Duffing型方程的周期解的存在唯一性和数值解法
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摘要
本文在深入了解国内外对Duffing方程周期解存在的充分条件和周期解的解法的基础上,重点对时滞Duffing型方程周期解存在唯一的充分条件和数值解法进行讨论,并给出数值例子.然后简单介绍了几个类似方程周期解存在的充分条件和数值解法.最后,研究了标准形式的Duffing型方程,并给出了一种有效的数值解法.
本文分为三章,主要内容如下:
第一章,从动力学角度介绍Duffing型方程的产生过程,并介绍一些重要研究成果.
第二章,首先介绍时滞Duffing型方程:
ax"(t) + bx(t) + g(x(t-τ)) = f(t)
的物理背景.接着详细讨论了该方程周期解存在唯一的充分条件,给出了一种数值解法并用例子验证该数值方法的有效性.然后就例子问题还详细讨论了采用不同的初值问题和不同的迭代法来求其数值解.最后简单讨论了下列几种形式的方程:ax"(t) + cx'(t) + bx(t) + g(x(t -τ)) = f(t),ax"(t) + cx'(t) + bx(t) + g(x(t -τ(t))) = f(t),ax"(t) + f[x'(t)] + bx(t) + g(x(t -τ(t))) = p(t)周期解存在的充分条件和数值求解方法.
第三章,讨论标准的Du?ng型方程:u"(t) + grad(G(u(t))) = p(t)的数值解.这里我们推广第二章提出的数值方法,并用二维和三维形式的标准Duffing型方程实例验证数值解法的有效性.
In the thesis, based on knowing about the su?cient conditions for the exis-tence and uniqueness of periodic solution and numerical methods of di?erentialequation at home and abroad, we consider the existence and numerical solutionmethods of the delay Du?ng di?erential equation. Then, we brie?y introducethe su?cient conditions and numerical solution methods for several kinds ofsimilar equations. Finally we discuss methods of solving the standard Du?ngequation.
This thesis consists of three chapters. The main contents are as follows:In chapter 1, we mainly introduce the development of Du?ng equation andreview some significant research.
In chapter 2, we first introduce the following delay Du?ng di?erentialequationax" (t) + bx(t) + g(x(t -τ)) = f(t).
Here a and b are constants, g(x) and f(t) are functions defined in R with f(t)T-periodic. We introduce the background of delay Du?ng equation and discussthe su?cient conditions for the existence and uniqueness of periodic solution.Then we derive an e?cient numerical method for solving delay Du?ng equa-tion. Numerical examples are given to illustrate the e?ciency of our algorithms.Finally we brie?y discuss su?cient conditions for the existence and uniquenessof periodic solution of the following equations:ax" (t) + cx' (t) + bx(t) + g(x(t -τ)) = f(t),ax" (t) + cx' (t) + bx(t) + g(x(t -τ(t))) = f(t),ax" (t) + f[x'(t)] + bx(t) + g(x(t -τ(t))) = p(t).
In chapter 3, we discuss a kind of standard Du?ng equation:u (t) + grad(G(u(t))) = p(t) And discuss the numerical solution method of the equation. We extend thenumerical method discussed in the second chapter. Numerical examples of two-dimensional and three-dimensional are given to illustrate the e?ciency of thealgorithm.
本文分为三章,主要内容如下:
第一章,从动力学角度介绍Duffing型方程的产生过程,并介绍一些重要研究成果.
第二章,首先介绍时滞Duffing型方程:
ax"(t) + bx(t) + g(x(t-τ)) = f(t)
的物理背景.接着详细讨论了该方程周期解存在唯一的充分条件,给出了一种数值解法并用例子验证该数值方法的有效性.然后就例子问题还详细讨论了采用不同的初值问题和不同的迭代法来求其数值解.最后简单讨论了下列几种形式的方程:ax"(t) + cx'(t) + bx(t) + g(x(t -τ)) = f(t),ax"(t) + cx'(t) + bx(t) + g(x(t -τ(t))) = f(t),ax"(t) + f[x'(t)] + bx(t) + g(x(t -τ(t))) = p(t)周期解存在的充分条件和数值求解方法.
第三章,讨论标准的Du?ng型方程:u"(t) + grad(G(u(t))) = p(t)的数值解.这里我们推广第二章提出的数值方法,并用二维和三维形式的标准Duffing型方程实例验证数值解法的有效性.
In the thesis, based on knowing about the su?cient conditions for the exis-tence and uniqueness of periodic solution and numerical methods of di?erentialequation at home and abroad, we consider the existence and numerical solutionmethods of the delay Du?ng di?erential equation. Then, we brie?y introducethe su?cient conditions and numerical solution methods for several kinds ofsimilar equations. Finally we discuss methods of solving the standard Du?ngequation.
This thesis consists of three chapters. The main contents are as follows:In chapter 1, we mainly introduce the development of Du?ng equation andreview some significant research.
In chapter 2, we first introduce the following delay Du?ng di?erentialequationax" (t) + bx(t) + g(x(t -τ)) = f(t).
Here a and b are constants, g(x) and f(t) are functions defined in R with f(t)T-periodic. We introduce the background of delay Du?ng equation and discussthe su?cient conditions for the existence and uniqueness of periodic solution.Then we derive an e?cient numerical method for solving delay Du?ng equa-tion. Numerical examples are given to illustrate the e?ciency of our algorithms.Finally we brie?y discuss su?cient conditions for the existence and uniquenessof periodic solution of the following equations:ax" (t) + cx' (t) + bx(t) + g(x(t -τ)) = f(t),ax" (t) + cx' (t) + bx(t) + g(x(t -τ(t))) = f(t),ax" (t) + f[x'(t)] + bx(t) + g(x(t -τ(t))) = p(t).
In chapter 3, we discuss a kind of standard Du?ng equation:u (t) + grad(G(u(t))) = p(t) And discuss the numerical solution method of the equation. We extend thenumerical method discussed in the second chapter. Numerical examples of two-dimensional and three-dimensional are given to illustrate the e?ciency of thealgorithm.
引文
[1]倪振华.振动力学.西安:西安交通大学出版社, 1986.3-6, 36-39, 136-139,165-166.
[2]王朝晖,夏锦祝.船舶二维非线性水弹性力学方法.中国力学学会计算力学委员会.第三届全国计算力学会议,武汉. 1992.北京:科学出版社, 1992.168-171.
[3]朱华,杨槐,林荣信,胡巍.随机外激的Du?ng振子的分叉探讨.陈滨.全国一般力学与现代数学方法学术会议,南京, 1992.北京:科学出版社,1992. 227-230.
[4]盛昭瀚,马军海.非线性动力系统分析引论.北京:科学出版社, 2001.
[5]王树禾.微分方程模型与混沌.合肥:中国科学技术大学出版社. 1999.2(4): 14-16.
[6]曹菊生.非保守力系统牛顿方程组的周期解.南京师大学报, 1997, 20(2):1-13.
[7]李银山,郝黎明,树学锋.强非线性Du?ng方程的摄动解.太原理工大学学报, 2000, 31(5): 516-520.
[8]陆启韶.复杂系统的非线性动力学问题.白以龙,杨卫.“力学2000”学术大会,北京, 2000.北京:气象出版社, 2000. 94-99.
[9]马世旺,庚建设,王志成.拟线性泛函微分方程周期解的存在唯一性.数学年刊, 2001, 22(A): 105–110.
[10]张燕.一类Du?ng型方程周期解的存在性.黑龙江科技学院学报, 2007,17(5): 386-388.
[11]尚梅,鲁世平.一类时滞Du?ng型微分方程周期解的存在唯一性.安徽师范大学学报, 2007, 30(4): 425–428.
[12]张正球,庚建设.一类时滞Du?ng型方程周期解.高校应用数学学报A辑,1998, 13(4): 389–392.
[13]唐美兰,刘新歌,郭水霞.时滞Du?ng型微分方程周期解的存在唯一性.纯粹数学与应用数学, 2005, 21(2): 99–102.
[14]林文贤.一类时滞的高阶Du?ng型方程的周期解.数学的实践与认识,2007, 37(9): 136-139.
[15]朱焕桃,罗治国.一类时滞微分方程的周期解.湖南城市学院学报, 2006,15(4): 40-42.
[16]林文贤.关于一类时滞Du?ng型方程的周期解注记.大学学报, 2006,22(6): 111-113.
[17]范良君,王喜斌,郑文娟.一类时滞Du?ng型方程周期解的存在唯一性.邵阳学院学报, 2005, 2(4):14-16.
[18]黄记洲.时滞Du?ng型方程周期解的存在唯一的充分性定理.汕头大学学报, 2007, 22(3): 10-14.
[19]唐美兰,刘新歌,刘心笔.一类时滞Du?ng型微分方程周期解的存在唯一性.上饶师范学院学报, 2004,24(6): 12–15.
[20]黄记洲.一类时滞Du?ng型方程周期解的存在性的充分性定理.甘肃联合大学学报, 2006, 20(6): 29-31.
[21]刘锡平,贾梅,任睿.时滞Du?ng型微分方程周期解的存在唯一性.数学物理学报, 2007, 27A(1): 37–44.
[22]李维国,沈祖和. Du?ng型方程周期解存在的构造性证明.科学通报,1997: 1591-1594
[23]陈新一.一类时滞Du?ng型方程周期解.科学技术与工程, 2007, 7(18):4684-4686.
[24]徐庆.用微分连续法求解Du?ng型方程的2π周期解.吉林大学自然科学学报, 1990, 3: 1-6.
[25]李维国,张丹青.用微分连续法求解Newton运动方程.石油大学学报,1996, 20(5): 100-104.
[26]王大钧,王泉,陈德成.关于Du?ng方程计算的一个方法.陈滨.全国一般力学与现代数学方法学术会议,南京, 1992.北京:科学出版社, 1992.232-239.
[27]许敏.非线性微分方程边值问题周期解研究.南京信息工程大学硕士学位论文. 2006. 5-6.
[28]何吉欢.变分迭代算法:一种新的非线性分析方法.上海力学, 1998, 19(3):260-264.
[29]林建国.非线性Du?ng型方程的高精度近似解.力学与实践, 1999, 05期:39-41.
[30]刘淑媛.求Du?ng方程周期解的Mountain Pass方法.吉林大学硕士学位论文, 2006. 12-13.
[31]胡海岩,王在华.时滞受控系统动力学研究进展.白以龙,杨卫.“力学2000”学术大会,北京, 2000.北京:气象出版社, 2000. 94-99.
[32]胡海岩,王在华.非线性时滞动力系统的研究进展.力学进展, 1999, 29(4):501-512.
[33]关治,陆金甫.数值分析基础.北京:高等教育出版社, 1998, 351–353.
[34]易大义,蒋叔豪,李有法.数值方法.浙江:浙江科学技术出版社, 1984.187-189.
[35] SHEN Zu-he. On the Periodic solution to the Newtonian e quation of mo-tion. Nonlinear Analysis, 1989, 13(2): 145-150.
[2]王朝晖,夏锦祝.船舶二维非线性水弹性力学方法.中国力学学会计算力学委员会.第三届全国计算力学会议,武汉. 1992.北京:科学出版社, 1992.168-171.
[3]朱华,杨槐,林荣信,胡巍.随机外激的Du?ng振子的分叉探讨.陈滨.全国一般力学与现代数学方法学术会议,南京, 1992.北京:科学出版社,1992. 227-230.
[4]盛昭瀚,马军海.非线性动力系统分析引论.北京:科学出版社, 2001.
[5]王树禾.微分方程模型与混沌.合肥:中国科学技术大学出版社. 1999.2(4): 14-16.
[6]曹菊生.非保守力系统牛顿方程组的周期解.南京师大学报, 1997, 20(2):1-13.
[7]李银山,郝黎明,树学锋.强非线性Du?ng方程的摄动解.太原理工大学学报, 2000, 31(5): 516-520.
[8]陆启韶.复杂系统的非线性动力学问题.白以龙,杨卫.“力学2000”学术大会,北京, 2000.北京:气象出版社, 2000. 94-99.
[9]马世旺,庚建设,王志成.拟线性泛函微分方程周期解的存在唯一性.数学年刊, 2001, 22(A): 105–110.
[10]张燕.一类Du?ng型方程周期解的存在性.黑龙江科技学院学报, 2007,17(5): 386-388.
[11]尚梅,鲁世平.一类时滞Du?ng型微分方程周期解的存在唯一性.安徽师范大学学报, 2007, 30(4): 425–428.
[12]张正球,庚建设.一类时滞Du?ng型方程周期解.高校应用数学学报A辑,1998, 13(4): 389–392.
[13]唐美兰,刘新歌,郭水霞.时滞Du?ng型微分方程周期解的存在唯一性.纯粹数学与应用数学, 2005, 21(2): 99–102.
[14]林文贤.一类时滞的高阶Du?ng型方程的周期解.数学的实践与认识,2007, 37(9): 136-139.
[15]朱焕桃,罗治国.一类时滞微分方程的周期解.湖南城市学院学报, 2006,15(4): 40-42.
[16]林文贤.关于一类时滞Du?ng型方程的周期解注记.大学学报, 2006,22(6): 111-113.
[17]范良君,王喜斌,郑文娟.一类时滞Du?ng型方程周期解的存在唯一性.邵阳学院学报, 2005, 2(4):14-16.
[18]黄记洲.时滞Du?ng型方程周期解的存在唯一的充分性定理.汕头大学学报, 2007, 22(3): 10-14.
[19]唐美兰,刘新歌,刘心笔.一类时滞Du?ng型微分方程周期解的存在唯一性.上饶师范学院学报, 2004,24(6): 12–15.
[20]黄记洲.一类时滞Du?ng型方程周期解的存在性的充分性定理.甘肃联合大学学报, 2006, 20(6): 29-31.
[21]刘锡平,贾梅,任睿.时滞Du?ng型微分方程周期解的存在唯一性.数学物理学报, 2007, 27A(1): 37–44.
[22]李维国,沈祖和. Du?ng型方程周期解存在的构造性证明.科学通报,1997: 1591-1594
[23]陈新一.一类时滞Du?ng型方程周期解.科学技术与工程, 2007, 7(18):4684-4686.
[24]徐庆.用微分连续法求解Du?ng型方程的2π周期解.吉林大学自然科学学报, 1990, 3: 1-6.
[25]李维国,张丹青.用微分连续法求解Newton运动方程.石油大学学报,1996, 20(5): 100-104.
[26]王大钧,王泉,陈德成.关于Du?ng方程计算的一个方法.陈滨.全国一般力学与现代数学方法学术会议,南京, 1992.北京:科学出版社, 1992.232-239.
[27]许敏.非线性微分方程边值问题周期解研究.南京信息工程大学硕士学位论文. 2006. 5-6.
[28]何吉欢.变分迭代算法:一种新的非线性分析方法.上海力学, 1998, 19(3):260-264.
[29]林建国.非线性Du?ng型方程的高精度近似解.力学与实践, 1999, 05期:39-41.
[30]刘淑媛.求Du?ng方程周期解的Mountain Pass方法.吉林大学硕士学位论文, 2006. 12-13.
[31]胡海岩,王在华.时滞受控系统动力学研究进展.白以龙,杨卫.“力学2000”学术大会,北京, 2000.北京:气象出版社, 2000. 94-99.
[32]胡海岩,王在华.非线性时滞动力系统的研究进展.力学进展, 1999, 29(4):501-512.
[33]关治,陆金甫.数值分析基础.北京:高等教育出版社, 1998, 351–353.
[34]易大义,蒋叔豪,李有法.数值方法.浙江:浙江科学技术出版社, 1984.187-189.
[35] SHEN Zu-he. On the Periodic solution to the Newtonian e quation of mo-tion. Nonlinear Analysis, 1989, 13(2): 145-150.