辛矩阵特征值的辛SL求解方法的研究
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摘要
大型辛矩阵特征值的计算在子结构链的动(静)力分析中十分重要,在离散时间最优控制大系统分析及金融数学中都有重要应用。在保证Hamilton结构始终不变的原则下来求解Hamilton矩阵的特征值是保证计算结果正确的最有效方式。常用的求解特征值的数值解法,只考虑数值精度,不考虑保证结构不变。
保守体系有辛规律,Hamilton体系是保守体系,因此有必要探讨应用辛算法来计算各类Hamilton系统中的矩阵特征值。求解方式是多种多样的。VanLoan提出的平方约化法,保持了Hamilton结构,克服了常用的QR算法不能恰好保证每个半平面上都能求得n个特征值的缺陷。Benner提出了一个求解大型矩阵特征值问题的Lanczos方法,钟万勰建立了求解哈密尔顿矩阵特征值的共轭辛子空间逆迭代法和大型辛矩阵特征问题的逆迭代法。Bunse提出了求解实系数的Riccati方程的辛QR算法。本文的创新工作正是基于上述工作展开的。
文中第1-2章是学术背景研究。第1章系统地介绍了Hamilton体系,并研究了Hamilton矩阵与辛矩阵的特性。第2章则介绍了矩阵特征值的常用数值计算方法。文中第3-4章主要是作者取得的一系列的创新成果,包括:从理论上建立了辛SL算法,分析了有效性和收敛性,以及如何用辛SL算法求解辛矩阵特征值。数值计算结果令人满意。文中的创新成果主要有:
①就三种特殊形式的辛矩阵,建立了相应的求解特征值的算法。
②针对上述三种矩阵,还建立了矩阵特征值的SL求解算法,并证明了算法的收敛性。
③就反Hamilton矩阵,证明了也能应用SL算法有效求解特征值。
本文的第5章,是作者按照“上海交通大学数学系硕士研究生毕业要求”的条例完成的,是在阅读、理解大量科技文献之后经思考提炼而撰写的综合报告。主要综述了辛算法在弹性力学、波动方程以及DNA弹性杆力学分析中的应用及隐式辛算法的稳定性分析。将不同背景下的实际问题转化为Hamilton系统,选取合适的辛差分格式求解。数值算例表明:Hamilton系统的辛算法数值解是十分可靠的,数值结果是收敛的。
The calculation of the large symplectic matrix eigenvalue is very important to analyze the dynamic (static) force in sub-structural chain , it is also used in optimal control of large-scale systems in discrete-time as well as financial mathematics. The most effective way to make the answer correct is ensuring the Hamilton structure remains unchanged during the calculation process. The common numerical methods for solving eigenvalue, only consider the numerical accuracy, without ensuring the structure unchanged.
A conservative system should be symplectic conservative. Hamilton system is a conservative system, so it is necessary to use symplectic algorithm to solve the Hamiltonian matrix eigenvalue or symplectic matrix eigenvalue. There are many varieties of solutions. VanLoan's square reduced method maintains the structure of the Hamilton, and overcomes the defect of common QR algorithm and guarantees every half-plane can obtain n eigenvalues. Benner proposed a Lanczos method to solve the large matrix eigenvalue, Wanxie Zhong established a subspace-conjugate-inverse-iteration-method to solve the Hamiltonian matrix eigenvalue, and a inverse-iteration-method to solve the large symplectic matrix eigenvalue. Bunse proposed a symplectic QR algorithm to solve the Riccati equation with real coefficients.
The chapters 1-2 in the text are academic background. The chapter 1 introduces the Hamilton system and the features of the Hamiltonian matrix and symplectic matrix. Chapter 2 describes the common numerical methods. The chapters 3-4 are a series of innovations achieved by author, including: the establishment of the symplectic SL algorithm , analyzing the effectiveness and convergence, and how to use symplectic SL algorithm to solve the symplectic matrix eigenvalue. The numerical results are satisfied.
The innovations of the text are:
①Propose three special symplectic matrices, then establish three corresponding eigenvalue algorithm.
②For the three matrices, establish the symplectic SL algorithm, and prove the convergence of the algorithm.
③Prove that the symplectic SL algorithm is effective to solve symplectic matrix eigenvalue.
The chapter 5 are mainly defer to "Shanghaijiaotong University math department master the graduate sutdent to raise the rule "to complete. After reading and understanding massive science and technology literature the general report which after the ponder the refinement completes. It summary the applications of symplectic algorithm in elasticity, wave equation, the DNA elastic rod, and analyze the stability of the implicit symplectic algorithm. Transform different practical problems into Hamilton system, and select the appropriate symplectic difference scheme to solve. The numerical examples show: the symplectic numerical solutions of the Hamilton system are very reliable, numerical results are convergent.
保守体系有辛规律,Hamilton体系是保守体系,因此有必要探讨应用辛算法来计算各类Hamilton系统中的矩阵特征值。求解方式是多种多样的。VanLoan提出的平方约化法,保持了Hamilton结构,克服了常用的QR算法不能恰好保证每个半平面上都能求得n个特征值的缺陷。Benner提出了一个求解大型矩阵特征值问题的Lanczos方法,钟万勰建立了求解哈密尔顿矩阵特征值的共轭辛子空间逆迭代法和大型辛矩阵特征问题的逆迭代法。Bunse提出了求解实系数的Riccati方程的辛QR算法。本文的创新工作正是基于上述工作展开的。
文中第1-2章是学术背景研究。第1章系统地介绍了Hamilton体系,并研究了Hamilton矩阵与辛矩阵的特性。第2章则介绍了矩阵特征值的常用数值计算方法。文中第3-4章主要是作者取得的一系列的创新成果,包括:从理论上建立了辛SL算法,分析了有效性和收敛性,以及如何用辛SL算法求解辛矩阵特征值。数值计算结果令人满意。文中的创新成果主要有:
①就三种特殊形式的辛矩阵,建立了相应的求解特征值的算法。
②针对上述三种矩阵,还建立了矩阵特征值的SL求解算法,并证明了算法的收敛性。
③就反Hamilton矩阵,证明了也能应用SL算法有效求解特征值。
本文的第5章,是作者按照“上海交通大学数学系硕士研究生毕业要求”的条例完成的,是在阅读、理解大量科技文献之后经思考提炼而撰写的综合报告。主要综述了辛算法在弹性力学、波动方程以及DNA弹性杆力学分析中的应用及隐式辛算法的稳定性分析。将不同背景下的实际问题转化为Hamilton系统,选取合适的辛差分格式求解。数值算例表明:Hamilton系统的辛算法数值解是十分可靠的,数值结果是收敛的。
The calculation of the large symplectic matrix eigenvalue is very important to analyze the dynamic (static) force in sub-structural chain , it is also used in optimal control of large-scale systems in discrete-time as well as financial mathematics. The most effective way to make the answer correct is ensuring the Hamilton structure remains unchanged during the calculation process. The common numerical methods for solving eigenvalue, only consider the numerical accuracy, without ensuring the structure unchanged.
A conservative system should be symplectic conservative. Hamilton system is a conservative system, so it is necessary to use symplectic algorithm to solve the Hamiltonian matrix eigenvalue or symplectic matrix eigenvalue. There are many varieties of solutions. VanLoan's square reduced method maintains the structure of the Hamilton, and overcomes the defect of common QR algorithm and guarantees every half-plane can obtain n eigenvalues. Benner proposed a Lanczos method to solve the large matrix eigenvalue, Wanxie Zhong established a subspace-conjugate-inverse-iteration-method to solve the Hamiltonian matrix eigenvalue, and a inverse-iteration-method to solve the large symplectic matrix eigenvalue. Bunse proposed a symplectic QR algorithm to solve the Riccati equation with real coefficients.
The chapters 1-2 in the text are academic background. The chapter 1 introduces the Hamilton system and the features of the Hamiltonian matrix and symplectic matrix. Chapter 2 describes the common numerical methods. The chapters 3-4 are a series of innovations achieved by author, including: the establishment of the symplectic SL algorithm , analyzing the effectiveness and convergence, and how to use symplectic SL algorithm to solve the symplectic matrix eigenvalue. The numerical results are satisfied.
The innovations of the text are:
①Propose three special symplectic matrices, then establish three corresponding eigenvalue algorithm.
②For the three matrices, establish the symplectic SL algorithm, and prove the convergence of the algorithm.
③Prove that the symplectic SL algorithm is effective to solve symplectic matrix eigenvalue.
The chapter 5 are mainly defer to "Shanghaijiaotong University math department master the graduate sutdent to raise the rule "to complete. After reading and understanding massive science and technology literature the general report which after the ponder the refinement completes. It summary the applications of symplectic algorithm in elasticity, wave equation, the DNA elastic rod, and analyze the stability of the implicit symplectic algorithm. Transform different practical problems into Hamilton system, and select the appropriate symplectic difference scheme to solve. The numerical examples show: the symplectic numerical solutions of the Hamilton system are very reliable, numerical results are convergent.
引文
[01]丁克伟Hamiltonian矩阵平方约化求解特征问题的辛算法安徽理工大学学报,2005,(2):24～28
[02]丁克伟测试Hamiltonian矩阵结构问题的辛算法合肥工业大学学报,2006,29(2):189——192
[03]丁克伟哈密尔顿矩阵特征谱问题的辛算法合肥工业大学学报(自然科学版),2000,25(3):336——340
[04]钟万勰大型辛矩阵本征问题的逆迭代法计算结构力学及其应用,1992,19(3);227--238
[05]张光辉等DNA弹性杆力学分析的保结构算法和图形后处理青岛大学学报,2007(,2):10～14
[06]吴洪涛等采用辛算法提高多体系统动力学的计算精度天津大学学报,1994,27(6):722——723
[07]钟万勰结构动力方程的精细时序积分法大连理工大学学报, 1994, (4): 131～136
[08]钟万勰.电磁波导的辛体系大连理工大学学报.,2001, 41(4) :379-387
[09]钟万勰蔡志勤线性二次型最优控制状态向量的精细积分法大连理工大学学报,1999,39(3):464——465
[10]钟万勰孙雁小参数摄动法与保辛动力学和控制学报,2005,3(1):01——06
[11]钟万勰姚征时间有限元与保辛机械强度,2005 ,27(2):1 78-183
[12]谭述君钟万勰变系数微分Riccati方程的保辛摄动近似求解大连理工大学学报,2006,46(增刊):07——13
[13]谭述君钟万勰线性时变系统二次最优控制问题的保辛近似求解应用数学和力学2007,28(3):253——262
[14]吴志刚钟万勰跟踪问题最优控制律精细积分航空学报,2001,22(2):113——116
[15]刘福窑等几类辛方法的数值稳定性研究天文学报,2006,(4):418～431
[16]钟万勰对一般Ham ilton体系近似解保辛条件的讨论计算力学学报,2005,22(5)
[17]钟万勰对一般Hamilton体系近似解保辛条件的讨论计算力学学报,2005, 22(5)
[18]罗恩等Hamilton弹性动力学及其辛算法中山大学学报,2003,(5):131～132
[19]罗恩等相空间非传统Hamilton型变分原理与辛算法中国科学(A辑),2OO2,32(2):1119～1126
[20]汤琼等Hamilton系统的连续有限元法应用数学和力学,2007,28(8)
[21]李延欣等A2B模型分子经典轨迹的辛算法计算高等学校化学学报,1995, 5(8):1181-1186
[22]季江微等辛差分格式的守恒量及其稳定性计算物理,1997,14(1):68-74
[23]王玲书等Hamilton系统辛算法的Nekhoroshev稳定性分析军械工程学院学报,2008,20(3):70——75
[24]杨远玲等N体问题的几种数值算法比较计算物理,2006,23(5):599——603
[25]钟万勰等WKBJ近似保辛吗?计算力学学报,2005,22(3):01——07
[26]蒋长锦波动方程辛算法的迭代求解计算物理,2002,19(1):13——16
[27]刘淼等薄板动力学相空间非传统Hamilton变分原理与辛算法固体力学学报,2007,28(2):207——211
[28]钟万勰周期电磁波导的能带辛分析计算力学学报,2001, 18 (4) :380——387
[29]钟万勰矩阵黎卡提方程的精细积分法计算结构力学及其应用,1994, (5): 113～118
[30]钟万勰短波近似的保辛算法计算力学学报,2008,(1):01～07
[31]闫庆友等计算Hamilton矩阵特征值的一个稳定的有效的保结构的算法应用数学和力学,2002,23(11):1 150—1 168
[32]邢誉峰等单步辛算法的相位误差分析及修正力学学报,2007,39(5):668——671
[33]邢誉峰等动力学平衡方程的Euler中点辛差分求解格式力学学报,2007,39(1):l00——105
[34]邢誉峰等辛算法在随机振动响应求解中的应用航空动力学报,2008,23(1):37——43
[35]吴永等多体系统动力学方程在流形上的辛分离法重庆大学学报(自然科学版),2002,25(3):120——122
[36]陈伯舟关于时变线型系统二次型两人零和微分对策问题可解的充分必要条件和解的解析构造中国控制会议论文集,1996:70——78
[37]肖爱国等关于辛Runge-Kutta方法的几点注记湘潭大学自然科学学报,1997,19(4):05——07
[38]肖爱国等辛Runge-Kutta方法的特征与构造高等学校计算机数学学报,1995(3):250——260
[39]徐自祥等基于Hamilton体系和辛算法的微分对策数值法应用数学和力学,2006,27(3):305——310
[40]廖新浩等Hamilton系统数值计算的新方法天文学进展,1996,14(1):3一l1
[41]张赤东基于Hamilton体系的弹性力学辛差分格式海河大学博士论文2004
[42]陈景波、秦孟兆辛几何算法在射线追踪中的应用数值计算与计算机应用,2000 (4): 255-265
[43]陈景波,秦孟兆射线追踪、辛几何算法与波场的数值模拟计算物理,2001 (18):481-486
[44]王雨顺,秦孟兆变分与无限维系统的高精度辛格式计算数学,2002 (24 ): 434-436
[45]刘又午,吴洪涛等采用辛算法提高多体系统动力学的计算精度天津大学学报, 1994,(06)
[46]王治国,唐立民波传播问题的半解析有限元辛型算法大连理工大学学报,1994,4(2) :125-130
[47]王治国,唐立民弹性力学中的哈密顿系统及其变分原理应用数学和力学,1995, (15 ):117一122
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[55]叶玉全,张静Hamilton动力系统的辛几何精细算法九江师专学报(自然科学版),1997,15(5):01-05
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[65]王玲书等辛算法应用于Dulling方程的保结构性军械工程学院学报,2008,20(1):72——74
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[67]蒋长锦波动方程辛算法的迭代求解计算物理, 2002,19(1):13-16
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[76]黄浪扬.非线性Pochhammer-Chree方程的多辛算法华侨大学学报(自然科学版) , 2006,(03)
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[78]黄浪扬;曾文平解四阶杆振动方程的辛算法漳州师范学院学报(自然科学版),2001,02
[79]黄浪扬,曾文平四阶杆振动方程隐式辛格式的迭代解法泉州师范学院学报,2003,(06)
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[82]王雨顺等非线性波方程的多辛五点格式科学通报, 2003,(S2)
[83]郭峰IMBq方程多辛算法的构造福州大学学报(自然科学版) , 2005,(06)
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[38]肖爱国等辛Runge-Kutta方法的特征与构造高等学校计算机数学学报,1995(3):250——260
[39]徐自祥等基于Hamilton体系和辛算法的微分对策数值法应用数学和力学,2006,27(3):305——310
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