魏尔斯特拉斯的复变函数思想分析
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摘要
本文采用文本分析、历史研究和比较研究方法,对魏尔斯特拉斯原始论文和讲义进行了详细、全面、系统地文献解读和分析,同时根据他的学生和其他数学史家相关主题的研究文献,以探究基本问题——魏尔斯特拉斯复变函数思想、方法与理论的形成与发展为主旨,结合实分析等领域的密切关联,剖析、梳理了魏尔斯特拉斯的复变函数理论构架,并将体现于其中的魏尔斯特拉斯复变函数思想的特征做出深刻总结和客观评价。获得了以下主要成果:
1.围绕魏尔斯特拉斯复分析思想缘起问题,兼顾外因与内因对19世纪复变函数的发展进行了考察与梳理,介绍了通向复分析三个基本途径——代数分析、积分、几何。指出了德国数学组合分析与古德曼的级数工作以及分析严格化要求的共同影响,构成了魏尔斯特拉斯发展复变函数理论的动机。
2.全面勾勒了魏尔斯特拉斯不平凡的一生,从生活轨迹到学术生涯以及教育活动等方面,概要介绍了他在不同数学领域取得的成就、思想以及教育观念。深刻体现了魏尔斯特拉斯在19世纪后半叶作为数学界领军人物的核心地位与强大的影响力。
3.详细考察魏尔斯特拉斯早期的三篇论文,从解析函数的积分表示、级数表示以及微分形式的理论论述中,得到若干重要结果如双重级数定理、柯西积分定理与洛朗级数定理等等,揭示魏尔斯特拉斯复分析方法的出现以及发展复分析理论的基础。
4.探析了魏尔斯特拉斯中期的解析因子理论,反映了魏尔斯特拉斯数学思想的连贯性,通过他对复变函数理论某些基本问题的关注,体现了代数方法的研究手段。通过与复变函数关联度的考察,强调了这一阶段蕴含的数学思想对后来整体解析函数理论具有一定的思想启发力。
5.深入考察了魏尔斯特拉斯后期,即在柏林大学授课期间,完成并提交于德国科学院的论文,借助解析函数的性质并将复变函数理论一般化,说明此时魏尔斯特拉斯已将复变函数理论作为独立的理论进行研究。这一阶段是复分析理论不断深化、整体理论构架形成时期。
6.详尽分析了魏尔斯特拉斯学生的“解析函数导论”课堂笔记,更加清晰地重构魏尔斯特拉斯函数理论体系。魏尔斯特拉斯以“解析映射”概念为基本构成,进行解析延拓,从而实现由局部获得整体解析函数。完整地剖析了魏尔斯特拉斯的复变函数论思想、理论与方法。
7.探讨了魏尔斯特拉斯复变函数思想影响的张力与限度。魏尔斯特拉斯对整函数和亚纯函数的研究开启了三个方向的系统研究,对19世纪末至20世纪诸多函数论分支的发展产生深刻的启发与导向。另一方面,分析了魏尔斯特拉斯复变函数思想中代数性的局限性,当现代复变函数转向几何方向蓬勃发展时,其复变函数思想与方法逐渐式微。
By means of methods of text-analysis, historical and comparative research, the dissertation carries on detailed, comprehensive and systematical interpretation and analysis based on intensive investigation of original treatises and lectures of Weierstrass and other related research literature. With the purport of exploring fundamental questions- the shaping and development of Weierstrass' thought, method and theory in complex function, and combining with the theory of function and real analysis, theoretical construction of Weierstrass' complex function are analyzed and regenerated, and the mathematical characters and profound thoughts, which among embodied, are summarized and evaluated objectively. From which the following contributions are obtained:
1. Focus on the origin of Weierstrass' Complex Analysis, considering to external and internal causes are the development of complex function in 19~(th) century reviewed, and three basic approaches lead to complex analysis, namely, algebraic analysis, integral and geometry are introduced. It has cast light on the influences under combinatory analysis in Germany, series work of Gudermann and requirements of rigorous analysis which constitute his motives to develop complex function.
2. Overview of extraordinary life of Weierstrass, from life track, academic career as well as pedagogical activities the achievements in different mathematical areas, thought and pedagogical briefly surveyed, which embody his powerful influences on the whole mathematical world in 19~(th) century.
3. Detailed exploration of Weierstrass' three early papers, from the theoretical discussion about integral and series expression along with differential form of analytic function, Weierstrass has independently derived important results such as double series theorem, Cauchy integral theorem and Laurent series theorem etc, which represent the emergence of Weiertrass' methods and the theoretic foundation of complex analysis.
4. Research on the theory of analytic factor in his middle period, which reflects the coherence in weierstrass' mathematical thought. What he concerned indicate his algebraic approach in the research. Association with complex function in this study, mathematical thought in this phase inspires the later integer theory of analytic function.
5. Further investigation on the papers which Weierstrass has in late academic period submitted to German Academy of Science, namely during the lectures in Berlin university, the generalization of complex function theory recurring to the properties of analytic function, which shows that the theory of complex function was taken as an independent theory. It has revealed that the theory of complex function has been continuously deepened and the framework of complex function has been formed in this phase.
6. Comprehensively analysis of the notes of Weierstrass' students on the lecture of "Introduction to analytic function", function theoretic system is clearly reconstructed. Weierstrass took the concept of "analytic Gebilde" as basic constitution to analytic continuation in order to access to integer analytic function by local ones. Mathematical thoughts, methods and theories of Weierstrass' complex function are extensively analyzed
7. Discussion on the tension and limit of impact of Weierstrass' thought on complex function. The research on integral function and meromorphic function oriented to three branches and profoundly guided to different function fields from the end of 19~(th) to beginning of 20~(th) century.
1.围绕魏尔斯特拉斯复分析思想缘起问题,兼顾外因与内因对19世纪复变函数的发展进行了考察与梳理,介绍了通向复分析三个基本途径——代数分析、积分、几何。指出了德国数学组合分析与古德曼的级数工作以及分析严格化要求的共同影响,构成了魏尔斯特拉斯发展复变函数理论的动机。
2.全面勾勒了魏尔斯特拉斯不平凡的一生,从生活轨迹到学术生涯以及教育活动等方面,概要介绍了他在不同数学领域取得的成就、思想以及教育观念。深刻体现了魏尔斯特拉斯在19世纪后半叶作为数学界领军人物的核心地位与强大的影响力。
3.详细考察魏尔斯特拉斯早期的三篇论文,从解析函数的积分表示、级数表示以及微分形式的理论论述中,得到若干重要结果如双重级数定理、柯西积分定理与洛朗级数定理等等,揭示魏尔斯特拉斯复分析方法的出现以及发展复分析理论的基础。
4.探析了魏尔斯特拉斯中期的解析因子理论,反映了魏尔斯特拉斯数学思想的连贯性,通过他对复变函数理论某些基本问题的关注,体现了代数方法的研究手段。通过与复变函数关联度的考察,强调了这一阶段蕴含的数学思想对后来整体解析函数理论具有一定的思想启发力。
5.深入考察了魏尔斯特拉斯后期,即在柏林大学授课期间,完成并提交于德国科学院的论文,借助解析函数的性质并将复变函数理论一般化,说明此时魏尔斯特拉斯已将复变函数理论作为独立的理论进行研究。这一阶段是复分析理论不断深化、整体理论构架形成时期。
6.详尽分析了魏尔斯特拉斯学生的“解析函数导论”课堂笔记,更加清晰地重构魏尔斯特拉斯函数理论体系。魏尔斯特拉斯以“解析映射”概念为基本构成,进行解析延拓,从而实现由局部获得整体解析函数。完整地剖析了魏尔斯特拉斯的复变函数论思想、理论与方法。
7.探讨了魏尔斯特拉斯复变函数思想影响的张力与限度。魏尔斯特拉斯对整函数和亚纯函数的研究开启了三个方向的系统研究,对19世纪末至20世纪诸多函数论分支的发展产生深刻的启发与导向。另一方面,分析了魏尔斯特拉斯复变函数思想中代数性的局限性,当现代复变函数转向几何方向蓬勃发展时,其复变函数思想与方法逐渐式微。
By means of methods of text-analysis, historical and comparative research, the dissertation carries on detailed, comprehensive and systematical interpretation and analysis based on intensive investigation of original treatises and lectures of Weierstrass and other related research literature. With the purport of exploring fundamental questions- the shaping and development of Weierstrass' thought, method and theory in complex function, and combining with the theory of function and real analysis, theoretical construction of Weierstrass' complex function are analyzed and regenerated, and the mathematical characters and profound thoughts, which among embodied, are summarized and evaluated objectively. From which the following contributions are obtained:
1. Focus on the origin of Weierstrass' Complex Analysis, considering to external and internal causes are the development of complex function in 19~(th) century reviewed, and three basic approaches lead to complex analysis, namely, algebraic analysis, integral and geometry are introduced. It has cast light on the influences under combinatory analysis in Germany, series work of Gudermann and requirements of rigorous analysis which constitute his motives to develop complex function.
2. Overview of extraordinary life of Weierstrass, from life track, academic career as well as pedagogical activities the achievements in different mathematical areas, thought and pedagogical briefly surveyed, which embody his powerful influences on the whole mathematical world in 19~(th) century.
3. Detailed exploration of Weierstrass' three early papers, from the theoretical discussion about integral and series expression along with differential form of analytic function, Weierstrass has independently derived important results such as double series theorem, Cauchy integral theorem and Laurent series theorem etc, which represent the emergence of Weiertrass' methods and the theoretic foundation of complex analysis.
4. Research on the theory of analytic factor in his middle period, which reflects the coherence in weierstrass' mathematical thought. What he concerned indicate his algebraic approach in the research. Association with complex function in this study, mathematical thought in this phase inspires the later integer theory of analytic function.
5. Further investigation on the papers which Weierstrass has in late academic period submitted to German Academy of Science, namely during the lectures in Berlin university, the generalization of complex function theory recurring to the properties of analytic function, which shows that the theory of complex function was taken as an independent theory. It has revealed that the theory of complex function has been continuously deepened and the framework of complex function has been formed in this phase.
6. Comprehensively analysis of the notes of Weierstrass' students on the lecture of "Introduction to analytic function", function theoretic system is clearly reconstructed. Weierstrass took the concept of "analytic Gebilde" as basic constitution to analytic continuation in order to access to integer analytic function by local ones. Mathematical thoughts, methods and theories of Weierstrass' complex function are extensively analyzed
7. Discussion on the tension and limit of impact of Weierstrass' thought on complex function. The research on integral function and meromorphic function oriented to three branches and profoundly guided to different function fields from the end of 19~(th) to beginning of 20~(th) century.
引文
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[2]陈希孺,数理统计学简史[M],长沙:湖南教育出版社,2005.
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[1]邓明立,有限域思想的历史演变[D],河北师范大学博士论文,2004.
[2]尚宇红,博弈论前史研究[D],西北大学博士论文,2003.
[3]徐传胜,概率论彼得堡学派研究[D],西北大学博士论文,2007.
[4]孙庆华,向量理论的历史研究[D],西北大学博士论文,2006.
[5]任辛喜,偏微分方程理论起源[D],西北大学博士论文,2005.
[6]贾小勇,19世纪以前的变分法[D],西北大学博士论文,2008.
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12 Peter Ullrich.Weierstraβ Vorlesung zur "Einleitung in die Theorie der analytischen Funktionen ".Archive for History of Exact Sciences[J].1981.
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[1]Présenté par A.P.Youschkevitch.Pierre Dugac.Eléments danalyse de Karl Weierstrass.Archive for History of Exact Sciences[J].Vol.10,1973.pp.41- 176.
[2]Umberto Bottazzini.Trans.by Warren Van Egmond.The Higher Caiculua:A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass.[M].Springer-Verlag.New York.Berlin.Heidelberg.London.Paris.Tokyo.1986.
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[4]Reinhard B(o|¨)lling.Karl Weierstrass:Briefwechsel zwischen Karl Weierstrass und Sofja Kowalewskaja.[M].Berlin:Akademie Verlag.1993.
[5]Rüdiger Thiele.The Weierstrass-Schwarz Letters.In:Hartmut Hecht,Regina Mikosch etc.Kosmos und ZahI-Beitr(a|¨)ge zur Mathematik- und Astronomiegeschichte,zu Alexander yon Humboldt und Leibniz[M].Franz Steiner Verlag 2008.pp:395-409.
[1]如Schwarz、Pincherle等作的笔记。
[1]这篇文章和前面提到的1876年《单值解析函数理论》文章在1886年统一编辑为《函数论》,按照文中先后顺序,包括:1.1876《单值解析函数理论》1-52页;2.1880《关于米塔-列夫勒的一个函数定理》53-66页;3.1880《函数论》67-104页;3.1879《多变量解析函数论的几个相关定理》105-164页;4.1876《多变量周期函数理论主要定理的新证明》165-182页。
1 Umberto Bottazzini,Theorie der Komplexen Funktionen,1780-1900..Hans Niels Jahnke(Hrsg.).Geschichte der Analysis.Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg:Berlin.pp:267-327
2 1752年达朗贝尔在他的流体力学论文《对流体阻力的一个新理论的论述》(Essay on a New Theory of the Residence of Fluids)中,考虑一个物体经过各向同性、无重量理想流体的运动,联系这一研究时得到现在所谓的柯西-黎曼方程。
3 Euler,L.Vollst(a|¨)dige Anleitung zur Algebra.St.Petersburg:Kaiserliche Akademie der Wissenschaften,oder in:Opera omnia,p.143.
4Edited by A.N.Kolmogorov,A.P.Yushkevich.Translated from the Russian by Roger Cooke.Mathematics of the 19~(th)Century.Birkhause Verlag,Basel Boston Berlin.183-189.
5达朗贝尔在他的流体力学论文《试论流体阻力的一个新理论》中讨论的。
6从1776年起到1783年逝世时止,欧拉写了一系列论文其中有两篇是在1793年和1797年发表的,涉及利用复函数计算实积分。
7从1782年到1812年发表他的名著《概率分析理论》(Théorie analytique des probabilités)为止的一系列论文中讨论了这些问题。其中拉普拉斯附带引进了我们现在称为解微分方程的拉普拉斯变换。虽然欧拉的相关讨论发表时间上比拉普拉斯晚,但是工作的完成要先于后者。
8Laplace.Théorie analytique des probabilités.1812.转引自Morris Klein.Mathematical Thought from Ancient to Modern Times.Ⅲ.New York:Oxford University Press.1972.P.4.
9张光远,近现代数学发展概论。重庆出版社,1991,12。PP:164-195.
10Cauchy,A.L.1814/1827.Mémoire sur les intégrales définies.Mémoires presents a l'Academie Royale des Sciences par divers savans.In:Oeuvres,p.329.
11即勒让德的著作《Exercises de calcul intégral(1811-1817)》
12后来黎曼在1846年在复变量方程W=f(z)=P(x,y)+iQ(x,y)中,其中P(x,y),Q(x,y)是关于实变量x,y的两个实函数,z=x+iy,以比较dW/dz=dy/dx为出发点,得到当且仅当dW/dz之值与dz无关时,W为解析函数。从而独立地得到所谓柯西-黎曼微分方程。
13论文的题目是《关于方向的分析表示的尝试》。
14阿尔冈发表的这篇论文为《试论几何作图中虚量的表示法》(Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques)
15Gottingische gelehrte Anzeigen,1831,4,23.转引自M.Kline,Ⅲ.p.7
16Victor J.Katz.A History of Mathematics:An Introduction.1998.P.573.
17Eric Temple Bell,The Development of Mathematics.New York:McGraw-Hill,1940.p.268.
18Florian Cajori.A History of Mathematics.New York:Macmillan and co.,1894.p.335.
19Karl Friedrich Hindenburg,Infinitinomii dignitatum indeterminarum leges ac formulae.Gottingen,1778,enlarged edition,1779.
20Karl Friedrich Hindenburg,Novi systematis permutationum,combinationum ac variationum primae llineae et Iogisticae serierum.Leipzig,1781,pp.4-7.(前言)
21Hindenburg,Novi systematis…pp.4-15.
25Scherk,Mathematische Abhandlungen,pp.94-95.
26Johann Friedrich Pfaff,"Analysis einer wichtigen Aufgabe des Herrn de la Grange",Archive der reinen und angewandte Mathematik,ed.by K.F.Hindenburg.Leipzig,1795,1.pp.81-92.
27Johann Friedrich Pfaff,Disquisitiones analyticae maxime ad calculum integralem et doctrinam serierum peertinentes.Helmsedt,1797.
28Ernst Gottfried Fischer,Thoerie der Dimensionszeichen nebst ihrer Anwendung auf verschiedene Materien aus der Analysis endlicher Grossen,2vols.;Halle,1792.
29Georg Simon Klügel,Mathematisches Worterbuch oder Erklarung der Begriffe,Lehrsatze,Aufgaben und Methoden der Mathematik,Leipzig,1802,1,p.907.
30Heinrich August Topfer,Combinatorische Analysis und Theorie der Dimensionszeichen in Parallele gestellt,Leipzig,1793.
31Ferdinand Schweins,Analysis,Heidelberg,1820,pp.27-32.
32Gudermann,6,1830,pp.369-373.
33Karlheinz Haas,“Hindenburg,Carl Friedrich”,Dictionary of Scientific Biography.New York:Charles Scribner's Sons.1972.6,p.403.
34双曲函数类似于常见的三角函数,基本的双曲函数为双曲正弦sinh、双曲余弦cosh、双曲正切tanh等。sinh=e~x-e~(-x)/2,cosh=e~x+e~(-x)/2。在古德曼的著作中基本双曲函数的记法为:Sin,Cos,Tan(将三角函数的第一个字母大写即可)。
35Gudermann,6,1830.p.22.
36在他的书中Practica geometriae(1220),Leonardo of Pisa(c.1170-1250)开始这个序列使得每一项都是前面两项的和。由此他建立了一个递推关系:a_(r+1)=a_r+a_(r-1)。只要具有这样关系的序列就称之为斐波那契序列并且直到今天还在引发许多数学讨论。
37圆函数即“三角函数”,因最初三角函数的研究长期在圆内进行,由此而得名,是正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的总称。
38椭圆函数是一种双周期函数(一个实周期和一个虚周期)
39Jacobi.Fundamenta nova theoriae functionum
40Abel.Recherches sur les functions elliptiques.1827.
41Kline,Mathematical Thought …,pp.488-489.
42时任哥尼斯堡天文台台长。
43魏尔斯特拉斯在他的著作中也利用了高斯的这一结果。
44Guass,Werke,3,pp.207-230.
45C.F.Guass,Commentationes societatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores,2,1813,Werke,3.pp.123-162.
46Kline,Mathematical Thought …,pp.526-531.
47大约古德曼著作之后的半个世纪后,德国数学家Georg Frobenius(1849-1917)构建了一般理论关于这种解法和确定级数系数的方法。见Georg Frobenius,“über die Integration clef linearen Differentialgleichungen durch Reihen”,Journal für die reine und angewandte Mathematik,76,1873.pp.214-235;Gesammelte Abhandlungen,1.pp.84-105.
48在Birgit Petri和Norbert Schappacher的文章中(“On Arithmetization”)指出“算术化”这一词在20世纪30年代出现的含义:哥德尔形式化理论以及Oscar Zariski描述他重写由Wolfgang Krull的理想与值的“算术”理论启发的代数几何。在每个介绍19世纪数学史中都会或多或少关于算术化的叙述,同时也有很多专门研究文章:从早期1898年Alfred Pringsheim(Irrationalzahlen und Konvergenz unendlicher Prozesse)、1909年Jules Molk(Nombres irrationnel et notion de limite)发表在百科全书中的文章到专门研究如1976年Pierre Dugac的“Richard Dcdekind et les fondements des mathématieucs”、1981年Michael Otte和Hans Niels Jahnke的“Origins of the program of‘arithmetization of mathematies”、1999年Moritz Epple的“Das Ende der Groβenlehre:Grundlagen der Analysis 1860-1910”、2002年Jacoueline Boniface的“Les constructions des nombres réels dans Ie movement d'arithmétisation de l'analyse”等等都是关于这一主题的详细介绍。
49Felix Klein.Uber Arithmetisierung der Mathematik.Nachrichten der Koniglichcn Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen.Geschaftliche Mitteilung.1895.pp.82-91
50同Felix Klein,1895。
51M.Hallet,U.Majer.David Hilber's Lectures on the Foundations of Geometry 1891-1902.Berlin,Heidelberg:Springer.2004.P.436.
52David Hilbert.Die Theorie der algebraischen Zahlkorper.Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 4.1897.pp.177-546.
53同Hilbert 1897.
54Karl Weierstrass.Zur Funktionenlehre,Werke Bd.Ⅱ,pp:201-212.
55Vorlesung im SS 1880.(1880年夏季学期的课程中说到)
1Reinhard Bolling.Das Fatoalbum für Weierstraβ.Friedr.Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH,Braunschweig/Wiesbaden,1994.
2C.C.(Charles Coulston ) Gillispie.Dictionary of Scientific Biography.Kurt-R.Biermann."Weierstrass,Karl Theodor Wilhelm",New York:Scribner,1970.p.219.
3G.Mittag-Leffler.Die ersten 40 Jahre des Lebens yon Weierstrass.Vortrag,gehalten auf dem 4.skandinavischen Mathematiker-Kongreβ in Stockholm(30.August- 2.September 1916).Acta Mathematica,39.1923.1-57.
4N.H.Abel,Mémorial(1902),p.108.
5G.Mittag-Leffler.Die ersten 40 Jahre des Lebens yon Weierstrass.
61836年1月法国数学家刘维尔创办了法文版《纯粹与应用数学杂志》。
71826年克雷尔创办了德文版《纯粹与应用数学杂志》,为与其后刘维尔的同名杂志区分,则分别称为《克雷尔杂志》与《刘维尔杂志》。1855年克雷尔去世后,到1880年,这期间杂志都是由Borchardt负责,也有人称这一时期的杂志为《博尔夏特杂志》。
8Reinhard Bolling.Das Fatoalbum für Weierstraβ.[M]Friedr.Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH,Braunschweig/Wiesbaden,1994.p.8
9同上。p.5.
10Felix Klein.Uber Arithmetisierung der Mathematik.Nachrichten der Koniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen[J].Geschaftliche Mitteilung.p.84.
11Reinhard Bolling.Karl Weierstrass:Briefwechsel zwischen Karl Weierstrass und Sofja Kowalewskaja.[M].Berlin:Akademie Verlag.1993.p.95.
12这两位数学家之间的矛盾仔细追究起来难免令人遗憾。1841年克罗内克进入柏林大学学习,当时学校有狄利克雷、雅可比和施坦纳,受雅可比的影响,椭圆函数论成为克罗内克的兴趣中心,他得到一些重要的关于椭圆函数的结果,此外,他的研究中体现出深刻的代数思想,试图从代数学到分析算术化,一切最根本的研究结果最终必须可以用整数性质的形式表达,这个原则既是直觉主义的信念同时也是构造性研究的起点。对比之下,不仅魏尔斯特拉斯的研究兴趣也在椭圆函数论上,而且他也强调算术化是任何理论的基础,二人的数学观有很大的相似性,然而他们之间僵持的关系导致他们完全屏蔽对方的研究,也不得不说是一件憾事。
13R.Siegmund-Schultze.K.Weierstrass:Ausgewahlte Kapitel aus der Funktionenlehre[M]Leipzig:BSB B.G.Teubner Verlagsgesellschaft.1988.p.11.
141874年,康托尔发表了实数集不可数的证明。克罗内克强烈批判康托尔连续统假设的证明,这曾一度使得康托尔对自己的工作缺乏信心。
15Josef Naas,Hermann Ludwig Schmid.Mathematisches Worterbuch(Band Ⅱ) Berlin:Akademie-Verlag GMBH,Stuttgart:B.G.Teubner Verlagsgesellschaft,1965.
16Karl Weierstrass.Werke Ⅱ 1895.[M].p.235.
17Karl Weierstrass.Werke Ⅲ 1903.[M].p.335.
2Goursat,E.1900.Sur la définition générale des fonctions analytiques,d'après Cauchy,Transactions of the American Mathematical Society1.1900.pp.14-16.
5在这篇文章之后的注释中,魏尔斯特拉斯提到,他当时写这篇文章时还不知道柯西的工作。
6Peter Ullrich.The Proof of the Laurent Expansion by Weierstrass.In:Eberhard Knobloch and David E.Rowe.The history of modern mathematics.(Volume Ⅲ:Images,ideas,and communities).Academic press:the United States of America,1993.p.139。
1Georg Simon Klügel.Mathematisches Worterbuch oder Erklarung der Begriffe,Lehrsatz,Aufgaben und Methoden der Mathematik mit den nothigen Beweisen und literarischen Nachrichten begleitet.Leipzig:Schwickert.
5Karl Weierstrass.Werke Ⅰ.p.88.
6Disquistiones generals circa seriem infinitam 1+αβ/γ x+α(α+1)β(β+1)/2·γ(γ+1) x~2+…Commentationes Recentiones Societatis Gottingensis,Vol.Ⅱ.
9Karl Weierstrass.Werke Ⅰ.p.158.
4魏尔斯特拉斯称之为notwendig singulare Stellen。
5Karl Weierstrass,Mathematische Werke,(Anhandlung Ⅱ),Reprografischer Nachdruck der Ausgabe Berlin 1895 mit Genehmigung der Akademischen Verlagsgesellschaft,Frankfurt.Printed in West Germany.Herstellung:Anton Hain,Meisenheim/Glan.Georg Olms,Verlagsbuchhandlung Hildesheim,Johnson Reprint Corporation New York.Zur Theorie der Eindeutigen Analytischen Funktion,1876,P.78
18参见魏尔斯特拉斯的《著作全集》第二卷。
19有时也被称为魏尔斯特拉斯定理,但是这个称呼指代广泛,包括很多魏尔斯特拉斯关于函数论的定理。对于这个定理E.Neuenschwander有过研究。
201880b,p.210.Abhandlung Ⅱ.
1Reinhard Siegmund-Schultze.K.Weierstrass:Ausgewahlte Kapitel aus der Funktionenlehre -Vorlesung,gehalten in Berlin 1886,Mit der akademischen Antrittsrede,Berlin 1857,und drei weiteren Originakarbeiten yon K.Weierstrass aus den Jahren 1870 bis 1880/86.[M]Leipzig:BSB B.G.Teubner(-Archive zur Mathematik) Verlagsgesellschaft.1988.下文同一出处简称为Siegmund-Schultze的《函数论选讲》。
2魏尔斯特拉斯使用的是“Gebilde”一词,原义是像、结构、体系,笔者根据魏尔斯特拉斯所指代的意义将其译作“映射”。
3如1956年F.Conforto还出版了《阿贝尔函数和代数几何》(Abelsche Funktionen und algeraische Geometie)一书。Berlin:Springer-Verlag.
4魏尔斯特拉斯从1863-1864年冬季学期就开始讲授“解析函数论”课程,从1872年开始。课程名称改为“解析函数导论”,仍旧每两年循环一次,一直到1884(85)学期结束。最后一次循环课中,即1886年夏季学期,魏尔斯特拉斯上了“函数论”,这一年的课程是魏尔斯特拉斯成熟完善的函数论代表,涵盖了实函数与复函数,本章将以1886的课程讲义为基础展开论述。
5Dugac,P.Eléments d'analyse de Karl Weierstrrass.Archive for History of Exact Sciences 10,1973,pp:41-176.
6如Kopfermann,K的文章:Weierstrβ' Vorlesung zur Funktionentheorie.In:Festschrift zur Gedachtnisfeier für Karl Weierstraβ 1815-1965.pp:75-96.
9从上一章的论述中,已经考查了魏尔斯特拉斯获得所谓的皮卡定理,是独立并先于皮卡得到。因此,在魏尔斯特拉斯的课上讲授的是他本人得出的结果,因而并没有提及皮卡。
10P.Ja.Kocina41:Pisma Karla Vejers trassa k Sof'e Kovalevskoj.Moskva:Nauka 1973.p.133
11摘自施瓦茨的遗著,保存于德意志民主共和国科学院档案馆,转引自:Siegmund-Schultze的《函数论选讲》,p.13.。
12转引自:R.Siegmund-Schultze的《函数论选讲》p.20.
13WAS是Weierstraβscher Approximationssatz的缩写。
14在GG的笔记中,p.133. 一个根。由此推出,n次复系数多项式在复数域内有且只有n个根,重根按重数计算。尽管被命名为“代数基本定理”,迄今尚无纯代数方法的证明,前人的证明是几何、函数和积分的方法。这个定理第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的,但是他是建立在一条还未证明的引理之上;接着,1742年欧拉也给出了一个证明,但有缺陷:拉格朗日于1772年又重新证明,高斯看出了其中的缺陷,运用了还未证明的实数性质,于是,高斯在1799年的博士论文中第一次全面地证明了代数基本定理,魏尔斯特拉斯在课程中引述的是高斯证法。
16即由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根。
17高斯一生中四次证明代数基本定理,分别在1799、1814-1815、1816、1848-1850。魏尔斯特拉斯提到的是高斯第一次在博士论文中的证明。
18魏尔斯特拉斯的用“wertsystem”,笔者将其译作“值系”。
19R.siegmund-schultze.Ausgewaehlte Kapitel aus der Funktionenlehre,p.114.
20这里的“柯西-黎曼微分方程”,达朗贝尔和欧拉已经知道并且一定要一个区域内有效。在柏林大学1884年5月28日的学术讨论班上魏尔斯特拉斯对这个历史做了说明:“柯西已经得到这个方程,并且也知道其几何意义,但是他没有建立这个微分方程。”
21对单演的理解,魏尔斯特拉斯与柯西截然不同,下文中我们将具体分析。
22这个表达的重要性在于,只有可微的复变函数才被看作为“函数”;黎曼对这类函数的观点同样是,满足柯西-黎曼微分方程。
23这里所指显然要追溯到欧拉。关于映射的“共形”1789年第一次出现在F.TH.Schubert的几何工作中。在GG中使用了“共形”一词。
24Reinhard Siegraund-Schultze.p.115.
25魏尔斯特拉斯接下来清楚地描述了从整数概念开始逐步建立解析函数概念的过程,在这个过程中形成了魏尔斯特拉斯函数论的“算术基础”。
29这里显然是指所展开的幂级数的收敛圆直径的上、下极限。
30Reinhard Siegmund-Schultze.p.121.
31Reinhard Siegmund-Schultze.p.121.
31Dieudonné,J.:Geschichte der Mathematik 1700-1900.Berlin:Deutscher Verlag tier Wissenschaften,1985.P.160.
33Biermann,O.:Theorie der anlytischen Funktionen.Leipzig:Teubner-Verlag,1887.
34Konrad Knopp:Funktionentheorie Ⅱ-Anwendungen und Weiterführung der Allgemeinen Theorie.Berlin:sammlung Goschen.1962.P.124.
35R(a)表示以a为圆心的圆域的半径。
36在魏尔斯特拉斯之前的课上就明确了保证延拓圆与原来的圆域有交集,那么延拓圆的半径至少大于原来半径的二分之一。
37Konrad Knopp:Funktionentheorie Ⅱ-Anwendungen und Weiterführung der Allgemeinen Theorie.Berlin:sammlung Goschen.1962.pp:7-8.
38在x=-1这一点处,函数没有幂级数形式,故舍去。
46也就是说,无论奇点是否有限,都不影响由这些奇点构成的连续统。
47参见R.Bolling编辑的魏尔斯特拉斯给柯瓦列夫斯卡娅的原始信件。页数?
48Weyl,H.:Die ldee der Riemannschen Flache.Leipzig u.Berlin:Teubner-Verlag 1913.3.Aufl.Stutgart:Teubner-Verlag 1955.pp:14-15.
49P.144.
50p.114.
51黎曼在1859年被柏林科学院选为通讯院士,受到了柏林数学家们包括魏尔斯特拉斯的衷心祝贺,此后,魏尔斯特拉斯与黎曼保持联系。
52今天我们知道,黎曼面概念一般化对于多变量函数(复流形,最终是复空间)情形是很重要的。而当时缺乏拓扑基础,阻碍了黎曼面的推广。拓扑是20世纪50年代Behnke、Cartan、Serre与代数几何(Grothendieck)概念的平行构造出的产物--1960年H.Grauert成功解决。
1Rolf Nevanlinna.Entwicklung der Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen einer komplexen Veranderlichen seit Weierstrass.In:Festschrift zur Gedachtnisfeier für Karl Weierstrass 1815-1965.pp:97-123.
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6Karl Weierstrass.Einleitung in die Theorien der analytischen Funktionen.Nach den Vorlesungen im S.S.1874ansgearbeitet von G.Hettner.Manuscript in Bibliothek,Mathematisches Institut,Gottingen,1874.P.6.
7Karl Weierstrass.Theorie der analytischen Functionen nach Vorlesungen des Professor Weierstrass.Unpublished manuscript by K.Hensel in Bibliothèque de IRMA Strasbourg.1883.P.1.
8Felix Klein.Ubet Arithmetisierung der Mathematik.Nachrichten der Koniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen 1895.P.83.
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11826年《克雷尔杂志》创办第1期,克雷尔(August Leopold Crelle,1780-1855)创办这个杂志是为了扩充数学的范围,但很快这个杂志就被专业化的数学文章全部占据,因而曾被戏称为“纯粹非应用数学杂志”,从1855年克雷尔去世后,到1880年为止,由Borchardt负责杂志的出版,因此这时期这个杂志也被称为《Borchardt杂志》。
21826年克雷尔(August Leopold Crelle,1780-1855)在创办了德文的《纯粹和应用数学杂志》,为了与之后1836年1月刘维尔(Joseph Liouville,1809-1882)创办的同名法文杂志区分(Journal de Mathématiques Pures et Appliquées),人们分别称为《克雷尔杂志》和《刘维尔杂志》。
3《模函数的展开》是魏尔斯特拉斯按照教师资格要求完成的第一篇论文,他在听了古德曼的模函数的课程后,决定选这个题目做论文,并且得到导师古德曼的指导。这篇文章完成于1840年夏。1840年秋,提交给了考试委员会。魏尔斯特拉斯解决了椭圆函数的表示问题,将椭圆函数展开成两个幂级数的商,他明确指出这里的幂级数是收敛的,此时他意识到级数的收敛性作为基础的重要性。
41770年创立的柏林采矿学院、1799年皇家创建的柏林建筑学院、1821年创立的皇家职业学院,这三个学院在1879年合并为皇家高等技术学校,或被称为夏洛腾堡高等技术学校。1946年柏林高等技术学校(Technischen Hochschule Berlin)升格为大学,同时更名为柏林工业大学(Technische Universitat Berlin)。
8A.J.von Oettingen.J.C.Poggendorff's Biographisch-literarisches Handworterbuch zur Geschichte der Exacten Wissenschaften.Band 3(1858-1883).Leipzig:Verlag von Johann Ambrosius Barth.1883.P:1424.
9Allen G.Debus.Worm who 'who in Science-From Antiquity to the Present.Chicago:Marquis-Who's who Incorporated.1968.P:1772.
1Karl Weierstrass,Mathematische Werke,(Anhandlung Ⅲ).1903.
2这一年,由于魏尔斯特拉斯身体状况不好,休息了一个学期,因此,这一学期的课没有上。
1Reprografischer Nachdruck der Ausgabe Berlin 1894 mit Genehmigung der Akademischen Verlagsgesellschaft,Frankfurt.Printed in West Germany.Herstellung:Anton Hain,Meisenheim/Glan.Georg Olms,Verlagsbuchhandlung Hildesheim,Johnson Reprint Corporation New York.
2Reprografischer Nachdruck der Ausgabe Berlin 1895 mit Genehmigung der Akademischen Verlagsgesellschaft,Frankfurt.Printed in West Germany.Herstellung:Anton Hain,Meisenheim/Glan.Georg Olms,Verlagsbuchhandlung Hildesheim,Johnson Reprint Corporation New York.
3Reprografischer Nachdruck der Ausgabe Berlin 1903 mit Genehmigung der Akademischen Verlagsgesellschaft,Frankfurt.Printed in West Germany.Herstellung:Anton Hain,Meisenheim/Glan.Georg Olms,Verlagsbuchhandlung Hildesheim,Johnson Reprint Corporation New York.
4Reprografischer Nachdruck der Ausgabe Berlin 1902 mit Genehmigung der Akademischen Verlagsgeselischaft,Frankfurt.Printed in West Germany.Herstellung:Anton Hain,Meisenheim/Glan.Georg Olms,Verlagsbuchhandlung Hildesheim,Johnson Reprint Corporation New York.
5Rudolf Rothe.Reprografischer Nachdruck der Ausgabe Berlin 1915 mit Genehmigung der Akademischen Verlagsgesellschatft,Frankfurt.Printed in West Germany.Herstellung:Anton Hain,Meisenheim/Glan.Georg Olms,Verlagsbuchhandlung Hildesheim,Johnson Reprint Corporation New York.
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13 R.Siegmund-Schultze.K.Weierstrass:Ausgew(a|¨)hlte Kapitel aus der Funktionerdehre-Vorlesung,gehalten in Berlin 1886,Mit der akademischen Antrittsrede,Berlin 1857,und drei weiteren Originakarbeiten von K.Weierstrass aus den Jahren 1870 bis 1880/86.[M]Leipzig:BSB B.G.Teubner(-Archive zur Mathematik) Verlagsgesellschaft.1988.
[1]Présenté par A.P.Youschkevitch.Pierre Dugac.Eléments danalyse de Karl Weierstrass.Archive for History of Exact Sciences[J].Vol.10,1973.pp.41- 176.
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[1]如Schwarz、Pincherle等作的笔记。
[1]这篇文章和前面提到的1876年《单值解析函数理论》文章在1886年统一编辑为《函数论》,按照文中先后顺序,包括:1.1876《单值解析函数理论》1-52页;2.1880《关于米塔-列夫勒的一个函数定理》53-66页;3.1880《函数论》67-104页;3.1879《多变量解析函数论的几个相关定理》105-164页;4.1876《多变量周期函数理论主要定理的新证明》165-182页。
1 Umberto Bottazzini,Theorie der Komplexen Funktionen,1780-1900..Hans Niels Jahnke(Hrsg.).Geschichte der Analysis.Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg:Berlin.pp:267-327
2 1752年达朗贝尔在他的流体力学论文《对流体阻力的一个新理论的论述》(Essay on a New Theory of the Residence of Fluids)中,考虑一个物体经过各向同性、无重量理想流体的运动,联系这一研究时得到现在所谓的柯西-黎曼方程。
3 Euler,L.Vollst(a|¨)dige Anleitung zur Algebra.St.Petersburg:Kaiserliche Akademie der Wissenschaften,oder in:Opera omnia,p.143.
4Edited by A.N.Kolmogorov,A.P.Yushkevich.Translated from the Russian by Roger Cooke.Mathematics of the 19~(th)Century.Birkhause Verlag,Basel Boston Berlin.183-189.
5达朗贝尔在他的流体力学论文《试论流体阻力的一个新理论》中讨论的。
6从1776年起到1783年逝世时止,欧拉写了一系列论文其中有两篇是在1793年和1797年发表的,涉及利用复函数计算实积分。
7从1782年到1812年发表他的名著《概率分析理论》(Théorie analytique des probabilités)为止的一系列论文中讨论了这些问题。其中拉普拉斯附带引进了我们现在称为解微分方程的拉普拉斯变换。虽然欧拉的相关讨论发表时间上比拉普拉斯晚,但是工作的完成要先于后者。
8Laplace.Théorie analytique des probabilités.1812.转引自Morris Klein.Mathematical Thought from Ancient to Modern Times.Ⅲ.New York:Oxford University Press.1972.P.4.
9张光远,近现代数学发展概论。重庆出版社,1991,12。PP:164-195.
10Cauchy,A.L.1814/1827.Mémoire sur les intégrales définies.Mémoires presents a l'Academie Royale des Sciences par divers savans.In:Oeuvres,p.329.
11即勒让德的著作《Exercises de calcul intégral(1811-1817)》
12后来黎曼在1846年在复变量方程W=f(z)=P(x,y)+iQ(x,y)中,其中P(x,y),Q(x,y)是关于实变量x,y的两个实函数,z=x+iy,以比较dW/dz=dy/dx为出发点,得到当且仅当dW/dz之值与dz无关时,W为解析函数。从而独立地得到所谓柯西-黎曼微分方程。
13论文的题目是《关于方向的分析表示的尝试》。
14阿尔冈发表的这篇论文为《试论几何作图中虚量的表示法》(Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques)
15Gottingische gelehrte Anzeigen,1831,4,23.转引自M.Kline,Ⅲ.p.7
16Victor J.Katz.A History of Mathematics:An Introduction.1998.P.573.
17Eric Temple Bell,The Development of Mathematics.New York:McGraw-Hill,1940.p.268.
18Florian Cajori.A History of Mathematics.New York:Macmillan and co.,1894.p.335.
19Karl Friedrich Hindenburg,Infinitinomii dignitatum indeterminarum leges ac formulae.Gottingen,1778,enlarged edition,1779.
20Karl Friedrich Hindenburg,Novi systematis permutationum,combinationum ac variationum primae llineae et Iogisticae serierum.Leipzig,1781,pp.4-7.(前言)
21Hindenburg,Novi systematis…pp.4-15.
25Scherk,Mathematische Abhandlungen,pp.94-95.
26Johann Friedrich Pfaff,"Analysis einer wichtigen Aufgabe des Herrn de la Grange",Archive der reinen und angewandte Mathematik,ed.by K.F.Hindenburg.Leipzig,1795,1.pp.81-92.
27Johann Friedrich Pfaff,Disquisitiones analyticae maxime ad calculum integralem et doctrinam serierum peertinentes.Helmsedt,1797.
28Ernst Gottfried Fischer,Thoerie der Dimensionszeichen nebst ihrer Anwendung auf verschiedene Materien aus der Analysis endlicher Grossen,2vols.;Halle,1792.
29Georg Simon Klügel,Mathematisches Worterbuch oder Erklarung der Begriffe,Lehrsatze,Aufgaben und Methoden der Mathematik,Leipzig,1802,1,p.907.
30Heinrich August Topfer,Combinatorische Analysis und Theorie der Dimensionszeichen in Parallele gestellt,Leipzig,1793.
31Ferdinand Schweins,Analysis,Heidelberg,1820,pp.27-32.
32Gudermann,6,1830,pp.369-373.
33Karlheinz Haas,“Hindenburg,Carl Friedrich”,Dictionary of Scientific Biography.New York:Charles Scribner's Sons.1972.6,p.403.
34双曲函数类似于常见的三角函数,基本的双曲函数为双曲正弦sinh、双曲余弦cosh、双曲正切tanh等。sinh=e~x-e~(-x)/2,cosh=e~x+e~(-x)/2。在古德曼的著作中基本双曲函数的记法为:Sin,Cos,Tan(将三角函数的第一个字母大写即可)。
35Gudermann,6,1830.p.22.
36在他的书中Practica geometriae(1220),Leonardo of Pisa(c.1170-1250)开始这个序列使得每一项都是前面两项的和。由此他建立了一个递推关系:a_(r+1)=a_r+a_(r-1)。只要具有这样关系的序列就称之为斐波那契序列并且直到今天还在引发许多数学讨论。
37圆函数即“三角函数”,因最初三角函数的研究长期在圆内进行,由此而得名,是正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的总称。
38椭圆函数是一种双周期函数(一个实周期和一个虚周期)
39Jacobi.Fundamenta nova theoriae functionum
40Abel.Recherches sur les functions elliptiques.1827.
41Kline,Mathematical Thought …,pp.488-489.
42时任哥尼斯堡天文台台长。
43魏尔斯特拉斯在他的著作中也利用了高斯的这一结果。
44Guass,Werke,3,pp.207-230.
45C.F.Guass,Commentationes societatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores,2,1813,Werke,3.pp.123-162.
46Kline,Mathematical Thought …,pp.526-531.
47大约古德曼著作之后的半个世纪后,德国数学家Georg Frobenius(1849-1917)构建了一般理论关于这种解法和确定级数系数的方法。见Georg Frobenius,“über die Integration clef linearen Differentialgleichungen durch Reihen”,Journal für die reine und angewandte Mathematik,76,1873.pp.214-235;Gesammelte Abhandlungen,1.pp.84-105.
48在Birgit Petri和Norbert Schappacher的文章中(“On Arithmetization”)指出“算术化”这一词在20世纪30年代出现的含义:哥德尔形式化理论以及Oscar Zariski描述他重写由Wolfgang Krull的理想与值的“算术”理论启发的代数几何。在每个介绍19世纪数学史中都会或多或少关于算术化的叙述,同时也有很多专门研究文章:从早期1898年Alfred Pringsheim(Irrationalzahlen und Konvergenz unendlicher Prozesse)、1909年Jules Molk(Nombres irrationnel et notion de limite)发表在百科全书中的文章到专门研究如1976年Pierre Dugac的“Richard Dcdekind et les fondements des mathématieucs”、1981年Michael Otte和Hans Niels Jahnke的“Origins of the program of‘arithmetization of mathematies”、1999年Moritz Epple的“Das Ende der Groβenlehre:Grundlagen der Analysis 1860-1910”、2002年Jacoueline Boniface的“Les constructions des nombres réels dans Ie movement d'arithmétisation de l'analyse”等等都是关于这一主题的详细介绍。
49Felix Klein.Uber Arithmetisierung der Mathematik.Nachrichten der Koniglichcn Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen.Geschaftliche Mitteilung.1895.pp.82-91
50同Felix Klein,1895。
51M.Hallet,U.Majer.David Hilber's Lectures on the Foundations of Geometry 1891-1902.Berlin,Heidelberg:Springer.2004.P.436.
52David Hilbert.Die Theorie der algebraischen Zahlkorper.Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 4.1897.pp.177-546.
53同Hilbert 1897.
54Karl Weierstrass.Zur Funktionenlehre,Werke Bd.Ⅱ,pp:201-212.
55Vorlesung im SS 1880.(1880年夏季学期的课程中说到)
1Reinhard Bolling.Das Fatoalbum für Weierstraβ.Friedr.Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH,Braunschweig/Wiesbaden,1994.
2C.C.(Charles Coulston ) Gillispie.Dictionary of Scientific Biography.Kurt-R.Biermann."Weierstrass,Karl Theodor Wilhelm",New York:Scribner,1970.p.219.
3G.Mittag-Leffler.Die ersten 40 Jahre des Lebens yon Weierstrass.Vortrag,gehalten auf dem 4.skandinavischen Mathematiker-Kongreβ in Stockholm(30.August- 2.September 1916).Acta Mathematica,39.1923.1-57.
4N.H.Abel,Mémorial(1902),p.108.
5G.Mittag-Leffler.Die ersten 40 Jahre des Lebens yon Weierstrass.
61836年1月法国数学家刘维尔创办了法文版《纯粹与应用数学杂志》。
71826年克雷尔创办了德文版《纯粹与应用数学杂志》,为与其后刘维尔的同名杂志区分,则分别称为《克雷尔杂志》与《刘维尔杂志》。1855年克雷尔去世后,到1880年,这期间杂志都是由Borchardt负责,也有人称这一时期的杂志为《博尔夏特杂志》。
8Reinhard Bolling.Das Fatoalbum für Weierstraβ.[M]Friedr.Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH,Braunschweig/Wiesbaden,1994.p.8
9同上。p.5.
10Felix Klein.Uber Arithmetisierung der Mathematik.Nachrichten der Koniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen[J].Geschaftliche Mitteilung.p.84.
11Reinhard Bolling.Karl Weierstrass:Briefwechsel zwischen Karl Weierstrass und Sofja Kowalewskaja.[M].Berlin:Akademie Verlag.1993.p.95.
12这两位数学家之间的矛盾仔细追究起来难免令人遗憾。1841年克罗内克进入柏林大学学习,当时学校有狄利克雷、雅可比和施坦纳,受雅可比的影响,椭圆函数论成为克罗内克的兴趣中心,他得到一些重要的关于椭圆函数的结果,此外,他的研究中体现出深刻的代数思想,试图从代数学到分析算术化,一切最根本的研究结果最终必须可以用整数性质的形式表达,这个原则既是直觉主义的信念同时也是构造性研究的起点。对比之下,不仅魏尔斯特拉斯的研究兴趣也在椭圆函数论上,而且他也强调算术化是任何理论的基础,二人的数学观有很大的相似性,然而他们之间僵持的关系导致他们完全屏蔽对方的研究,也不得不说是一件憾事。
13R.Siegmund-Schultze.K.Weierstrass:Ausgewahlte Kapitel aus der Funktionenlehre[M]Leipzig:BSB B.G.Teubner Verlagsgesellschaft.1988.p.11.
141874年,康托尔发表了实数集不可数的证明。克罗内克强烈批判康托尔连续统假设的证明,这曾一度使得康托尔对自己的工作缺乏信心。
15Josef Naas,Hermann Ludwig Schmid.Mathematisches Worterbuch(Band Ⅱ) Berlin:Akademie-Verlag GMBH,Stuttgart:B.G.Teubner Verlagsgesellschaft,1965.
16Karl Weierstrass.Werke Ⅱ 1895.[M].p.235.
17Karl Weierstrass.Werke Ⅲ 1903.[M].p.335.
2Goursat,E.1900.Sur la définition générale des fonctions analytiques,d'après Cauchy,Transactions of the American Mathematical Society1.1900.pp.14-16.
5在这篇文章之后的注释中,魏尔斯特拉斯提到,他当时写这篇文章时还不知道柯西的工作。
6Peter Ullrich.The Proof of the Laurent Expansion by Weierstrass.In:Eberhard Knobloch and David E.Rowe.The history of modern mathematics.(Volume Ⅲ:Images,ideas,and communities).Academic press:the United States of America,1993.p.139。
1Georg Simon Klügel.Mathematisches Worterbuch oder Erklarung der Begriffe,Lehrsatz,Aufgaben und Methoden der Mathematik mit den nothigen Beweisen und literarischen Nachrichten begleitet.Leipzig:Schwickert.
5Karl Weierstrass.Werke Ⅰ.p.88.
6Disquistiones generals circa seriem infinitam 1+αβ/γ x+α(α+1)β(β+1)/2·γ(γ+1) x~2+…Commentationes Recentiones Societatis Gottingensis,Vol.Ⅱ.
9Karl Weierstrass.Werke Ⅰ.p.158.
4魏尔斯特拉斯称之为notwendig singulare Stellen。
5Karl Weierstrass,Mathematische Werke,(Anhandlung Ⅱ),Reprografischer Nachdruck der Ausgabe Berlin 1895 mit Genehmigung der Akademischen Verlagsgesellschaft,Frankfurt.Printed in West Germany.Herstellung:Anton Hain,Meisenheim/Glan.Georg Olms,Verlagsbuchhandlung Hildesheim,Johnson Reprint Corporation New York.Zur Theorie der Eindeutigen Analytischen Funktion,1876,P.78
18参见魏尔斯特拉斯的《著作全集》第二卷。
19有时也被称为魏尔斯特拉斯定理,但是这个称呼指代广泛,包括很多魏尔斯特拉斯关于函数论的定理。对于这个定理E.Neuenschwander有过研究。
201880b,p.210.Abhandlung Ⅱ.
1Reinhard Siegmund-Schultze.K.Weierstrass:Ausgewahlte Kapitel aus der Funktionenlehre -Vorlesung,gehalten in Berlin 1886,Mit der akademischen Antrittsrede,Berlin 1857,und drei weiteren Originakarbeiten yon K.Weierstrass aus den Jahren 1870 bis 1880/86.[M]Leipzig:BSB B.G.Teubner(-Archive zur Mathematik) Verlagsgesellschaft.1988.下文同一出处简称为Siegmund-Schultze的《函数论选讲》。
2魏尔斯特拉斯使用的是“Gebilde”一词,原义是像、结构、体系,笔者根据魏尔斯特拉斯所指代的意义将其译作“映射”。
3如1956年F.Conforto还出版了《阿贝尔函数和代数几何》(Abelsche Funktionen und algeraische Geometie)一书。Berlin:Springer-Verlag.
4魏尔斯特拉斯从1863-1864年冬季学期就开始讲授“解析函数论”课程,从1872年开始。课程名称改为“解析函数导论”,仍旧每两年循环一次,一直到1884(85)学期结束。最后一次循环课中,即1886年夏季学期,魏尔斯特拉斯上了“函数论”,这一年的课程是魏尔斯特拉斯成熟完善的函数论代表,涵盖了实函数与复函数,本章将以1886的课程讲义为基础展开论述。
5Dugac,P.Eléments d'analyse de Karl Weierstrrass.Archive for History of Exact Sciences 10,1973,pp:41-176.
6如Kopfermann,K的文章:Weierstrβ' Vorlesung zur Funktionentheorie.In:Festschrift zur Gedachtnisfeier für Karl Weierstraβ 1815-1965.pp:75-96.
9从上一章的论述中,已经考查了魏尔斯特拉斯获得所谓的皮卡定理,是独立并先于皮卡得到。因此,在魏尔斯特拉斯的课上讲授的是他本人得出的结果,因而并没有提及皮卡。
10P.Ja.Kocina41:Pisma Karla Vejers trassa k Sof'e Kovalevskoj.Moskva:Nauka 1973.p.133
11摘自施瓦茨的遗著,保存于德意志民主共和国科学院档案馆,转引自:Siegmund-Schultze的《函数论选讲》,p.13.。
12转引自:R.Siegmund-Schultze的《函数论选讲》p.20.
13WAS是Weierstraβscher Approximationssatz的缩写。
14在GG的笔记中,p.133. 一个根。由此推出,n次复系数多项式在复数域内有且只有n个根,重根按重数计算。尽管被命名为“代数基本定理”,迄今尚无纯代数方法的证明,前人的证明是几何、函数和积分的方法。这个定理第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的,但是他是建立在一条还未证明的引理之上;接着,1742年欧拉也给出了一个证明,但有缺陷:拉格朗日于1772年又重新证明,高斯看出了其中的缺陷,运用了还未证明的实数性质,于是,高斯在1799年的博士论文中第一次全面地证明了代数基本定理,魏尔斯特拉斯在课程中引述的是高斯证法。
16即由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根。
17高斯一生中四次证明代数基本定理,分别在1799、1814-1815、1816、1848-1850。魏尔斯特拉斯提到的是高斯第一次在博士论文中的证明。
18魏尔斯特拉斯的用“wertsystem”,笔者将其译作“值系”。
19R.siegmund-schultze.Ausgewaehlte Kapitel aus der Funktionenlehre,p.114.
20这里的“柯西-黎曼微分方程”,达朗贝尔和欧拉已经知道并且一定要一个区域内有效。在柏林大学1884年5月28日的学术讨论班上魏尔斯特拉斯对这个历史做了说明:“柯西已经得到这个方程,并且也知道其几何意义,但是他没有建立这个微分方程。”
21对单演的理解,魏尔斯特拉斯与柯西截然不同,下文中我们将具体分析。
22这个表达的重要性在于,只有可微的复变函数才被看作为“函数”;黎曼对这类函数的观点同样是,满足柯西-黎曼微分方程。
23这里所指显然要追溯到欧拉。关于映射的“共形”1789年第一次出现在F.TH.Schubert的几何工作中。在GG中使用了“共形”一词。
24Reinhard Siegraund-Schultze.p.115.
25魏尔斯特拉斯接下来清楚地描述了从整数概念开始逐步建立解析函数概念的过程,在这个过程中形成了魏尔斯特拉斯函数论的“算术基础”。
29这里显然是指所展开的幂级数的收敛圆直径的上、下极限。
30Reinhard Siegmund-Schultze.p.121.
31Reinhard Siegmund-Schultze.p.121.
31Dieudonné,J.:Geschichte der Mathematik 1700-1900.Berlin:Deutscher Verlag tier Wissenschaften,1985.P.160.
33Biermann,O.:Theorie der anlytischen Funktionen.Leipzig:Teubner-Verlag,1887.
34Konrad Knopp:Funktionentheorie Ⅱ-Anwendungen und Weiterführung der Allgemeinen Theorie.Berlin:sammlung Goschen.1962.P.124.
35R(a)表示以a为圆心的圆域的半径。
36在魏尔斯特拉斯之前的课上就明确了保证延拓圆与原来的圆域有交集,那么延拓圆的半径至少大于原来半径的二分之一。
37Konrad Knopp:Funktionentheorie Ⅱ-Anwendungen und Weiterführung der Allgemeinen Theorie.Berlin:sammlung Goschen.1962.pp:7-8.
38在x=-1这一点处,函数没有幂级数形式,故舍去。
46也就是说,无论奇点是否有限,都不影响由这些奇点构成的连续统。
47参见R.Bolling编辑的魏尔斯特拉斯给柯瓦列夫斯卡娅的原始信件。页数?
48Weyl,H.:Die ldee der Riemannschen Flache.Leipzig u.Berlin:Teubner-Verlag 1913.3.Aufl.Stutgart:Teubner-Verlag 1955.pp:14-15.
49P.144.
50p.114.
51黎曼在1859年被柏林科学院选为通讯院士,受到了柏林数学家们包括魏尔斯特拉斯的衷心祝贺,此后,魏尔斯特拉斯与黎曼保持联系。
52今天我们知道,黎曼面概念一般化对于多变量函数(复流形,最终是复空间)情形是很重要的。而当时缺乏拓扑基础,阻碍了黎曼面的推广。拓扑是20世纪50年代Behnke、Cartan、Serre与代数几何(Grothendieck)概念的平行构造出的产物--1960年H.Grauert成功解决。
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11826年《克雷尔杂志》创办第1期,克雷尔(August Leopold Crelle,1780-1855)创办这个杂志是为了扩充数学的范围,但很快这个杂志就被专业化的数学文章全部占据,因而曾被戏称为“纯粹非应用数学杂志”,从1855年克雷尔去世后,到1880年为止,由Borchardt负责杂志的出版,因此这时期这个杂志也被称为《Borchardt杂志》。
21826年克雷尔(August Leopold Crelle,1780-1855)在创办了德文的《纯粹和应用数学杂志》,为了与之后1836年1月刘维尔(Joseph Liouville,1809-1882)创办的同名法文杂志区分(Journal de Mathématiques Pures et Appliquées),人们分别称为《克雷尔杂志》和《刘维尔杂志》。
3《模函数的展开》是魏尔斯特拉斯按照教师资格要求完成的第一篇论文,他在听了古德曼的模函数的课程后,决定选这个题目做论文,并且得到导师古德曼的指导。这篇文章完成于1840年夏。1840年秋,提交给了考试委员会。魏尔斯特拉斯解决了椭圆函数的表示问题,将椭圆函数展开成两个幂级数的商,他明确指出这里的幂级数是收敛的,此时他意识到级数的收敛性作为基础的重要性。
41770年创立的柏林采矿学院、1799年皇家创建的柏林建筑学院、1821年创立的皇家职业学院,这三个学院在1879年合并为皇家高等技术学校,或被称为夏洛腾堡高等技术学校。1946年柏林高等技术学校(Technischen Hochschule Berlin)升格为大学,同时更名为柏林工业大学(Technische Universitat Berlin)。
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1Karl Weierstrass,Mathematische Werke,(Anhandlung Ⅲ).1903.
2这一年,由于魏尔斯特拉斯身体状况不好,休息了一个学期,因此,这一学期的课没有上。
1Reprografischer Nachdruck der Ausgabe Berlin 1894 mit Genehmigung der Akademischen Verlagsgesellschaft,Frankfurt.Printed in West Germany.Herstellung:Anton Hain,Meisenheim/Glan.Georg Olms,Verlagsbuchhandlung Hildesheim,Johnson Reprint Corporation New York.
2Reprografischer Nachdruck der Ausgabe Berlin 1895 mit Genehmigung der Akademischen Verlagsgesellschaft,Frankfurt.Printed in West Germany.Herstellung:Anton Hain,Meisenheim/Glan.Georg Olms,Verlagsbuchhandlung Hildesheim,Johnson Reprint Corporation New York.
3Reprografischer Nachdruck der Ausgabe Berlin 1903 mit Genehmigung der Akademischen Verlagsgesellschaft,Frankfurt.Printed in West Germany.Herstellung:Anton Hain,Meisenheim/Glan.Georg Olms,Verlagsbuchhandlung Hildesheim,Johnson Reprint Corporation New York.
4Reprografischer Nachdruck der Ausgabe Berlin 1902 mit Genehmigung der Akademischen Verlagsgeselischaft,Frankfurt.Printed in West Germany.Herstellung:Anton Hain,Meisenheim/Glan.Georg Olms,Verlagsbuchhandlung Hildesheim,Johnson Reprint Corporation New York.
5Rudolf Rothe.Reprografischer Nachdruck der Ausgabe Berlin 1915 mit Genehmigung der Akademischen Verlagsgesellschatft,Frankfurt.Printed in West Germany.Herstellung:Anton Hain,Meisenheim/Glan.Georg Olms,Verlagsbuchhandlung Hildesheim,Johnson Reprint Corporation New York.