同文馆毕业生杨兆鋆及其数学工作
摘要
杨兆(均金)，字诚之，号须圃，浙江乌程人。咸丰四年(公元1854年)生，卒年界
于民国五年(公元1916年)到民国二十年(公元1931年)间。同治六年(公元1868
年)入上海广方言馆学习，同治十年(公元1871年)由两江总督曾国藩第二次咨
送到京师同文馆英文馆学习。光绪五年(公元1879年)，杨兆(均金)毕业后升迁出馆，
任苏松太道公署翻译。光绪十年(公元1884年)，随许景澄公使出洋。归国后，被
以道员身分发江苏补用。
光绪十九年(公元1893年)，杨兆(均金)任金陵同文馆教习，兼授算学。光绪二十
三年(公元1897年)，任江南储材学堂督办。光绪二十八年(公元1902年)，以“江
苏候补道赏四品卿衔差”任出使比利时钦差大臣。光绪三十一年(公元1905年)
被召回国。
杨兆望于光绪二十四年(公元1898年)自撰《须曼精庐算学》二十四卷，除此
之外，据《清艺文志补编》所载，杨氏还撰有《杨须圃出使奏议》。
从《须曼精庐算学》二十四卷的内容来看，除卷一“椭曲同诠”和卷二“抛摆
致用”外，其余各卷的类型问题均可在《同文馆算学课艺》中找到源头。在学习算
学的过程中，杨氏还对一些内容进行过认真思考，颇有心得，尽管其思考所得之结
果远不能与清末从事数学研究、翻译的数学家相比。在《须曼精庐算学》中，杨氏
最具代表性的工作为
1.关于测量方法的研究。杨氏不拘泥于“勾股测量”和“三角测量”法，巧妙
地把四面体理论应用于测量之中，提出了所谓的“四面体测量”法。
2.关于圆锥三曲线问题的研究。杨氏虽没有提出新的命题，但其综合应用《圆
锥曲线说》中的知识，对《圆锥曲线说》中的部分命题给出了自己的证明方法。杨
兆(均金)继李善兰求椭圆焦点的作图问题之后，独立提出和研究了求双曲线焦点的作图
问题。
3.关于平圆容切问题的研究。杨氏虽未正确解诀阿波罗尼圆和“弧矢形上求相
切二圆心”的作图问题，但是其提出并解决了其它关于圆与圆之间的作图问题。“平
圆容切”是中算史上第一部专论圆与圆之间相容的作图问题的著作。
4.关于“垂线诸求”及“勾股容方”问题的研究。杨氏在《同文馆算学课艺》
的基础上，完善了由勾股十三事、中垂线，求勾、股、弦问题。他在“勾股容方”
中探讨了三种特殊的勾股形内容长方问题的作图，并对勾股形内容长方四事求解问
题进行了研究。
杨兆(均金)的数学工作也深受李善兰的影响，最具典型的代表是“勾股容三事”
“测圆海镜”和“椭圆作图”及“抛摆致用”中求射程、射角问题。
杨兆(均金)是洋务教育中所培养的众多人才之中的杰出代表，他不仅精通外交，而
且对算学亦有一定的研究。通过对杨兆望数学工作的介绍，我们可以看出，杨氏所
撰《须曼精庐算学》这部富有心得的数学著作对了解清末数学的发展具有重要意义，
对客观评价京师同文馆的数学教育亦有一定的价值。
Yang Thaojun was born in Wucheng County (now Huzhou City), Zhejiang Province in
the fourth year of the reign of Emperor Xianfeng (i.e. 1854 A.D.). He styled himself
Chengzhi. His alternative name was Xupu.He died during the period from the fifth year
(i.e.1916 A.D.) to the twentieth year of Mingguo.He went to school at Shang Hal Guang
Fang Yan Kuan in the sixth year of the reign of Emperor Tongzhi (i.e.1868 A.D.). He was
sent for English Kuan in Jing shi Tong Wen kuan to learn by Zeng Guofan who acted as a
president in the region, including Jiangxi, Jiangsu and Anhui in the tenth year of the reign of
Emperor Tongzhi (i.e.1871 A.D). He became a translator of Su Song Dai Dao department
after graduating in the fifth year of the reign of Emperor Guangxu (i.e.1879 A.D.). He
followed Xu Jingcheng (1845 A.D.? 900 A.D.) to go to overseas as a retinue in the tenth
year of the reign of Emperor Guangxu (i.e.1884 A.D.). After many years, he came back and
was a candidate bestowed Dao Yuan in Jiangsu Province.
Yang Zhaojun was a mathematic teacher at Jin Ling Tong Wen Kuan in the nineteenth
year of the reign of Emperor Guangxu.He turned surveillance at Jiang Nan Chu Cal Xue
Tang in the twenty-third year of the reign of Emperor Guangxu (i.e.1897 A.D.). After five
years, he was an ambassador of Chinese embassy in Beljium. He was asked to come back
in the thirty-first year of the reign of Emperor (1uangxu (i.e. 1905 A.D.).
His work on mathematics was Xu Man Jing Lu Suan Xue (24 volumes total) written
in the twenty-fourth year of the reign of Emperor Guangxu (i.e.l898 A.D.). In addition, he
still wrote Yang Xu Pu Chu Shi Zou Yi according to Qing Yi Wen Zhi Bu Bian.
The typical problems of other volumes derived from Tong Wen kuan Mathematical
Exercises except the first volume "Tuo Qu Tong Quan"and the second volume" Pao Bai zhi
Yong" During his learning mathematics, Yang Zhaojun meditated some mathematic
problems and got a few new results. These results were not important in view of
mathematicians who engaged in studying and translating mathematics.
The paper analyzes and studies four aspects of Yang's mathematical work. These are
2
The paper analyzes and studies four aspects of Yang抯 mathematical work. These are
as follows.
1. The research on the measurement methods. Yang put forward?tetrahedron
measurement?method by himself after he studied the two methods, which included 搑ight
triangle measurement?and 搃nclined triangle measurement? He felicitously applied some
tetrahedron theories to the measurement.
2. The research on ellipse, hyperbola and parabola. Yang attested some propositions in
Conics by his own proof methods although he advanced few new propositions. Li Shanlan
who was a lead teacher at Jing Shi Tong Wen kuan solved many construction problems of
elliptical focal points. After that time ,Yang zhaojun studied and propounded a few
construction problems of hyperbolic foci.
3. The research on the geometric construction problems of contact of circles. Yang
couldn抰 correctly resolve Apollon抯 circles and 揻inding a center of one circle which
circumscribed the other. They both contacted a determined chord of circular segment and
their centers were in this circular arc? However, he studied and resolved, other construction
problems of contact of circles. Yang抯 Ping Yuan Rong Qie was the first treatise on this in
the history of traditional Chine
于民国五年(公元1916年)到民国二十年(公元1931年)间。同治六年(公元1868
年)入上海广方言馆学习，同治十年(公元1871年)由两江总督曾国藩第二次咨
送到京师同文馆英文馆学习。光绪五年(公元1879年)，杨兆(均金)毕业后升迁出馆，
任苏松太道公署翻译。光绪十年(公元1884年)，随许景澄公使出洋。归国后，被
以道员身分发江苏补用。
光绪十九年(公元1893年)，杨兆(均金)任金陵同文馆教习，兼授算学。光绪二十
三年(公元1897年)，任江南储材学堂督办。光绪二十八年(公元1902年)，以“江
苏候补道赏四品卿衔差”任出使比利时钦差大臣。光绪三十一年(公元1905年)
被召回国。
杨兆望于光绪二十四年(公元1898年)自撰《须曼精庐算学》二十四卷，除此
之外，据《清艺文志补编》所载，杨氏还撰有《杨须圃出使奏议》。
从《须曼精庐算学》二十四卷的内容来看，除卷一“椭曲同诠”和卷二“抛摆
致用”外，其余各卷的类型问题均可在《同文馆算学课艺》中找到源头。在学习算
学的过程中，杨氏还对一些内容进行过认真思考，颇有心得，尽管其思考所得之结
果远不能与清末从事数学研究、翻译的数学家相比。在《须曼精庐算学》中，杨氏
最具代表性的工作为
1.关于测量方法的研究。杨氏不拘泥于“勾股测量”和“三角测量”法，巧妙
地把四面体理论应用于测量之中，提出了所谓的“四面体测量”法。
2.关于圆锥三曲线问题的研究。杨氏虽没有提出新的命题，但其综合应用《圆
锥曲线说》中的知识，对《圆锥曲线说》中的部分命题给出了自己的证明方法。杨
兆(均金)继李善兰求椭圆焦点的作图问题之后，独立提出和研究了求双曲线焦点的作图
问题。
3.关于平圆容切问题的研究。杨氏虽未正确解诀阿波罗尼圆和“弧矢形上求相
切二圆心”的作图问题，但是其提出并解决了其它关于圆与圆之间的作图问题。“平
圆容切”是中算史上第一部专论圆与圆之间相容的作图问题的著作。
4.关于“垂线诸求”及“勾股容方”问题的研究。杨氏在《同文馆算学课艺》
的基础上，完善了由勾股十三事、中垂线，求勾、股、弦问题。他在“勾股容方”
中探讨了三种特殊的勾股形内容长方问题的作图，并对勾股形内容长方四事求解问
题进行了研究。
杨兆(均金)的数学工作也深受李善兰的影响，最具典型的代表是“勾股容三事”
“测圆海镜”和“椭圆作图”及“抛摆致用”中求射程、射角问题。
杨兆(均金)是洋务教育中所培养的众多人才之中的杰出代表，他不仅精通外交，而
且对算学亦有一定的研究。通过对杨兆望数学工作的介绍，我们可以看出，杨氏所
撰《须曼精庐算学》这部富有心得的数学著作对了解清末数学的发展具有重要意义，
对客观评价京师同文馆的数学教育亦有一定的价值。
Yang Thaojun was born in Wucheng County (now Huzhou City), Zhejiang Province in
the fourth year of the reign of Emperor Xianfeng (i.e. 1854 A.D.). He styled himself
Chengzhi. His alternative name was Xupu.He died during the period from the fifth year
(i.e.1916 A.D.) to the twentieth year of Mingguo.He went to school at Shang Hal Guang
Fang Yan Kuan in the sixth year of the reign of Emperor Tongzhi (i.e.1868 A.D.). He was
sent for English Kuan in Jing shi Tong Wen kuan to learn by Zeng Guofan who acted as a
president in the region, including Jiangxi, Jiangsu and Anhui in the tenth year of the reign of
Emperor Tongzhi (i.e.1871 A.D). He became a translator of Su Song Dai Dao department
after graduating in the fifth year of the reign of Emperor Guangxu (i.e.1879 A.D.). He
followed Xu Jingcheng (1845 A.D.? 900 A.D.) to go to overseas as a retinue in the tenth
year of the reign of Emperor Guangxu (i.e.1884 A.D.). After many years, he came back and
was a candidate bestowed Dao Yuan in Jiangsu Province.
Yang Zhaojun was a mathematic teacher at Jin Ling Tong Wen Kuan in the nineteenth
year of the reign of Emperor Guangxu.He turned surveillance at Jiang Nan Chu Cal Xue
Tang in the twenty-third year of the reign of Emperor Guangxu (i.e.1897 A.D.). After five
years, he was an ambassador of Chinese embassy in Beljium. He was asked to come back
in the thirty-first year of the reign of Emperor (1uangxu (i.e. 1905 A.D.).
His work on mathematics was Xu Man Jing Lu Suan Xue (24 volumes total) written
in the twenty-fourth year of the reign of Emperor Guangxu (i.e.l898 A.D.). In addition, he
still wrote Yang Xu Pu Chu Shi Zou Yi according to Qing Yi Wen Zhi Bu Bian.
The typical problems of other volumes derived from Tong Wen kuan Mathematical
Exercises except the first volume "Tuo Qu Tong Quan"and the second volume" Pao Bai zhi
Yong" During his learning mathematics, Yang Zhaojun meditated some mathematic
problems and got a few new results. These results were not important in view of
mathematicians who engaged in studying and translating mathematics.
The paper analyzes and studies four aspects of Yang's mathematical work. These are
2
The paper analyzes and studies four aspects of Yang抯 mathematical work. These are
as follows.
1. The research on the measurement methods. Yang put forward?tetrahedron
measurement?method by himself after he studied the two methods, which included 搑ight
triangle measurement?and 搃nclined triangle measurement? He felicitously applied some
tetrahedron theories to the measurement.
2. The research on ellipse, hyperbola and parabola. Yang attested some propositions in
Conics by his own proof methods although he advanced few new propositions. Li Shanlan
who was a lead teacher at Jing Shi Tong Wen kuan solved many construction problems of
elliptical focal points. After that time ,Yang zhaojun studied and propounded a few
construction problems of hyperbolic foci.
3. The research on the geometric construction problems of contact of circles. Yang
couldn抰 correctly resolve Apollon抯 circles and 揻inding a center of one circle which
circumscribed the other. They both contacted a determined chord of circular segment and
their centers were in this circular arc? However, he studied and resolved, other construction
problems of contact of circles. Yang抯 Ping Yuan Rong Qie was the first treatise on this in
the history of traditional Chine
引文
1 钱宝琮．浙江畴人著述记．见：钱宝琮科学史论文集．北京：科学出版社，1983，316
2 [清] 杨兆鋆．须曼精庐算学·刘承干跋，民国丙辰(1916)，吴兴嘉业堂刊本
3 朱有献．中国近代学制史料(第一辑上册)．上海：华东师范大学出版社，1983，212
4 [清] 杨兆鋆．须曼精庐算学·席淦序，民国丙辰(1916)，吴兴嘉业堂刊本
5 汪扬宗．江南制造局史略．自然辩证法通讯，1986(5)
6 [清] 杨兆鋆．须曼精庐算学·席淦序，民国丙辰(1916)，年吴兴嘉业堂刊本
7 朱有献．中国近代学制史料(第一辑上册)．上海：华东师范大学出版社，1983，65
8 [清] 许景澄．许文肃公遗稿·奏疏一·卷一，民国七年，排印本
9 辞海编辑委员会．辞海(上)．上海：上海辞书出版社，1989，1013
10 钱实甫．清代职官年表(第四册)．北京：中华书局，1980，3033—3035
11 [清] 许景澄．许文肃公遗稿·奏疏一·卷一，民国七年，排印本
12 [清] 朱寿朋编，张静吁等校点．光绪朝东华录(一)．北京：中华书局，1984，112
13 朱有献，中国近代学制史料 (第一辑上册)．上海：华东师范大学出版社，1983，66
14 钱宝琮．浙江畴人著述记．见：钱宝琮科学史论文集．北京：科学出版社，1983，316
15 朱有献．中国近代学制史料 (第一辑下册)．上海：华东师范大学出版社，1986，711
16 朱有献：中国近代学制史料 (第一辑下册)．上海：华东师范大学出版社，1986，548—560
17 钱实甫．清代职官年表(第四册)．北京：中华书局，1980，3042—3044
18 朱有献．中国近代学制史料(第一辑上册)．上海：华东师范大学出版社，1983，289
19 [清] 王恭寿．辨志文会初集(算学)，光绪间刻本
20 [清] 席淦等．算学课艺，光绪二十二年(1896)，上海著易堂石印本
21 陈学恂．中国近代教育史教学参考资料 (上册)．北京：人民教育出版社，1987，720—721
22 张奠宙，曾慕莲，戴再平．近代数学教育史话．北京：人民教育出版社，1990，1—3
23 张祖贵．数学与人类文化发展．广东教育出版社，1995，100
24 中国史学会主编．中国近代史资料丛刊·戊戌变法(一)。上海：人民出版社，1953，27—28
25 张祖贵．数学与人类文化发展．广东教育出版社，1995，101
26 [清] 李鸿章撰，吴汝纶编．李文忠公全书(奏稿卷三)，第十三页，光绪三
十一年(1905)刊
27 吴文俊主编．中国数学史大系(卷八)．北京：北京师范大学出版社，2000，264
28 奕訴．同治五年十一月初五日总理各国事务奕斤等折．中国史学会十编．中国近代史资料丛刊·洋务运动(二)．上海：上海人民出版社，1961，23
29 张祖贵．数学与人类文化发展．广东教育出版社，1995，102
30 吴文俊主编．中国数学史大系(副卷二)．北京：北京师范大学出社2000，381
31 刘钝．大哉言数．沈阳：辽宁教育出版社，1995，404—405
32 李兆华．中国数学史．台北：文津出版社，1995，74—75
33 冯立升．中国古代测量学史．呼和浩特：内蒙古大学出版社1995，8—84
34 冯立升．牛亚华．李善兰对于椭圆及其应用问题的研究．数学史研究文集(第三辑)．内蒙古大学出版社，九章出版社．1992，108
35 冯立升，牛亚华．李善兰对于椭圆及其应用问题的研究．数学史研究文集(第三辑)．内蒙古大学出版社，九章出版社，1992，108
36 [英]胡威立著，艾约瑟口译，李善兰笔述．重学二十卷附圆锥曲线说三卷，同治五年(1866)刻本
37 [清]沈钦裴．四元玉鉴细草．见郭书春主编．中国科学技术典籍通汇·数学(卷五)．河南教育出版社，1993，391
38 [清]黄宗宪．容圆七术，光绪二十二年(1896)，梅城知足堂刊本
39 [英]傅兰雅．格致汇编(冬)，光绪二年(1876)铅印本
40 [清]蒋士栋．思枣室算稿，光绪二十三年(1897)，家刊本
41 [清]刘彝程．简易庵算稿·卷三，光绪庚子(1900)，江南制造局刊本
42 李迪．我国现代数学的先驱者周达．见：李迪．中国科学技术史论文集(第一集)．呼和浩特：内蒙古教育出版社，1991，273
43 [清]徐光启利，玛窦译．几何原本．见：郭书春主编．中国科学技术典籍通汇·数学(卷五)．河南教育出版社，1993，1271
44 李迪，郭世荣．清代著名天文数学家梅文鼎．上海：上海科学技术文献出版社，1988，142
45 [清]梅文鼎．几何通解．见：郭书春主编．中国科学技术典籍汇·数学(卷五)．河南教育出版社，1993，1286
46 邵明湖，吴培群．面积贴合法在希腊数学中的几何起源和作用．日然科学史研究，1995(1)，3
47 吴文俊主编．中国数学史大系(卷八)．北京：北京师范大学出版社，2000，65
48 [清]罗士琳．勾股容三事拾遗，道光六年(1826)刊本
49 [清]李善兰．九容图表．见：郭书春主编．中国科学技术典籍通汇·数学(卷五)．河南教育出版社，1993，1035—1038
50 梅荣照．李冶及其数学著作．见：宋元数学史论文集．北京：科学出版社，1966，39
51 刘钝．大哉言数．沈阳：辽宁教育出版社，1995，428
52 [清]黄宗宪，炼礮宜知，光绪丁酉(1897)，梅城知足堂刊本
2 [清] 杨兆鋆．须曼精庐算学·刘承干跋，民国丙辰(1916)，吴兴嘉业堂刊本
3 朱有献．中国近代学制史料(第一辑上册)．上海：华东师范大学出版社，1983，212
4 [清] 杨兆鋆．须曼精庐算学·席淦序，民国丙辰(1916)，吴兴嘉业堂刊本
5 汪扬宗．江南制造局史略．自然辩证法通讯，1986(5)
6 [清] 杨兆鋆．须曼精庐算学·席淦序，民国丙辰(1916)，年吴兴嘉业堂刊本
7 朱有献．中国近代学制史料(第一辑上册)．上海：华东师范大学出版社，1983，65
8 [清] 许景澄．许文肃公遗稿·奏疏一·卷一，民国七年，排印本
9 辞海编辑委员会．辞海(上)．上海：上海辞书出版社，1989，1013
10 钱实甫．清代职官年表(第四册)．北京：中华书局，1980，3033—3035
11 [清] 许景澄．许文肃公遗稿·奏疏一·卷一，民国七年，排印本
12 [清] 朱寿朋编，张静吁等校点．光绪朝东华录(一)．北京：中华书局，1984，112
13 朱有献，中国近代学制史料 (第一辑上册)．上海：华东师范大学出版社，1983，66
14 钱宝琮．浙江畴人著述记．见：钱宝琮科学史论文集．北京：科学出版社，1983，316
15 朱有献．中国近代学制史料 (第一辑下册)．上海：华东师范大学出版社，1986，711
16 朱有献：中国近代学制史料 (第一辑下册)．上海：华东师范大学出版社，1986，548—560
17 钱实甫．清代职官年表(第四册)．北京：中华书局，1980，3042—3044
18 朱有献．中国近代学制史料(第一辑上册)．上海：华东师范大学出版社，1983，289
19 [清] 王恭寿．辨志文会初集(算学)，光绪间刻本
20 [清] 席淦等．算学课艺，光绪二十二年(1896)，上海著易堂石印本
21 陈学恂．中国近代教育史教学参考资料 (上册)．北京：人民教育出版社，1987，720—721
22 张奠宙，曾慕莲，戴再平．近代数学教育史话．北京：人民教育出版社，1990，1—3
23 张祖贵．数学与人类文化发展．广东教育出版社，1995，100
24 中国史学会主编．中国近代史资料丛刊·戊戌变法(一)。上海：人民出版社，1953，27—28
25 张祖贵．数学与人类文化发展．广东教育出版社，1995，101
26 [清] 李鸿章撰，吴汝纶编．李文忠公全书(奏稿卷三)，第十三页，光绪三
十一年(1905)刊
27 吴文俊主编．中国数学史大系(卷八)．北京：北京师范大学出版社，2000，264
28 奕訴．同治五年十一月初五日总理各国事务奕斤等折．中国史学会十编．中国近代史资料丛刊·洋务运动(二)．上海：上海人民出版社，1961，23
29 张祖贵．数学与人类文化发展．广东教育出版社，1995，102
30 吴文俊主编．中国数学史大系(副卷二)．北京：北京师范大学出社2000，381
31 刘钝．大哉言数．沈阳：辽宁教育出版社，1995，404—405
32 李兆华．中国数学史．台北：文津出版社，1995，74—75
33 冯立升．中国古代测量学史．呼和浩特：内蒙古大学出版社1995，8—84
34 冯立升．牛亚华．李善兰对于椭圆及其应用问题的研究．数学史研究文集(第三辑)．内蒙古大学出版社，九章出版社．1992，108
35 冯立升，牛亚华．李善兰对于椭圆及其应用问题的研究．数学史研究文集(第三辑)．内蒙古大学出版社，九章出版社，1992，108
36 [英]胡威立著，艾约瑟口译，李善兰笔述．重学二十卷附圆锥曲线说三卷，同治五年(1866)刻本
37 [清]沈钦裴．四元玉鉴细草．见郭书春主编．中国科学技术典籍通汇·数学(卷五)．河南教育出版社，1993，391
38 [清]黄宗宪．容圆七术，光绪二十二年(1896)，梅城知足堂刊本
39 [英]傅兰雅．格致汇编(冬)，光绪二年(1876)铅印本
40 [清]蒋士栋．思枣室算稿，光绪二十三年(1897)，家刊本
41 [清]刘彝程．简易庵算稿·卷三，光绪庚子(1900)，江南制造局刊本
42 李迪．我国现代数学的先驱者周达．见：李迪．中国科学技术史论文集(第一集)．呼和浩特：内蒙古教育出版社，1991，273
43 [清]徐光启利，玛窦译．几何原本．见：郭书春主编．中国科学技术典籍通汇·数学(卷五)．河南教育出版社，1993，1271
44 李迪，郭世荣．清代著名天文数学家梅文鼎．上海：上海科学技术文献出版社，1988，142
45 [清]梅文鼎．几何通解．见：郭书春主编．中国科学技术典籍汇·数学(卷五)．河南教育出版社，1993，1286
46 邵明湖，吴培群．面积贴合法在希腊数学中的几何起源和作用．日然科学史研究，1995(1)，3
47 吴文俊主编．中国数学史大系(卷八)．北京：北京师范大学出版社，2000，65
48 [清]罗士琳．勾股容三事拾遗，道光六年(1826)刊本
49 [清]李善兰．九容图表．见：郭书春主编．中国科学技术典籍通汇·数学(卷五)．河南教育出版社，1993，1035—1038
50 梅荣照．李冶及其数学著作．见：宋元数学史论文集．北京：科学出版社，1966，39
51 刘钝．大哉言数．沈阳：辽宁教育出版社，1995，428
52 [清]黄宗宪，炼礮宜知，光绪丁酉(1897)，梅城知足堂刊本