：192-198.
[188][189]孙维刚.我的三轮教育教学实验（1980.9-1997.8）[M].北京：北京教育出版社1999:16.100.
[192]教育部基础教育课程教材专家工作委员会组织编写.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M],北京：北京师范大学出版社,2012：5.
[193]高惠璇编著.实用统计方法与SAS系统[M].北京:北京大学出版社.2009.5:186-208
[2]国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）[R].北京：人民出版社2010：10.
[3][9][10]中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[S].北京：北京师范大学出版社，2001：6.2.2.
[4][5][6][178][179]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012：8.7.4.29-30.30.
[7]Lee v. Stiff. Developing Mathematical Reasoning in Grades K-12[M]. National Council ofteachers of mathematics.1999.
[8]刘香琴.郭玉峰.数学知识由“学术形态”向“教育形态”的转化——以“开平方”教学为例[J].中小学教材教学（月刊）2005年第7期：69-71.
[11][12]仲秀英.学生数学活动经验研究[D].西南大学博士论文，2008：4-5.5-6.
[13][14]徐利治著.徐利治论数学方法学[M].山东：山东教育出版社，2003：583.586.
[15][23][24]曹才翰、蔡金法著.数学教育学概论[M].南京：江苏教育出版社，1992：29-31.29.30-31.
[16]马复.论数学活动经验[J].数学教育学报，1996年11月第5卷第4期：22-25.
[17][26][31]张奠宙等.“基本数学经验”的界定和分类[J].数学通报，2008年第47卷第5期：4.4.4-5.
[18][39]张奠宙等.“四基”数学模块教学的构建——兼谈数学思想方法的教学[J].数学教育学报，2011年10月第20卷第5期：16.16.
[19][27][32][40]孔凡哲.基本活动经验的含义、成分与课程教学价值[J].课程教材教法.2009年3月（第29卷第3期）:33.34.34-36.37.
[20]黄翔等.获得数学活动经验应成为数学课堂教学关注的目标[J].课程教材教法.2008年1月第28卷第1期：40-41.
[21][30][35][42]王新民等.数学“四基”中“基本活动经验”的认识与思考[J].数学教育学报.2008年6月第17卷第3期：17.18.17-18.19.
[22][33]王林.我国目前数学活动经验研究综述[J].课程教材教法.2011年6月第31卷第6期:43-49.46.
[25]顾泠沅.教学改革的行动与诠释[M].北京：人民教育出版社，2003：185.
[28][34]仲秀英.学生数学活动经验的内涵探究[J].课程教材教法.2010年10月（第30卷第10期）:54.55.
[29]武江红.数学活动经验的内涵及特征探析[J].河北师范大学学报（教育科学版）2009年第11卷第2期:108.
[36]宁连华.数学活动的过程知识与教学改革[J].辽宁师范大学学报(自然科学版)第29卷第4期2006年12月:508-510.
[37]涂荣豹.数学教学认识论[M].江苏南京：南京师范大学出版社，2003:109-113；227.
[38]孙晓天.数学课程发展的国际视野[M].北京：高等教育出版社，2003.
[41]黄翔、童莉.获得数学活动经验应成为数学课堂教学关注的目标[J].课程教材教法，2008年1月:40-43.
[43]严加丽等.60年来数学双基教学研究反思[J].课程教材教法，2010年9月第30卷第9期：66.
[44]杨豫晖.数学双基教学的发展、争鸣与反思[J].中国教育学刊，2010.5：37.
[45]张红.我国数学双基教学文化的特色及其继承和发展[J].数学教育学报，2009年12月第18卷第6期：12.
[46]D. Thiessen and A. Cook-Sather (eds.), International Handbook of Student Experience inElementary and Secondary School[M].Springer,2007:1–76.
[47]Schiefele, U.,&Csikszentmihalyi, M. Motivation and ability as factors in mathematicsexperience and achievement [J]. Journal for Research in Mathematics Education,1995,26(2):163-181.
[48]John Biggs；David Kember；Doris Y P Leung. The revised two-factor study processquestionnaire: R-SPQ-2F [J]. British Journal of Educational Psychology, Mar2001:133-149.
[49]Ikseon Choi, Sang Joon LeeE，and Jong Won Jung.Designing Multimedia Case-Based InstructionAccommodating Students’ Diverse Learning Styles[J].Jl.of Educational Multimedia andHypermedia，2008:5-25.
[50]M. Jayne Fleener（Louisiana State University），Gabriel Matney（University of Arkansas atFort Smith）.Curriculum Clearings as Being-With-Mathematics Experiences: Authentic Learningthrough a Heideggerian Lens[J]. Journal of Curriculum and Pedagogy，2004:92-93.
[51]Michael de Villiers（University of KwaZuiu-Natai）.The Role and Function of Quasi-empiricalMethods in Mathematics[J].Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education，2004.
[52]Rian Stephenson, Geoff Smith，Kathryn Crawford. Creating a diversity of mathematicalexperiences for tertiary students [J].International mathematics education and technology,1998Vol.29, No.6:872-841.
[53]Hiroshi Nemoto. Mathematics Education and Reflective Experience—The Significance of“Unlearning” in Mathematics Education [J].APEC-Tsukuba International Conference: Developingmathematical thinking through reflective experience December10,2007.
[54][83][113]史宁中著.数学思想概论：数学中的归纳推理[M].长春：东北师范大学出版社，2010：142.35.111.
[55]转引自：[德]赫尔曼外尔著.齐民友译.数学与自然科学之哲学[M].上海：上海世纪出版集团，2007.8:204（E.MACH,，Erkenntnis und Irrtum，1905：231（注：马赫））.
[56][57][58][59][60][61][62][63][66][69][70][71][美]M克莱因著.刘志勇译.数学与知识的探求
[M].上海：复旦大学出版社,2010:2.4.7.16.18.48.50.50.38.51.239.250-251.
[64]史宁中著.数学思想概论:数量与数量关系的抽象[M].长春：东北师范大学出版社，2008:1.
[65][加]弗拉第米尔塔西奇著.蔡仲.戴建平译.后现代思想的数学根源[M].上海：复旦大学出版社,2005：1.
[67]让迪厄多内著.沈永欢译.当代数学：为了人类心智的荣耀[M].上海：上海教育出版社2001:7.
[68]转引自：让迪厄多内著.沈永欢译.当代数学：为了人类心智的荣耀[M].上海：上海教育出版社2001：8（A.Weil，Oeuvres scientifiques，3vol.，New York-Berlin-Heidelberg-Tokyo（Springer），1979：465）.
[72][73][74][英]G.H.哈代著.李文林等编译.一个数学家的辩白[M].南京：江苏教育出版社,1996:12.12.12.
[75]参见John von Neumann Collected Works,Ⅰ,p9，中译文参见《数学史译文集》第123页，刘金顺、何绍庚译，上海：上海科学技术出版社，1981年.
[76][77][78]张楚廷著.数学与创造[M].大连：大连理工大学出版社,2008:14-15.14.14.
[79]马克思.数学手稿[M].北京大学《数学手稿》编译组.北京：人民教育出版社，1975：204-205.
[80][81]史宁中著.数学思想概论：图形与图形关系的抽象[M].长春：东北师范大学出版社，2009：2.62.
[82][英]牛顿著.自然哲学之数学原理[M].北京：北京大学出版社，2006年1月第1版，2011年1月第九次印刷：8.
[84][85][86][88]（美）A﹒J﹒斯塔科著.刘晓陵.曾守锤译.创造能力教与学（第二版）[M].上海：华东师范大学出版社,2007：6.10.20.64.
[87]来源：科学时报2010-11-310:25:14求答钱学森之问：中国如何培养创新人才.
[89]美国数学的现在和未来[M].中译本.上海：复旦大学出版社，1996：51.
[90][91][92][93][94]课程教材研究所编.20世纪中国中小学课程标准教学大纲汇编数学卷[S].北京：人民教育出版社，2001：434.453.528.605.648.
[95][96][97][98][99][100][114][115]中国社会科学院语言研究所词典编辑室编.现代汉语词典第5版
[M].北京：商务印书馆，2009：1150.1342.444.444.1746.718.473.1281.
[101]辞海[M].上海辞书出版社，1990：1952.
[102]石中英著.教育哲学[M].北京：北京师范大学出版社，2009：111.
[103][104]喻平等.中国数学教育心理研究30年[M].北京：科学出版社，2011：261.261.
[105][110][138]许良英，范岱年编译.爱因斯坦文集Ⅰ[M].北京：商务印书馆，1976:574.574.15
[106]参见：杨振宁《我的生平》，东北师范大学60周年校庆学术报告，2006年.
[107]恩格斯.自然辩证法[M]，北京：人民出版社,1971:206.
[108][137][145][146][156][157][159][160][161][162][美]G.波利亚著.数学与猜想:数学中的归纳和类比[M].北京：科学出版社，2001:2-3.2.5.6.186.187.188.51.54.54.
[109]史宁中.数学课程标准的若干思考[J].数学通报.2007年第46卷第5期:2.
[111]钱学森主编.关于思维科学[M].上海：上海人民出版社,1987:134.
[112]金岳霖著.形式逻辑[M].北京：人民出版社，2005：211-212.
[116]转引自：[美]G.波利亚著.数学与猜想：数学中的归纳和类比[M].北京：科学出版社2001:1（《欧拉全集》第1辑，第1卷，459页，“纯粹数学中的观察实例”（Specimen de usu observationumin mathesipura））.
[117]转引自：宋丽波.表象的心理学研究与想象力训练[M].北京：北京科学技术出版社,2006：4.
[118]列宁.列宁选集第2卷[M].北京：人民出版社，1972：107.
[119]林仲贤.中国大百科全书:心理学[M].北京:中国大百科全书出版社,1988:21.
[120]彭聃龄等著.认知心理学[M].哈尔滨：黑龙江教育出版社，1990:193.
[121]朱智贤.林崇德著.思维发展心理学[M].北京：北京师范大学出版社，1986:300.
[122]加扎尼加.沈政等译.认知神经科学[M].上海：上海教育出版社，1990:193.
[123][134]戴再平等编.数学方法与解题研究[M].北京：高等教育出版社，1996：26.27.
[124]小平邦彦著.陈治中译：数学的印象[J].载《数学译林》1991年第2期.
[125]张顺燕编著.数学的美与理[M].北京：北京大学出版社,2009:9.
[126][127]转引自：张顺燕编著.数学的美与理[M].北京：北京大学出版社,2009:9.10.
[128][131]列宁.列宁选集第38卷[M].北京：人民出版社，1972：310.181
[129]毛泽东.毛泽东选集第2卷[M].北京：人民出版社，1991：467.
[130]朱智贤.林崇德著.思维发展心理学[M].北京：北京师范大学出版社，1986:116,315.
[132]毛泽东.毛泽东选集第3卷[M].北京：人民出版社，1991：774.
[133][140][163]张奠宙.过伯祥著.数学方法论稿[M].上海：上海教育出版社1998:31.32.38.
[135]Andre Weil著.王启明译.数论今昔两讲（上）[J].载《数学译林》1981年第2期.
[136]转引自：戴再平等编.数学方法与解题研究[M].北京：高等教育出版社,1996:27.
[139]王梓坤著.科学发现纵横谈[M].北京：北京师范大学出版社，2006：25，47.
[141]转引自：刘云章.马复著.数学直觉与发现[M].合肥：安徽教育出版社，1991:147.
[142]史久一.朱梧槚著.化归与归纳﹒类比﹒联想[M].南京：江苏教育出版社，2008:139.
[143][144][147][151][152][153][154][美]乔治波利亚.数学的发现—对解题的理解、研究和讲授
[M].北京：科学出版社2007:248.2.238.242.236.246.329.
[148][149][150][美]G波利亚著.数学与猜想—合情推理模式[M].北京：科学出版社2001:6.7.9
[155]转引自：[美]G.波利亚著.数学与猜想—数学中的归纳和类比[M].北京:科学出版社,2001:185（《笛卡尔全集》，Adam和Tannery出版，第10卷，1908，390页）.
[158]波利亚.《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly），第54卷，1947:201-206.
[164]I.M.Gelfand,Alexander Shen.Algebra[M].Birkhauser Boston,1993:137.
[165][173][德]Rolf Biehler等主编.数学教学理论是一门科学[M].上海：上海教育出版社，1998：265-266.258.
[166][167][168][169][美]怀特海著.思维方式[M].北京：商务印书馆，2006：3.18.10.10.
[170][171][172][英]休谟著.关文运译.郑之骧校.人性论[M].北京：商务印书馆，2004：17.22.23
[174][美]D.A.格劳斯主编.数学教与学研究手册[M].上海：上海教育出版社，1999：11
[176]华东师范大学第二附属中学校本课程.陆继红编著.数学中的联想[M].上海：华东师范大学出版社，2008：1-4.
[177]史宁中.数学的基本思想.数学通报[J].2011年第50卷第1期：1.
[180]课程教材研究所.中学数学课程教材研究开发中心.义务教育数学课程标准实验教科书数学八年级上册[M].北京：人民教育出版社，2005：110-111.10-14.
[181]曹才翰.章建跃著.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006：105-110.
[182][184][185]David Coffey. Heinemann maths zone VELS Edition9[M]. Australia: HeinemannHarcourt Education.2005:245.248-249.258-261.
[183]David Coffey. Heinemann maths zone VELS Edition10[M]. Australia: Heinemann HarcourtEducation.2005:490.
[187]顾沛.数学文化[M].北京：高等教育出版社，2008：192-198.
[188][189]孙维刚.我的三轮教育教学实验（1980.9-1997.8）[M].北京：北京教育出版社1999:16.100.
[192]教育部基础教育课程教材专家工作委员会组织编写.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M],北京：北京师范大学出版社,2012：5.
[193]高惠璇编著.实用统计方法与SAS系统[M].北京:北京大学出版社.2009.5:186-208