几类约束矩阵反问题
|
摘要
本论文研究几类约束矩阵反问题及其最佳逼近,由六章构成.
在第1章,我们对约束矩阵方程反问题的历史背景与现状进行了综述.
在第2章,我们运用奇异值分解给出了方程||AX-Z||~2+||Y~TA-W~T||~2 =min存在Hermite广义Hamilton解的充要条件及其解的表达式.另外给出了矩阵方程的解集合中与给定矩阵的最佳逼近解的表达式.
在第3章,我们我们给出了线性流形S={A∈HHC~(n×n)|AX_1 =B_1, B_(12)X_(11)~+ X_(11)= B_(12), B_(11)X_(12)~+X_(12)= B_(11) , X_(11)~HB_(11)=B_(12)~HX_(12)},上矩阵方程||AX_2-B_2||=min的Hermite广义Hamilton解的表达式,另外,导出了在线性流形上矩阵方程的解集合中与给定矩阵的最佳逼近解的表达式.
在第4章,我们研究了线性流形S={X∈ABSR~(n×n)|||XY-Z| = min}上矩阵方程AXA~T=B的双反对称解.利用矩阵对的商奇异值分解,给出了这类线性流形上矩阵方程AXA~T=B存在双反对称解的充要条件及其通解表达式.另外,导出了在线性流形上矩阵方程的解集合中与给定矩阵的最佳逼近解的表达式.
在第5章,我们给出了矩阵方程(?)=min存在可对称正定解和可对称半正定解的充要条件及其通解表达式,同时解决了对称半正定化解对已知矩阵的最佳逼近问题.
在第6章,我们研究了线性流形S={A∈D~(-2)ASR~(n×n)||AX-B||=min, X,B∈R~(n×m)}上矩阵方程f(A)=||AY-Z||=min的D反对称解,利用矩阵的奇异值分解,给出了这类线性流形上矩阵方程存在D反对称解的充要条件及其通解表达式,另外,导出了在线性流形上矩阵方程的解集合中与给定矩阵的最佳逼近解的表达式.
This thesis considers several inverse problems of constrained matrix and their best approximation. It consists of six chapters.
In chapter 1,the background and present conditions are introduced and summarized for the study of inverse problems of constrained matrix and their best approximation.
In chapter 2, we discuss the solvablity on the Hermite generalized Hamilton solutions of matrix equation ||AX-Z||~2+||Y~TA-W~T||~2 =min by applying the singulau value decomposition of a matrix, obtain the necessary and sufficient conditions for the existence and the expressions for the Hermite generalized Hamilton solutions of matrix equation ||AX -Z||~2 +||Y~TA-W~T||~2 =min.In addition , in the solution set of corresponding equation,the expression of the optimal approximation solution to given matrix is derived.
In chapter 3, we study the Hermite generalized Hamilton solutions of the matrix equation||AX_2-B_2|| = min on the linear manifold S = {A∈HHC~(n×n)|AX_1 =B_1, B_(12)X_(11)~+ X_(11)= B_(12), B_(11)X_(12)~+X_(12)= B_(11) , X_(11)~HB_(11) =B_(12)~HX_(12)}, give the expressions for the Hermite generalized Hamilton solutions of the matrix equation||AX_2-B_2|| = min, In addition , in the solution set of corresponding equation, the expression of the optimal approximation solution to given matrix is derived.
In chapter 4, we study the anti-bisymmetric solutions of matrix equation AXA~T=B on the linear manifold S = {X∈ABSR~(n×n) |||XY-Z|| = min}, using the quotient singula value decomposition(QSVD)of matrix pairs , obtain the necessary and sufficient conditions for the existence and the express-ions for the anti-bisymmetric solutions of matrix equation AXA~T=B . In addition , in the solution set of corresponding equation, the expression of the optimal approximation solution to given matrix is derived .
In chapter 5, we disuss the necessary and sufficient conditions for the existence and the expressions for the positive definite (semidefinite) symmetrizable solutions of matrix equation (?) = min, and derive the optimal approximation semidefinite symmetrizable solutions to given matrices.
In Chapter 6, we consider the D-anti-symmetric solutions of the matrix equation f(A) = ||AY-Z|| =min on the linear manifold S={A∈D~(-2)ASR~(n×n)||AX-B||=min, X,B∈R~(n×m)}, by applying the singulau value decomposition of a matrix, obtain the necessary and sufficient conditions for the existence and the expressions of the general Solution for the inverse problem of these matrices. For any n-by-n real matrix, it's optimal approximation was obtained.
在第1章,我们对约束矩阵方程反问题的历史背景与现状进行了综述.
在第2章,我们运用奇异值分解给出了方程||AX-Z||~2+||Y~TA-W~T||~2 =min存在Hermite广义Hamilton解的充要条件及其解的表达式.另外给出了矩阵方程的解集合中与给定矩阵的最佳逼近解的表达式.
在第3章,我们我们给出了线性流形S={A∈HHC~(n×n)|AX_1 =B_1, B_(12)X_(11)~+ X_(11)= B_(12), B_(11)X_(12)~+X_(12)= B_(11) , X_(11)~HB_(11)=B_(12)~HX_(12)},上矩阵方程||AX_2-B_2||=min的Hermite广义Hamilton解的表达式,另外,导出了在线性流形上矩阵方程的解集合中与给定矩阵的最佳逼近解的表达式.
在第4章,我们研究了线性流形S={X∈ABSR~(n×n)|||XY-Z| = min}上矩阵方程AXA~T=B的双反对称解.利用矩阵对的商奇异值分解,给出了这类线性流形上矩阵方程AXA~T=B存在双反对称解的充要条件及其通解表达式.另外,导出了在线性流形上矩阵方程的解集合中与给定矩阵的最佳逼近解的表达式.
在第5章,我们给出了矩阵方程(?)=min存在可对称正定解和可对称半正定解的充要条件及其通解表达式,同时解决了对称半正定化解对已知矩阵的最佳逼近问题.
在第6章,我们研究了线性流形S={A∈D~(-2)ASR~(n×n)||AX-B||=min, X,B∈R~(n×m)}上矩阵方程f(A)=||AY-Z||=min的D反对称解,利用矩阵的奇异值分解,给出了这类线性流形上矩阵方程存在D反对称解的充要条件及其通解表达式,另外,导出了在线性流形上矩阵方程的解集合中与给定矩阵的最佳逼近解的表达式.
This thesis considers several inverse problems of constrained matrix and their best approximation. It consists of six chapters.
In chapter 1,the background and present conditions are introduced and summarized for the study of inverse problems of constrained matrix and their best approximation.
In chapter 2, we discuss the solvablity on the Hermite generalized Hamilton solutions of matrix equation ||AX-Z||~2+||Y~TA-W~T||~2 =min by applying the singulau value decomposition of a matrix, obtain the necessary and sufficient conditions for the existence and the expressions for the Hermite generalized Hamilton solutions of matrix equation ||AX -Z||~2 +||Y~TA-W~T||~2 =min.In addition , in the solution set of corresponding equation,the expression of the optimal approximation solution to given matrix is derived.
In chapter 3, we study the Hermite generalized Hamilton solutions of the matrix equation||AX_2-B_2|| = min on the linear manifold S = {A∈HHC~(n×n)|AX_1 =B_1, B_(12)X_(11)~+ X_(11)= B_(12), B_(11)X_(12)~+X_(12)= B_(11) , X_(11)~HB_(11) =B_(12)~HX_(12)}, give the expressions for the Hermite generalized Hamilton solutions of the matrix equation||AX_2-B_2|| = min, In addition , in the solution set of corresponding equation, the expression of the optimal approximation solution to given matrix is derived.
In chapter 4, we study the anti-bisymmetric solutions of matrix equation AXA~T=B on the linear manifold S = {X∈ABSR~(n×n) |||XY-Z|| = min}, using the quotient singula value decomposition(QSVD)of matrix pairs , obtain the necessary and sufficient conditions for the existence and the express-ions for the anti-bisymmetric solutions of matrix equation AXA~T=B . In addition , in the solution set of corresponding equation, the expression of the optimal approximation solution to given matrix is derived .
In chapter 5, we disuss the necessary and sufficient conditions for the existence and the expressions for the positive definite (semidefinite) symmetrizable solutions of matrix equation (?) = min, and derive the optimal approximation semidefinite symmetrizable solutions to given matrices.
In Chapter 6, we consider the D-anti-symmetric solutions of the matrix equation f(A) = ||AY-Z|| =min on the linear manifold S={A∈D~(-2)ASR~(n×n)||AX-B||=min, X,B∈R~(n×m)}, by applying the singulau value decomposition of a matrix, obtain the necessary and sufficient conditions for the existence and the expressions of the general Solution for the inverse problem of these matrices. For any n-by-n real matrix, it's optimal approximation was obtained.
引文
[1]周富照,张忠志.一类次反对称矩阵反问题的最小二乘解[J].长沙交通学院学报,2001,17(4):1-5.
[2]张忠志,肖庆丰.线性流形上广义次对称矩阵反问题的最小二乘解[J]湖南大学学报:自然科学版,2003,30(2):9-11.
[3]周富照,张忠志,胡锡炎.一类次对称矩阵反问题的最小二乘解[J].湖南大学学报:自然科学版,200l,28(2):6-10.
[4]徐仲,张凯院,陆全.TOEPLITZ矩阵类的快速算法[M].西安:西北工业大学出版社,1999:1-286.
[5]何楚宁.线性矩阵方程的正定解与对称正定解[J].湖南数学年刊,1996,16(2).84-93.
[6]廖安平.矩阵方程AX=B的一类反问题及数值解法[J].计算数学,1990(1):108-112.
[7]戴华.线性流形上实对称矩阵最佳逼近[J].计算数学,1993(4):478-488.
[8]张磊,谢冬秀.一类逆特征值问题[J].数学物理学报,1993,13(1):94-99.
[9]张磊.线性流形上的矩阵反问题[J].湖南教育学院学报,1993,11(2):1-6.
[10]戴华.线性流形上的矩阵最佳逼近[J].高等学校应用数学学报,1994,9(3):312-320.
[11]张磊,谢冬秀,胡锡炎.线性流形上双对称阵逆特征值问题[J].计算数学,2000,22(2):129-138.
[12]谢冬秀,张磊,胡锡炎.一类双对称矩阵反问题的最小二乘解[J].计算数学,2000,22(1):29-40.
[13]张忠志.关于Hermitian和广义Hamiltonian约束矩阵方程问题的研究[D].长沙:湖南大学数学系,2002:7-34.
[14]廖安平,白中治.矩阵方程A~TAXA=D的双对称最小二乘解[J].计算数学,2002(1):9-21.
[15]邓远北.几类线性矩阵方程的解与PROCRUSTES问题[D].长沙:湖南大学数学系,2003:3-22.
[16]戴华.Hermite广义Hamilton矩阵反问题解存在的条件[J].江苏大学学报(自然科学版), 2004,25(1).40-43.
[17]袁永新,戴华.线性流形上的广义中心对称矩阵反问题[J].计算数学,2005,27(4):383-393.
[18]戴华.矩阵论[M].北京:科学出版社,2001:35-38.
[19]盛炎平,谢冬秀.双反对称矩阵反问题的最小二乘解[J].高等学校计算数学学报,2002(3):199-205.
[20]李珍珠.线性流形上矩阵方程A~TAXA=B的解[D].长沙:湖南师范大学数计学院,2006:39-44.
[21]彭亚新,胡锡炎,张磊.矩阵方程A~TXA=B的对称正交对称解及其最佳逼近[J].高等学校计算数学学报,2003,25(4):372-377
[22]邓远北,肖庆丰.可对称(半)正定化矩阵反问题的解及其最佳逼近[J].工程数学学报,2006,23(6):1113-1116.
[23]孙继广.实对称矩阵的两类逆特征值问题[J].计算数学,1988(3):282-290.
[24]张忠志,周富照,胡锡炎.线性流形上D反对称矩阵反问题的最小二乘解[J].湖南大学学报,200.2,29(5):4-8.
[25]周红林,钱爱林.反对称自正交矩阵反问题解存在的条件[J].信阳师范学院学报,2006,19(3):265-267.
[26]邓远北、胡锡炎.线性矩阵方(A~TXA,B~TXB)=(C,D)的反对称解[J].工程数学学报,2003,20(6):65-69.
[27]张忠志,胡锡炎,周富照.D对称矩阵反问题的最小二乘解[J].湖南大学学报,2001,28(5):6-10.
[28]易学军,张忠志,周富照.线性流形上D对称矩阵反问题的最小二乘解[J].数学理论与应用,2002,22(1):93-97.
[29]唐耀平.W准对称矩阵反问题的最小二乘解[J].湖南科技学院学报,2006,27(11):109-113.
[30]钱爱林,吴又胜.对称正交反对称矩阵反问题的最小二乘解[J].甘肃科学学报,2006,18(1):17-21.
[31]于蕾,张凯院,史忠科.线性流形上反对称正交对称矩阵反问题的最小二乘解[J].数学物理学报,2006,26(7):1032-1038.
[32]周富照,胡锡炎,张磊.一类对称正交对称矩阵反问题的最小二乘解[J].应用数学学报,2003,26(3):281-292.
[33]肖庆丰,张忠志,顾广泽.广义次对称矩阵反问题的最小二乘解[J].纯粹数学与应用数学,2006,22(4):560-564.
[34]郭翠平.一类中心对称矩阵反问题的最小二乘解[J].数学理论与应用,2004,24(1):32-37.
[35]梁燕来,张正杰,周泽文.D对称非负定矩阵反问题的解[J].华中师范大学学报,2004,38(3):280-283.
[36]周硕,吴柏生.广义双对称矩阵反问题[J].高等学校应用数学学报,2007,22(1):120-126.
[37]邓远北,胡锡炎,张磊.线性流形上矩阵方程B~TXB=D的反对称解[J].数学物理学报,2004,24(4):459-463.
[38]彭振簧,胡锡炎,张磊.双对称矩阵的一类反问题[J].计算数学,2005,27(1):11-18.
[39]屠文伟.矩阵方程X~TAX=B的双对称解[J].南京师范大学学报,2000,23(4):14-17.
[40]谢冬秀.线性流形上的逆特征值问题[J].高等学校计算数学学报,1993,4:374-380.
[41]戴华.对称正交反对称矩阵反问题解存在的条件[J].高等学校计算数学学报,2002(2):169-177.
[42]张忠志,胡锡炎,张磊.线性流形上Hermite-广义Hamilton矩阵反问题的最小二乘解[J].计算数学,2003:25(2):209-218.
[43]张忠志,胡锡炎,张磊.线性约束下反Hermitian广义反 Hamiltonian矩阵的最佳逼近问题[J].工程数学学报,2004,21(8):88-92.
[44]孙家昶.正定可对称化矩阵与预对称迭代算法[J].计算数学,2000,22(3):379-384.
[45]张忠志,周富照,胡锡炎.D反对称矩阵反问题的最小二乘解[J].中南工业大学学报,2001,32(5):545-548.
[46]谢冬秀,张磊.一类反对称矩阵反问题的最小二乘解[J].工程数学学报,1993(4):25-34.
[47]Dai H . Linear matrix equations from an inverse problem of vibration theory. Linear Algebre and Its Application , 1996,246:31-47
[48]Albert A.Conditions for positive and nonnegative definiteness in terms of pseudoinverses[J]. SIAM Journal on Applied mathematics, 1969, 17(2):434-440
[2]张忠志,肖庆丰.线性流形上广义次对称矩阵反问题的最小二乘解[J]湖南大学学报:自然科学版,2003,30(2):9-11.
[3]周富照,张忠志,胡锡炎.一类次对称矩阵反问题的最小二乘解[J].湖南大学学报:自然科学版,200l,28(2):6-10.
[4]徐仲,张凯院,陆全.TOEPLITZ矩阵类的快速算法[M].西安:西北工业大学出版社,1999:1-286.
[5]何楚宁.线性矩阵方程的正定解与对称正定解[J].湖南数学年刊,1996,16(2).84-93.
[6]廖安平.矩阵方程AX=B的一类反问题及数值解法[J].计算数学,1990(1):108-112.
[7]戴华.线性流形上实对称矩阵最佳逼近[J].计算数学,1993(4):478-488.
[8]张磊,谢冬秀.一类逆特征值问题[J].数学物理学报,1993,13(1):94-99.
[9]张磊.线性流形上的矩阵反问题[J].湖南教育学院学报,1993,11(2):1-6.
[10]戴华.线性流形上的矩阵最佳逼近[J].高等学校应用数学学报,1994,9(3):312-320.
[11]张磊,谢冬秀,胡锡炎.线性流形上双对称阵逆特征值问题[J].计算数学,2000,22(2):129-138.
[12]谢冬秀,张磊,胡锡炎.一类双对称矩阵反问题的最小二乘解[J].计算数学,2000,22(1):29-40.
[13]张忠志.关于Hermitian和广义Hamiltonian约束矩阵方程问题的研究[D].长沙:湖南大学数学系,2002:7-34.
[14]廖安平,白中治.矩阵方程A~TAXA=D的双对称最小二乘解[J].计算数学,2002(1):9-21.
[15]邓远北.几类线性矩阵方程的解与PROCRUSTES问题[D].长沙:湖南大学数学系,2003:3-22.
[16]戴华.Hermite广义Hamilton矩阵反问题解存在的条件[J].江苏大学学报(自然科学版), 2004,25(1).40-43.
[17]袁永新,戴华.线性流形上的广义中心对称矩阵反问题[J].计算数学,2005,27(4):383-393.
[18]戴华.矩阵论[M].北京:科学出版社,2001:35-38.
[19]盛炎平,谢冬秀.双反对称矩阵反问题的最小二乘解[J].高等学校计算数学学报,2002(3):199-205.
[20]李珍珠.线性流形上矩阵方程A~TAXA=B的解[D].长沙:湖南师范大学数计学院,2006:39-44.
[21]彭亚新,胡锡炎,张磊.矩阵方程A~TXA=B的对称正交对称解及其最佳逼近[J].高等学校计算数学学报,2003,25(4):372-377
[22]邓远北,肖庆丰.可对称(半)正定化矩阵反问题的解及其最佳逼近[J].工程数学学报,2006,23(6):1113-1116.
[23]孙继广.实对称矩阵的两类逆特征值问题[J].计算数学,1988(3):282-290.
[24]张忠志,周富照,胡锡炎.线性流形上D反对称矩阵反问题的最小二乘解[J].湖南大学学报,200.2,29(5):4-8.
[25]周红林,钱爱林.反对称自正交矩阵反问题解存在的条件[J].信阳师范学院学报,2006,19(3):265-267.
[26]邓远北、胡锡炎.线性矩阵方(A~TXA,B~TXB)=(C,D)的反对称解[J].工程数学学报,2003,20(6):65-69.
[27]张忠志,胡锡炎,周富照.D对称矩阵反问题的最小二乘解[J].湖南大学学报,2001,28(5):6-10.
[28]易学军,张忠志,周富照.线性流形上D对称矩阵反问题的最小二乘解[J].数学理论与应用,2002,22(1):93-97.
[29]唐耀平.W准对称矩阵反问题的最小二乘解[J].湖南科技学院学报,2006,27(11):109-113.
[30]钱爱林,吴又胜.对称正交反对称矩阵反问题的最小二乘解[J].甘肃科学学报,2006,18(1):17-21.
[31]于蕾,张凯院,史忠科.线性流形上反对称正交对称矩阵反问题的最小二乘解[J].数学物理学报,2006,26(7):1032-1038.
[32]周富照,胡锡炎,张磊.一类对称正交对称矩阵反问题的最小二乘解[J].应用数学学报,2003,26(3):281-292.
[33]肖庆丰,张忠志,顾广泽.广义次对称矩阵反问题的最小二乘解[J].纯粹数学与应用数学,2006,22(4):560-564.
[34]郭翠平.一类中心对称矩阵反问题的最小二乘解[J].数学理论与应用,2004,24(1):32-37.
[35]梁燕来,张正杰,周泽文.D对称非负定矩阵反问题的解[J].华中师范大学学报,2004,38(3):280-283.
[36]周硕,吴柏生.广义双对称矩阵反问题[J].高等学校应用数学学报,2007,22(1):120-126.
[37]邓远北,胡锡炎,张磊.线性流形上矩阵方程B~TXB=D的反对称解[J].数学物理学报,2004,24(4):459-463.
[38]彭振簧,胡锡炎,张磊.双对称矩阵的一类反问题[J].计算数学,2005,27(1):11-18.
[39]屠文伟.矩阵方程X~TAX=B的双对称解[J].南京师范大学学报,2000,23(4):14-17.
[40]谢冬秀.线性流形上的逆特征值问题[J].高等学校计算数学学报,1993,4:374-380.
[41]戴华.对称正交反对称矩阵反问题解存在的条件[J].高等学校计算数学学报,2002(2):169-177.
[42]张忠志,胡锡炎,张磊.线性流形上Hermite-广义Hamilton矩阵反问题的最小二乘解[J].计算数学,2003:25(2):209-218.
[43]张忠志,胡锡炎,张磊.线性约束下反Hermitian广义反 Hamiltonian矩阵的最佳逼近问题[J].工程数学学报,2004,21(8):88-92.
[44]孙家昶.正定可对称化矩阵与预对称迭代算法[J].计算数学,2000,22(3):379-384.
[45]张忠志,周富照,胡锡炎.D反对称矩阵反问题的最小二乘解[J].中南工业大学学报,2001,32(5):545-548.
[46]谢冬秀,张磊.一类反对称矩阵反问题的最小二乘解[J].工程数学学报,1993(4):25-34.
[47]Dai H . Linear matrix equations from an inverse problem of vibration theory. Linear Algebre and Its Application , 1996,246:31-47
[48]Albert A.Conditions for positive and nonnegative definiteness in terms of pseudoinverses[J]. SIAM Journal on Applied mathematics, 1969, 17(2):434-440