夏鸾翔对微积分的学习与使用——《万象一原》内容分析
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摘要
19世纪后期是中国数学由传统向近现代转化的一个重要时期，微积分是近代数学乃至大部分自然科学的最基础的理论，这个理论是从1859年出版的译著《代微积拾级》中介绍到中国来的。但是，直到清末，真正对西方传入中国的以微积分为主的近代数学知识有深刻体会的中国数学家还并不多。微积分、解析几何、代数学等知识在中国落地扎根并不是一帆风顺的，而是经历了一个相当长的时期。对晚清数学家来说，面临着新的机遇，同时存在着巨大的挑战和困惑。
19世纪中算家对《代微积拾级》、《微积溯源》、《决疑数学》等西方译书的学习、理解以及应用，是中国数学由传统向近代转化过渡的一个十分重要的方面。研究晚清中算家对微积分的学习情况、理解程度以及应用能力，无疑对于研究中国数学的近代化历程具有十分重要的意义。这是中国数学史研究的一个重要课题。目前，在这个课题上的研究工作还较少，只有为数不多的一些零散论述。
作为内蒙古自治区教育厅重点项目“中国数学近代化之历程研究”的一个组成部分，在本文中，我们选定清末数学家夏鸾翔的《万象一原》作为研究对象，主要目的是通过对《万象一原》的研究来认识晚清数学家是如何学习和使用微积分的，并探讨他们对微积分的掌握情况和理解程度。
《万象一原》(1862)是夏鸾翔在学习了《代微积拾级》(1859)之后完成的一部著作，这是夏鸾翔的最后一部数学著作，同时也是我国数学家自己写的第一部应用微积分知识的著作。书中利用微积分这个有力的工具解决戴煦、项名达等人在求弧长、面积和体积时所遇到的问题和困难，有一些新的进展。以往对微积分在中国的传播史和夏鸾翔的研究，虽然也有一些工作把夏鸾翔的研究和微积分联系在了一起，但是还存在着不少问题和不清楚的地方。一方面，前人涉及到的仅是《万象一原》中的一小部分例题，所得结果不能完全反映夏氏对微积分的认识程度和使用情况，另一方面没有清晰地把《万象一原》和《代微积拾级》联系起来。
本文由五部分组成，各部分的内容大致如下：
一、阐述本选题的意义，介绍前人在这个课题上的已有成果，说明本文的主要研究内容和思想。
夏莺翔对微积分的学习与使用—《万象一原》内容分析
二、介绍与本文有关的背景材料，包括:微积分传入中国的过程;夏莺翔的生平
履历;他的前辈数学家们在他所研究的问题上的相关研究成果;《万象一原》的内容
和结构;关于清末研究《万象一原》的两本数学著作。
三、用现代形式整理了《万象一原》中的130多个公式，说明了这些公式的几何
意义(四个除外)，校验了各公式的正误情况，并与《代微积拾级》进行了对比。
四、方法分析部分，通过对书中部分典型例题的详细讨论，分析和说明夏氏是如
何得到这些公式的。
五、总结全文，分析夏氏对微积分的理解认识程度，说明《万象一原》的方法、
贡献和意义。
本文的新工作主要有:说明了《代微积拾级》与另二种译著《微积学教科书》(1904)
和《微积学》(1912)的底本之间的关系;首次研究了《万象一原校勘记》和《万象一
原演式》二书;整理了《万象一原》的全部公式(前人曾分析过其中的极少部分)，并
分析了这些公式的推导过程;从中算近代化的角度分析了夏氏的微积分水平。
With the publication of the Dai Wei Ji Shi Ji (DWJ), a translation of Loomis' textbook Elements of Analytical Geometry and of the Differential and Integral Calculus (1851), in 1859, the differential and integral calculus was introduced into China. But until the end of the Qing dynasty, only a few Chinese mathematicians had mastered the theory of differential and integral calculus. When they studied and applied the theory of calculus, they confronted both great challenge and opportunity. Therefore, it took a long period for calculus, analytical geometry and algebra to take root in China.
Chinese mathematics began its transition from traditional mathematics to modern mathematics in the 19th century. It is an important step of the transition for Chinese mathematicians to study and to use the translations of western mathematical textbooks on calculus, analytical geometry, algebra, and probability, such as DWJ, Wei Ji Su Yuan, Jue Yi Shu Xue. Therefore, clarifying how Chinese mathematicians studied, understood, and applied the calculus in the late Qing is necessary for the study of the transition. It is an interest topic in the study of the history of mathematics in China.
The present paper, as a component of a research project: "Studies of the Transition of Chinese Mathematics from the Traditional to Modern One" supported by Inner Mongolia Education Bureau, deals with mathematical treatise Wan Xiang Yi Yuan (WXYY) written by Xia Luanxiang (1823-1864) in 1862. The treatise is the last mathematical work of Xia, as well the first treatise applying the differential and integral calculus after appearance of the DWJ in China. Xia Luanxiang was a celebrate mathematician in the late Qing. In this thesis the author gives a comprehensive study of WXYY, attempting to get some idea about how Xia mastered and applied the calculus.
The paper consists of five parts. The content of each part is as follows:
Part 1 Explaining the meaning of the dealt topic and the research contents and purpose of the thesis, and surveying the related research results.
Part 2 Introducing the some background materials, including the spreading process of calculus in China, Xia's bibliography, the topic of the WXYY and relevant researches done by other mathematicians before him, structure of WXYY, and two treatises studying WXYY which appeared in 1901 and 1902 respectively.
Part 3 Rewriting and classifying all 136 formulas, which were written in traditional terminology, in today's terminology; explaining the geometrical meanings of the formulas; checking all the formulas and correcting all kinds of mistakes appearing in the original text; comparing some of them with those of DWJ,
Part 4 Analyzing some of the typical formulas and explaining how Xia obtained them.
Part 5 Summing up the results of the paper; evaluating the degree of Xia's mastery of the calculus, his method, and the achievement in the WXYY.
The paper adds some new results to the study of the history of mathematics in China. Firstly, the relation between the DWJ and other two translations of Loomis's text towards the end of the Qing is discussed. Secondly, two treatises written in 1901 and 1902 respectively are studied for the first time. Thirdly, all formulas appeared in WXYY are classified and rewritten in today's terminology (only several of them were analyzed before), and the deriving methods of them are analyzed. Lastly, Xia's level of using calculus is evaluated from the perspective of transition of traditional Chinese mathematics to the modern one.
19世纪中算家对《代微积拾级》、《微积溯源》、《决疑数学》等西方译书的学习、理解以及应用，是中国数学由传统向近代转化过渡的一个十分重要的方面。研究晚清中算家对微积分的学习情况、理解程度以及应用能力，无疑对于研究中国数学的近代化历程具有十分重要的意义。这是中国数学史研究的一个重要课题。目前，在这个课题上的研究工作还较少，只有为数不多的一些零散论述。
作为内蒙古自治区教育厅重点项目“中国数学近代化之历程研究”的一个组成部分，在本文中，我们选定清末数学家夏鸾翔的《万象一原》作为研究对象，主要目的是通过对《万象一原》的研究来认识晚清数学家是如何学习和使用微积分的，并探讨他们对微积分的掌握情况和理解程度。
《万象一原》(1862)是夏鸾翔在学习了《代微积拾级》(1859)之后完成的一部著作，这是夏鸾翔的最后一部数学著作，同时也是我国数学家自己写的第一部应用微积分知识的著作。书中利用微积分这个有力的工具解决戴煦、项名达等人在求弧长、面积和体积时所遇到的问题和困难，有一些新的进展。以往对微积分在中国的传播史和夏鸾翔的研究，虽然也有一些工作把夏鸾翔的研究和微积分联系在了一起，但是还存在着不少问题和不清楚的地方。一方面，前人涉及到的仅是《万象一原》中的一小部分例题，所得结果不能完全反映夏氏对微积分的认识程度和使用情况，另一方面没有清晰地把《万象一原》和《代微积拾级》联系起来。
本文由五部分组成，各部分的内容大致如下：
一、阐述本选题的意义，介绍前人在这个课题上的已有成果，说明本文的主要研究内容和思想。
夏莺翔对微积分的学习与使用—《万象一原》内容分析
二、介绍与本文有关的背景材料，包括:微积分传入中国的过程;夏莺翔的生平
履历;他的前辈数学家们在他所研究的问题上的相关研究成果;《万象一原》的内容
和结构;关于清末研究《万象一原》的两本数学著作。
三、用现代形式整理了《万象一原》中的130多个公式，说明了这些公式的几何
意义(四个除外)，校验了各公式的正误情况，并与《代微积拾级》进行了对比。
四、方法分析部分，通过对书中部分典型例题的详细讨论，分析和说明夏氏是如
何得到这些公式的。
五、总结全文，分析夏氏对微积分的理解认识程度，说明《万象一原》的方法、
贡献和意义。
本文的新工作主要有:说明了《代微积拾级》与另二种译著《微积学教科书》(1904)
和《微积学》(1912)的底本之间的关系;首次研究了《万象一原校勘记》和《万象一
原演式》二书;整理了《万象一原》的全部公式(前人曾分析过其中的极少部分)，并
分析了这些公式的推导过程;从中算近代化的角度分析了夏氏的微积分水平。
With the publication of the Dai Wei Ji Shi Ji (DWJ), a translation of Loomis' textbook Elements of Analytical Geometry and of the Differential and Integral Calculus (1851), in 1859, the differential and integral calculus was introduced into China. But until the end of the Qing dynasty, only a few Chinese mathematicians had mastered the theory of differential and integral calculus. When they studied and applied the theory of calculus, they confronted both great challenge and opportunity. Therefore, it took a long period for calculus, analytical geometry and algebra to take root in China.
Chinese mathematics began its transition from traditional mathematics to modern mathematics in the 19th century. It is an important step of the transition for Chinese mathematicians to study and to use the translations of western mathematical textbooks on calculus, analytical geometry, algebra, and probability, such as DWJ, Wei Ji Su Yuan, Jue Yi Shu Xue. Therefore, clarifying how Chinese mathematicians studied, understood, and applied the calculus in the late Qing is necessary for the study of the transition. It is an interest topic in the study of the history of mathematics in China.
The present paper, as a component of a research project: "Studies of the Transition of Chinese Mathematics from the Traditional to Modern One" supported by Inner Mongolia Education Bureau, deals with mathematical treatise Wan Xiang Yi Yuan (WXYY) written by Xia Luanxiang (1823-1864) in 1862. The treatise is the last mathematical work of Xia, as well the first treatise applying the differential and integral calculus after appearance of the DWJ in China. Xia Luanxiang was a celebrate mathematician in the late Qing. In this thesis the author gives a comprehensive study of WXYY, attempting to get some idea about how Xia mastered and applied the calculus.
The paper consists of five parts. The content of each part is as follows:
Part 1 Explaining the meaning of the dealt topic and the research contents and purpose of the thesis, and surveying the related research results.
Part 2 Introducing the some background materials, including the spreading process of calculus in China, Xia's bibliography, the topic of the WXYY and relevant researches done by other mathematicians before him, structure of WXYY, and two treatises studying WXYY which appeared in 1901 and 1902 respectively.
Part 3 Rewriting and classifying all 136 formulas, which were written in traditional terminology, in today's terminology; explaining the geometrical meanings of the formulas; checking all the formulas and correcting all kinds of mistakes appearing in the original text; comparing some of them with those of DWJ,
Part 4 Analyzing some of the typical formulas and explaining how Xia obtained them.
Part 5 Summing up the results of the paper; evaluating the degree of Xia's mastery of the calculus, his method, and the achievement in the WXYY.
The paper adds some new results to the study of the history of mathematics in China. Firstly, the relation between the DWJ and other two translations of Loomis's text towards the end of the Qing is discussed. Secondly, two treatises written in 1901 and 1902 respectively are studied for the first time. Thirdly, all formulas appeared in WXYY are classified and rewritten in today's terminology (only several of them were analyzed before), and the deriving methods of them are analyzed. Lastly, Xia's level of using calculus is evaluated from the perspective of transition of traditional Chinese mathematics to the modern one.
引文
[1] 夏鸾翔：《万象一原》自序．光绪戊戌(1898年)江苏书局校刊本
[2] 参考C.B.Boyer：《微积分概念史》．上海：上海人民出版社，第297页
[3] 参见周述岐：《微积分思想简史》．北京：中国人民大学出版社，第141页
[4] 潘慎文：《微积教科书》．1906年 商务印书馆，藏于北京师范大学图书馆
[5] 路密司著 刘光照译：《微积学》．中华民国元年岁次(1912年)上海美华书馆摆印本，藏于中科院科学史研究所图书馆
[6] 关于夏氏生平的部分主要参考了刘洁民的文章《清代杰出数学家夏鸾翔及其<少广缒凿>、<洞方术图解>》(1984)及闵尔昌：《清碑传合集四》(碑传集补)两个资料的相关内容。
[7] 参见特古斯：《清代级数论史纲》．呼和浩特：内蒙古人民出版社2002年
[8] 引自卢靖：《万象一原演式》自序．光绪壬寅(1902年)木斋本
[9] 有时表述方式可能与《代微积拾级》有所不同
[10] x~n称为n-1乘方，所以“本乘积次数加一”为n，即廉率
[11] 刘长春的“夏鸾翔在椭圆计算上的若干贡献”已详细讨论过
[12] 刘长春的“夏鸾翔在椭圆计算上的若干贡献”已经给出此公式的类似形式
[13] 验证过程可参见牛亚华：明清时期对圆锥曲线的研究．内蒙古师范大学硕士毕业论文(1989)，第125页
[14] 参见特古斯著．《清代级数论史纲》．呼和浩特：内蒙古人民出版社2002年，第98—100页
[15] 可以参考牛亚华：明清时期对圆锥曲线的研究．内蒙古师范大学硕士毕业论文(1989)和刘长春：夏鸾翔在椭圆计算上的若干贡献．内蒙古师大学报，1986(2)：35-42等
1．(清)夏鸾翔．万象一原．光绪戊戌(1898年) 江苏书局校刊本
2．(清)邹伯奇．夏氏算书遗稿．1874年邹征君遗书本，含《致曲术》和《致曲图解》
3．(清)李善兰 (英)伟烈亚力合译．代微积拾级．咸丰己未(1859年) 墨海书局刊行本
4．(清)华蘅芳．学算笔谈．光绪乙酉(1885年)华氏刊成本
5．(清)卢靖．万象一原演式．光绪壬寅(1902年)木斋本
6．(清)华蘅芳 (英)傅兰雅合译．微积溯源．见《华氏中西算学全书二集》．光绪丁酉(1897年) 慎记书庄石印本
7．(美)路密司著 (清)刘光照译．微积学．中华民国元年岁次(1912年)上海美华书馆摆印本
8．(美)路密司．圆锥曲线．光绪29年(1903年) 上海美华书馆摆印本
9．(清)冯桂芬．西算新法丛书．光绪乙未(1895年) 赐书堂校印本
10．(清)冯桂芬 陈子瑨．西算新法直解．1876年冯氏校彬庐刊本
11．(民国)闵尔昌．清碑传合集四(碑传集补)．民国12年(1923年) 上海书店
12．(美)罗密士著 (美)潘慎文译．微积教科书．1906年商务印书馆
13．(清)徐异．万象一原校勘记．见沿沂亭算稿二光绪辛丑(1901年)十月开雕本
1．周述岐著．微积分思想简史．北京：中国人民大学出版社
2．(美)M.克莱因著北京大学数学系数学史翻译组译．古今数学思想．上海：上海科学技术出版社1979年
3．刘钝著．大哉言数．沈阳：辽宁教育出版社1993年
4．(美)C.B.Boyer著上海师范大学数学系翻译组译．微积分概念史．上海：上海人民出版社1977年
5．(美)C.H.爱德华著 张鸿林译．微积分发展史．北京：北京出版社1987年
6．龚升主编．简明微积分．北京：中国科技大学出版社1976年
7．杜石然主编 郭书春 刘钝执行主编．李俨、钱宝琮科学史全集(第七卷)．沈阳：辽宁教育出版社1998年
8．梅荣照主编．明清数学史论文集．南京：江苏教育出版社1990年
9．王能超著．千古绝技“割圆术”．武汉：华中理工大学出版社2000年
10．李俨著．中国算学史．中国文化史丛书本．北京：商务印书馆1998年
11．钱宝琮主编．中国数学史．北京：科学出版社1964年
12．Jean-Claude Martzloff马若安．AHistory of Chinese Mathematics,Springer,《中国数学史》．巴黎1988年
13．李迪主编．中国数学史简编．沈阳：辽宁人民出版社1986年
14．H．伊夫斯著欧阳绛等译．数学史概论．太原：山西经济出版社1986年
15．特古斯著．清代级数论史纲．呼和浩特：内蒙古人民出版社2002年
16．中外数学简史编写组．中国数学简史．济南：山东教育出版社1985年
17．数学手册编写组．数学手册．北京：高等教育出版社1979年
18．汪晓勤著．中西科学交流的功臣——伟烈亚力．北京：科学出版社2000年
19．罗见今著．《割圆密率捷法》译著．呼和浩特：内蒙古教育出版社1998年
20．(英)A.科克肖特，F.B.沃尔特斯著蒋声译．圆锥曲线的几何性质．上海：上海教育出版社2002年
21．李心灿著．微积分的创立者及其先驱(修订版)．北京：高等教育出版社2002年
1．刘长春．夏鸾翔在椭圆计算上的若干贡献．内蒙古师大学报，1986(2)：35-42
2．李兆华．卢靖两稿本数学书跋．数学史研究文集，第一辑1990：170-171
3．罗见今．徐、李、夏、华诸家的计数函数．第三届中国科学史国际讨论会论文集，1984：43-51
4．罗见今．李善兰、华蘅芳——我国近代数学教育的先驱者．辽宁师范大学学报(自然科学版)1986(4)：22—34
5．王渝生．李善兰研究．明清数学史论文集，1990：334-408
6．刘钝．清初民族思潮的嬗变及其对清代天文数学的影响．自然辩证法通讯，1991(3)：42-52
7．刘钝．夏鸾翔对圆锥曲线的综合研究．第三届中国科技史国际讨论会论文集，1984：12-18
8．何绍庚．椭圆求周释义．科学史集刊(十一)，地质出版社1984
9．白尚恕．圆锥曲线小史．数学通报，1964(2)：38
10．郭世荣．清末数学家的微积分水平．第二届中国少数民族科技史国际会议论文集，1994：139-142
11．郭金彬．中国近代级数展开式研究．自然辩证法通讯，1991(6)：53-59
12．冯立升、牛亚华．李善兰对椭圆及其应用问题的研究．数学史研究文集，第三辑1992：100-111
13．牛亚华．明末清初椭圆知识的传入及应用．数学史研究文集，第一辑1990：104-116
14．梅荣照．我国第一本微积分学的译本—《代微积拾级》出版百年．科学史集刊，第三辑1960
15．张奠宙．《代微积拾级》的原书及原作者．中国科技史料，1992(2)：86—90
16．冯立升．《代微积拾级》在日本的流传和影响．自然辩证法通讯，1999(4)：41-47
17．汪晓勤．伟烈亚力的学术生涯．中国科技史料，1999(1)：17-34
18．牛亚华．明清时期对圆锥曲线的研究．内蒙古师范大学硕士毕业论文，1989
19．特古斯．项名达的递加数．内蒙古师范大学硕士毕业论文，1991
20．刘洁民．清代杰出数学家夏鸾翔及其<少广缒凿>、<洞方术图解>．北京师范大学硕士毕业论文，1984
21．李家宏．微积分若干基本概念的现代发展．中科院数学研究所博士毕业论文，1997
22．韩琦．对数在中国．中国科技大学(合肥)硕士毕业论文，1988
23．王海林．徐有壬的幂级数研究．内蒙古师范大学硕士毕业论文，1991
24．王荣彬．论戴煦的数学成就．内蒙古师范大学硕士毕业论文，1991
25．李迪．The Influence of Loomis's Mathematical Works an Mathematics Education in China.The Seventh International Seminar Reports at Kiyoshi Yokochi Library (Volume V), 2001(2):17—27
[2] 参考C.B.Boyer：《微积分概念史》．上海：上海人民出版社，第297页
[3] 参见周述岐：《微积分思想简史》．北京：中国人民大学出版社，第141页
[4] 潘慎文：《微积教科书》．1906年 商务印书馆，藏于北京师范大学图书馆
[5] 路密司著 刘光照译：《微积学》．中华民国元年岁次(1912年)上海美华书馆摆印本，藏于中科院科学史研究所图书馆
[6] 关于夏氏生平的部分主要参考了刘洁民的文章《清代杰出数学家夏鸾翔及其<少广缒凿>、<洞方术图解>》(1984)及闵尔昌：《清碑传合集四》(碑传集补)两个资料的相关内容。
[7] 参见特古斯：《清代级数论史纲》．呼和浩特：内蒙古人民出版社2002年
[8] 引自卢靖：《万象一原演式》自序．光绪壬寅(1902年)木斋本
[9] 有时表述方式可能与《代微积拾级》有所不同
[10] x~n称为n-1乘方，所以“本乘积次数加一”为n，即廉率
[11] 刘长春的“夏鸾翔在椭圆计算上的若干贡献”已详细讨论过
[12] 刘长春的“夏鸾翔在椭圆计算上的若干贡献”已经给出此公式的类似形式
[13] 验证过程可参见牛亚华：明清时期对圆锥曲线的研究．内蒙古师范大学硕士毕业论文(1989)，第125页
[14] 参见特古斯著．《清代级数论史纲》．呼和浩特：内蒙古人民出版社2002年，第98—100页
[15] 可以参考牛亚华：明清时期对圆锥曲线的研究．内蒙古师范大学硕士毕业论文(1989)和刘长春：夏鸾翔在椭圆计算上的若干贡献．内蒙古师大学报，1986(2)：35-42等
1．(清)夏鸾翔．万象一原．光绪戊戌(1898年) 江苏书局校刊本
2．(清)邹伯奇．夏氏算书遗稿．1874年邹征君遗书本，含《致曲术》和《致曲图解》
3．(清)李善兰 (英)伟烈亚力合译．代微积拾级．咸丰己未(1859年) 墨海书局刊行本
4．(清)华蘅芳．学算笔谈．光绪乙酉(1885年)华氏刊成本
5．(清)卢靖．万象一原演式．光绪壬寅(1902年)木斋本
6．(清)华蘅芳 (英)傅兰雅合译．微积溯源．见《华氏中西算学全书二集》．光绪丁酉(1897年) 慎记书庄石印本
7．(美)路密司著 (清)刘光照译．微积学．中华民国元年岁次(1912年)上海美华书馆摆印本
8．(美)路密司．圆锥曲线．光绪29年(1903年) 上海美华书馆摆印本
9．(清)冯桂芬．西算新法丛书．光绪乙未(1895年) 赐书堂校印本
10．(清)冯桂芬 陈子瑨．西算新法直解．1876年冯氏校彬庐刊本
11．(民国)闵尔昌．清碑传合集四(碑传集补)．民国12年(1923年) 上海书店
12．(美)罗密士著 (美)潘慎文译．微积教科书．1906年商务印书馆
13．(清)徐异．万象一原校勘记．见沿沂亭算稿二光绪辛丑(1901年)十月开雕本
1．周述岐著．微积分思想简史．北京：中国人民大学出版社
2．(美)M.克莱因著北京大学数学系数学史翻译组译．古今数学思想．上海：上海科学技术出版社1979年
3．刘钝著．大哉言数．沈阳：辽宁教育出版社1993年
4．(美)C.B.Boyer著上海师范大学数学系翻译组译．微积分概念史．上海：上海人民出版社1977年
5．(美)C.H.爱德华著 张鸿林译．微积分发展史．北京：北京出版社1987年
6．龚升主编．简明微积分．北京：中国科技大学出版社1976年
7．杜石然主编 郭书春 刘钝执行主编．李俨、钱宝琮科学史全集(第七卷)．沈阳：辽宁教育出版社1998年
8．梅荣照主编．明清数学史论文集．南京：江苏教育出版社1990年
9．王能超著．千古绝技“割圆术”．武汉：华中理工大学出版社2000年
10．李俨著．中国算学史．中国文化史丛书本．北京：商务印书馆1998年
11．钱宝琮主编．中国数学史．北京：科学出版社1964年
12．Jean-Claude Martzloff马若安．AHistory of Chinese Mathematics,Springer,《中国数学史》．巴黎1988年
13．李迪主编．中国数学史简编．沈阳：辽宁人民出版社1986年
14．H．伊夫斯著欧阳绛等译．数学史概论．太原：山西经济出版社1986年
15．特古斯著．清代级数论史纲．呼和浩特：内蒙古人民出版社2002年
16．中外数学简史编写组．中国数学简史．济南：山东教育出版社1985年
17．数学手册编写组．数学手册．北京：高等教育出版社1979年
18．汪晓勤著．中西科学交流的功臣——伟烈亚力．北京：科学出版社2000年
19．罗见今著．《割圆密率捷法》译著．呼和浩特：内蒙古教育出版社1998年
20．(英)A.科克肖特，F.B.沃尔特斯著蒋声译．圆锥曲线的几何性质．上海：上海教育出版社2002年
21．李心灿著．微积分的创立者及其先驱(修订版)．北京：高等教育出版社2002年
1．刘长春．夏鸾翔在椭圆计算上的若干贡献．内蒙古师大学报，1986(2)：35-42
2．李兆华．卢靖两稿本数学书跋．数学史研究文集，第一辑1990：170-171
3．罗见今．徐、李、夏、华诸家的计数函数．第三届中国科学史国际讨论会论文集，1984：43-51
4．罗见今．李善兰、华蘅芳——我国近代数学教育的先驱者．辽宁师范大学学报(自然科学版)1986(4)：22—34
5．王渝生．李善兰研究．明清数学史论文集，1990：334-408
6．刘钝．清初民族思潮的嬗变及其对清代天文数学的影响．自然辩证法通讯，1991(3)：42-52
7．刘钝．夏鸾翔对圆锥曲线的综合研究．第三届中国科技史国际讨论会论文集，1984：12-18
8．何绍庚．椭圆求周释义．科学史集刊(十一)，地质出版社1984
9．白尚恕．圆锥曲线小史．数学通报，1964(2)：38
10．郭世荣．清末数学家的微积分水平．第二届中国少数民族科技史国际会议论文集，1994：139-142
11．郭金彬．中国近代级数展开式研究．自然辩证法通讯，1991(6)：53-59
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