多人非线性微分对策的辛几何算法
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摘要
Issacs博士于1956年出版了世界上第一部微分对策专著《微分对策》,标志着微分对策的正式诞生。此后微分对策的研究引起了世界各国研究者的广泛兴趣,然而很长一段时间都是围绕着线性二次型,特别是二人线性二次型微分对策。非线性微分对策由于理论研究非常困难,这方面的研究比较少,也比较缓慢,然而实际问题却往往都是非线性的,因此,基于非线性微分对策的数值方法和算法的研究逐渐受到人们的关注,并成为了热点方向。
对于二人非线性微分对策可以采用极大极小值方法(H-J-B方法)。但是多人非线性微分对策问题,由于局中人的增多,对策情况变得非常复杂,因此需要寻找新的方法来研究和分析多人微分对策。
本文一、二章主要研究了如何将非线性微分对策问题转化为线性微分对策问题、同时又不失原问题全局非线性性质的T-S模糊模型,然后将得到的线性微分对策问题归结为Hamilton系统,最后借助可以保持Hamilton流的整体特征和系统守恒律的辛算法来求解。本文三、四章分别研究了二人非线性微分对策和多人非线性微分对策,并通过算例证实了:辛算法在微分对策求解方面的可行性,相应的数值结果令人满意。本文第四章推广了二人线性微分对策的情况,并证明了多人线性二次型微分对策也可以归结为Hamilton系统,从而为多人微分对策的求解奠定了理论基础。
本文的主要创新点有:
1.研究并提出了T-S模糊模型所涉及的隶属函数的确定问题,并给出一般的求解方法;
2.证明了多人线性二次型微分对策可以归结为Hamilton系统,从而可以应用辛算法求解;
3.研究多人非线性微分对策问题的求解:通过T-S模糊模型线性化、应用辛差分方法求出数值解,验证了该方法的可行性。
本文主要研究的是支付函数为二次型的微分对策,对于非二次型的微分对策,则可以采用近似化的方法得到。
本文的第五章,是作者按照“上海交通大学数学系硕士研究生毕业要求”的条例完成的,是在阅读、理解大量科技文献后,经思考、提炼、创新而撰写的综合报告。(主要综述了辛算法在分子经典轨迹、微分对策、振动系统中的应用以及辛Runge-Kutta方法、多辛算法。主要工作是将实际问题转化成线性Hamilton系统,然后借助于辛差分格式来求解。)
In 1956,Dr.Issacs published the first book about differential ga-mes,which was named Differential Games and marked the official b-irth of differential games. It attracted many researchers from all th-e world, however,It's all about the linear quadratic for a long time,e-specially two-person linear quadratic differential games. Due to thedifficulty in theory,few did study nonlinear differential games,but weknow,practical problems often are nonlinear,so,research on numericalmethods and algorithm of non-linear differential game gradually bec-omes a hot direction.
For two-person nonlinear quadratic differential games,we can us-e H-J-B.but many-person nonlinear differential games,we need find t-he new method for the complexity. Chapter I、II of this article is about transforming nonlinear diff-erential games into a linear one, then with the help of T-S fuzzy model,keeping the global non-linear nature,and the Hamilton system,we can solve it symplectic algorithm which keeps the overall flow characteristics and system conservation laws. Chapter III and IV areon two-person nonlinear and many-person nonlinear differential gam-es,and confirmed by examples: It's possible to solve differential ga- mes by symplectic algorithm ,and the numerical results are satisfactory.Chapter IV generalizes the case of two-person linear differentialgames,proves that many-person linear quadratic differential game ca-n also be attributed to the hamilton system,and it will be a theoreti-cal foundation on solving differential games.
Main innovation:
1. Propose how to make sure the membership function of T-S fuzzy model and give out the general solution;
2. Prove many-person linear quadratic differential games is a h-amilton system, and symplectic algorithm can solve it.
3. Examples on nonlinear differential games: T-S fuzzy model,symplectic difference method,and the results show this meth-od feasible.
This paper is mainly about differential games whose payment f-unction is quadratic,for non-quadratic differential game, we can getby the approximation method.
Chapter V of this article, according to the rule"Graduate gradu-ation requirements Department of Mathematics Shanghai Jiaotong University ",is a general report based on thinking, refined, innovativ-e after reading, understanding a lot of technology literature. (Mainl-y about the classical trajectories of molecules, Differential Games, vibration systems and symplectic Runge-Kutta methods, multi-sympl-ectic algorithms.)
对于二人非线性微分对策可以采用极大极小值方法(H-J-B方法)。但是多人非线性微分对策问题,由于局中人的增多,对策情况变得非常复杂,因此需要寻找新的方法来研究和分析多人微分对策。
本文一、二章主要研究了如何将非线性微分对策问题转化为线性微分对策问题、同时又不失原问题全局非线性性质的T-S模糊模型,然后将得到的线性微分对策问题归结为Hamilton系统,最后借助可以保持Hamilton流的整体特征和系统守恒律的辛算法来求解。本文三、四章分别研究了二人非线性微分对策和多人非线性微分对策,并通过算例证实了:辛算法在微分对策求解方面的可行性,相应的数值结果令人满意。本文第四章推广了二人线性微分对策的情况,并证明了多人线性二次型微分对策也可以归结为Hamilton系统,从而为多人微分对策的求解奠定了理论基础。
本文的主要创新点有:
1.研究并提出了T-S模糊模型所涉及的隶属函数的确定问题,并给出一般的求解方法;
2.证明了多人线性二次型微分对策可以归结为Hamilton系统,从而可以应用辛算法求解;
3.研究多人非线性微分对策问题的求解:通过T-S模糊模型线性化、应用辛差分方法求出数值解,验证了该方法的可行性。
本文主要研究的是支付函数为二次型的微分对策,对于非二次型的微分对策,则可以采用近似化的方法得到。
本文的第五章,是作者按照“上海交通大学数学系硕士研究生毕业要求”的条例完成的,是在阅读、理解大量科技文献后,经思考、提炼、创新而撰写的综合报告。(主要综述了辛算法在分子经典轨迹、微分对策、振动系统中的应用以及辛Runge-Kutta方法、多辛算法。主要工作是将实际问题转化成线性Hamilton系统,然后借助于辛差分格式来求解。)
In 1956,Dr.Issacs published the first book about differential ga-mes,which was named Differential Games and marked the official b-irth of differential games. It attracted many researchers from all th-e world, however,It's all about the linear quadratic for a long time,e-specially two-person linear quadratic differential games. Due to thedifficulty in theory,few did study nonlinear differential games,but weknow,practical problems often are nonlinear,so,research on numericalmethods and algorithm of non-linear differential game gradually bec-omes a hot direction.
For two-person nonlinear quadratic differential games,we can us-e H-J-B.but many-person nonlinear differential games,we need find t-he new method for the complexity. Chapter I、II of this article is about transforming nonlinear diff-erential games into a linear one, then with the help of T-S fuzzy model,keeping the global non-linear nature,and the Hamilton system,we can solve it symplectic algorithm which keeps the overall flow characteristics and system conservation laws. Chapter III and IV areon two-person nonlinear and many-person nonlinear differential gam-es,and confirmed by examples: It's possible to solve differential ga- mes by symplectic algorithm ,and the numerical results are satisfactory.Chapter IV generalizes the case of two-person linear differentialgames,proves that many-person linear quadratic differential game ca-n also be attributed to the hamilton system,and it will be a theoreti-cal foundation on solving differential games.
Main innovation:
1. Propose how to make sure the membership function of T-S fuzzy model and give out the general solution;
2. Prove many-person linear quadratic differential games is a h-amilton system, and symplectic algorithm can solve it.
3. Examples on nonlinear differential games: T-S fuzzy model,symplectic difference method,and the results show this meth-od feasible.
This paper is mainly about differential games whose payment f-unction is quadratic,for non-quadratic differential game, we can getby the approximation method.
Chapter V of this article, according to the rule"Graduate gradu-ation requirements Department of Mathematics Shanghai Jiaotong University ",is a general report based on thinking, refined, innovativ-e after reading, understanding a lot of technology literature. (Mainl-y about the classical trajectories of molecules, Differential Games, vibration systems and symplectic Runge-Kutta methods, multi-sympl-ectic algorithms.)
引文
[01]钟万勰周期电磁波导的能带辛分析计算力学学报,2001, 18 (4) :380——387
[02]钟万勰矩阵黎卡提方程的精细积分法计算结构力学及其应用,1994, (5): 113～118
[03]钟万勰短波近似的保辛算法计算力学学报,2008,(1):01～07
[04]钟万勰大型辛矩阵本征问题的逆迭代法计算结构力学及其应用,1992,19(3);227--238
[05]钟万勰对一般Ham ilton体系近似解保辛条件的讨论计算力学学报,2005,22(5)
[06]李登峰模糊多目标多人决策与对策国防工业出版社,2003
[07]李登峰微分对策及其应用国防工业出版社,2000
[08]高红伟彼得罗相动态合作博弈科学出版社,2009
[09]钟万勰蔡志勤线性二次型最优控制状态向量的精细积分法大连理工大学学报,1999,39(3):464——465
[10]王新辉李晓东杨军基于T-S模糊建模思想的多人非合作微分对策计算机仿真, 2009,26(12):333-337
[11]吴忠强许世范岳东非线性系统的T-S模糊建模与控制系统仿真学报,2002,14(2): 253-256
[12]谭述君钟万勰变系数微分Riccati方程的保辛摄动近似求解大连理工大学学报,2006,46(增刊):07——13
[13]谭述君钟万勰线性时变系统二次最优控制问题的保辛近似求解应用数学和力学2007,28(3):253——262
[14]吴志刚钟万勰跟踪问题最优控制律精细积分航空学报,2001,22(2):113——116
[15]刘福窑等几类辛方法的数值稳定性研究天文学报,2006,(4):418～431
[16]张光辉等DNA弹性杆力学分析的保结构算法和图形后处理青岛大学学报,2007(,2):10～14
[17]吴洪涛等采用辛算法提高多体系统动力学的计算精度天津大学学报,1994,27(6):722——723
[18]罗恩等Hamilton弹性动力学及其辛算法中山大学学报,2003,(5):131～132
[19]罗恩等相空间非传统Hamilton型变分原理与辛算法中国科学(A辑),2OO2,32(2):1119～1126
[20]汤琼等Hamilton系统的连续有限元法应用数学和力学,2007,28(8)
[21]李延欣等A2B模型分子经典轨迹的辛算法计算高等学校化学学报,1995, 5(8):1181-1186
[22]季江微等辛差分格式的守恒量及其稳定性计算物理,1997,14(1):68-74
[23]王玲书等Hamilton系统辛算法的Nekhoroshev稳定性分析军械工程学院学报,2008,20(3):70——75
[24]杨远玲等N体问题的几种数值算法比较计算物理,2006,23(5):599——603
[25]钟万勰等WKBJ近似保辛吗?计算力学学报,2005,22(3):01——07
[26]蒋长锦波动方程辛算法的迭代求解计算物理,2002,19(1):13——16
[27]刘淼等薄板动力学相空间非传统Hamilton变分原理与辛算法固体力学学报,2007,28(2):207——211
[28]丁克伟Hamiltonian矩阵平方约化求解特征问题的辛算法安徽理工大学学报,2005,(2):24～28
[29]丁克伟测试Hamiltonian矩阵结构问题的辛算法合肥工业大学学报,2006,29(2):189——192
[30]丁克伟哈密尔顿矩阵特征谱问题的辛算法合肥工业大学学报(自然科学版),2000,25(3):336——340
[31]闫庆友等计算Hamilton矩阵特征值的一个稳定的有效的保结构的算法应用数学和力学,2002,23(11):1 150—1 168
[32]邢誉峰等单步辛算法的相位误差分析及修正力学学报,2007,39(5):668——671
[33]邢誉峰等动力学平衡方程的Euler中点辛差分求解格式力学学报,2007,39(1):l00——105
[34]邢誉峰等辛算法在随机振动响应求解中的应用航空动力学报,2008,23(1):37——43
[35]吴永等多体系统动力学方程在流形上的辛分离法重庆大学学报(自然科学版),2002,25(3):120——122
[36]陈伯舟关于时变线型系统二次型两人零和微分对策问题可解的充分必要条件和解的解析构造中国控制会议论文集,1996:70——78
[37]肖爱国等关于辛Runge-Kutta方法的几点注记湘潭大学自然科学学报,1997,19(4)05——07
[38]肖爱国等辛Runge-Kutta方法的特征与构造高等学校计算机数学学报,1995(3):250——260
[39]徐自祥等基于Hamilton体系和辛算法的微分对策数值法应用数学和力学,2006,27(3):305——310
[40]廖新浩等Hamilton系统数值计算的新方法天文学进展,1996,14(1):3一l1
[41]张赤东基于Hamilton体系的弹性力学辛差分格式海河大学博士论文2004
[42]陈景波、秦孟兆辛几何算法在射线追踪中的应用数值计算与计算机应用,2000 (4): 255-265
[43]陈景波,秦孟兆射线追踪、辛几何算法与波场的数值模拟计算物理,2001 (18):481-486
[44]王雨顺,秦孟兆变分与无限维系统的高精度辛格式计算数学,2002 (24 ): 434-436
[45]刘又午,吴洪涛等采用辛算法提高多体系统动力学的计算精度天津大学学报, 1994,(06)
[46]王治国,唐立民波传播问题的半解析有限元辛型算法大连理工大学学报,1994,4(2) :125-130
[47]王治国,唐立民弹性力学中的哈密顿系统及其变分原理应用数学和力学,1995, (15 ):117一122
[48]卢沛鎏弹性力学的Hamilton正则方程和辛几何算法华南理工大学学报(自然科学版),1994,22(增刊):57-66
[49]吴裕华辛变换与辛差分格式计算数学,1989, 11 (4):359-366
[50]隆克平等基Pade逼近的辛算法重庆邮电学院学报,1995,7(2):42——48
[51]吴琼等基于高阶辛算法求解Maxwell方程系统工程与电子技术,2006,28(3):342——344
[52]文舸一辛算法及其在电磁场方程中的应用微波学报,1999,15(1):68——78
[53]刘福窑等几类辛方法的数值稳定性研究天文学报,2006,47(4):418——431
[54]徐明毅等精细辛几何算法的误差估计数学物理学报,2006,26A(2):314——320
[55]叶玉全,张静Hamilton动力系统的辛几何精细算法九江师专学报(自然科学版),1997,15(5):01-05
[56]张洪武关于动力分析精细积分算法精度的讨论力学学报,2001,33(6):847——852
[57]秦孟兆辛几何及计算哈密顿力学力学与实践, 1990,12(6):01——20
[58]徐明毅,张勇传精细辛算法的高效格式和简化计算力学与实践,2005,27:55——57
[59]余华平等欧拉一拉格朗日系统的jet辛算法计算物理,2005,22(6):293——500
[60]曾进周钢等精细辛算法上海交通大学学报,1997,31(9):31—33
[61]杨然周钢等求解最优控制问题的改进辛几何算法上海交通大学学报,200,34(5):612——614
[62]王琪黄克累等树形多体Hamilton系统辛算法计算物理,1997,14(1):35——39
[63]赵长印等辛积分方法在动力天文中的应用天文学报,1992,33(1):36——47
[64]黄志祥等辛算法的稳定性及数值色散性分析电子学报,2006,(3):535——538
[65]王玲书等辛算法应用于Dulling方程的保结构性军械工程学院学报,2008,20(1):72——74
[66]杨远玲等辛算法在长期天体演化中的能量误差比较甘肃联合大学学报(自然科学版),2005,19(3):29——32
[67]蒋长锦波动方程辛算法的迭代求解计算物理, 2002,19(1):13-16
[68]蒋长锦等辛算法在地震物探中的应用中国科学技术大学学报,1996,26(2):220——227
[69]刘林等辛算法在近地小行星轨道演化数值研究中的应用计算物理,1997,14(4,5):649——651
[70]余德浩有限元,自然边界元与辛几何算法高等数学研究,2001,4(4):17—23
[71]姚征辛体系算法在波的传播与振动一问题中的应用大连理工大学博士毕业论文,2007
[72]索强一种保辛的时间积分子结构方法大连理工大学硕士论文,2007
[73]冯康秦孟兆Hamilton动力体系的Hamilton算法自然科学进展,1991, 1(2) :110-120
[74]黄浪扬非线性Pochhammer-Chree方程的多辛格式计算数学,2005,01
[75]黄浪扬.非线性Pochhammer-Chree方程的多辛Preissmann格式河南师范大学学报(自然科学版),2005,04
[76]黄浪扬.非线性Pochhammer-Chree方程的多辛算法华侨大学学报(自然科学版) , 2006,(03)
[77]郭峰,吴凤珍MKdV方程的多辛格式河南师范大学学报(自然科学版) , 2005,(01)
[78]黄浪扬;曾文平解四阶杆振动方程的辛算法漳州师范学院学报(自然科学版),2001,02
[79]黄浪扬,曾文平四阶杆振动方程隐式辛格式的迭代解法泉州师范学院学报, 2003,(06)
[80]孔令华,曾文平四阶杆振动方程的多级辛格式贵州大学学报(自然科学版) , 2003,(03)
[81]曾文平,孔令华等对称正则长波方程的多辛Fourier拟谱格式福州大学学报(自然科学版) , 2006,(01)
[82]王雨顺等非线性波方程的多辛五点格式科学通报, 2003,(S2)
[83]郭峰IMBq方程多辛算法的构造福州大学学报(自然科学版) , 2005,(06)
[84]孔令华等SRLW方程的多辛格式及其守恒律中国科学技术大学学报, 2005,(06)
[85]王健Dirac方程的多辛格式上海交通大学学报, 2004,(05)
[86]郭峰,吴凤珍MKdV方程的多辛格式河南师范大学学报(自然科学版) , 2005,(01)
[87]吴永;杜思义等约束多体系统动力学方程的辛算法重庆大学学报(自然科学版),2004,06
[88]姚林晓,邓子辰等Hamilton体系下旋转刚柔耦合楔形梁有限元建模及辛算法机械科学与技术, 2007,(08) .
[89]吴永,胡继云等多体系统动力学方程在流形上的辛分离法重庆大学学报(自然科学版) , 2002,(03)
[90]吴永,胡继云等多体系统动力学方程在流形上的辛算法力学进展, 2002,(02)
[91]王琪,黄克累等树形多体Hamilton系统辛算法计算物理, 1997,(01)
[92]廖新浩等辛算法在限制性三体问题数值研究中的应用计算物理,1995,12(1):102-108
[93]廖新浩,刘林Hamilton系统数值计算的新方法,天文学进展,1996,14(1):03——11
[94] Yoshida H。Construction of~gher syrnplectic integrators Physics Letters,1900(150)
[95] Candy J and Rozmus W A syrnplectic algorithm for separrable Hamiltion functions Journal of Computational Physics,1991(92)
[96] Shang Zaijiu。KAM theorem of symplectic algorithms for Hamihonian systems Numerische Mathematik,1 999,83:477-496
[97] Zhao Xinsheng Comparison on the Symplectic Quantum Propagation Methods物理化学学报,1996,12(10):876——878
[98] TAN Shu-jun(谭述君), ZHONG Wan-xie(钟万勰) Numerical solutions of linear quadratic control for tim e-varying systems via symplectic conservative perturbation Applied Mathematics and Mechanics(English Edition),2007,28(3):277-287
[99] DENG ZI-chen The optimal solution of constrained nonlinear systerm Computers&Structures,1994,53(5):1115-1121
[100] Guimar Martin Herran Symplectic methods for the solution to riccati matrix equaptions relater to macroeconomic models Computational Economics,1999,13(1):61-91
[02]钟万勰矩阵黎卡提方程的精细积分法计算结构力学及其应用,1994, (5): 113～118
[03]钟万勰短波近似的保辛算法计算力学学报,2008,(1):01～07
[04]钟万勰大型辛矩阵本征问题的逆迭代法计算结构力学及其应用,1992,19(3);227--238
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[07]李登峰微分对策及其应用国防工业出版社,2000
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[09]钟万勰蔡志勤线性二次型最优控制状态向量的精细积分法大连理工大学学报,1999,39(3):464——465
[10]王新辉李晓东杨军基于T-S模糊建模思想的多人非合作微分对策计算机仿真, 2009,26(12):333-337
[11]吴忠强许世范岳东非线性系统的T-S模糊建模与控制系统仿真学报,2002,14(2): 253-256
[12]谭述君钟万勰变系数微分Riccati方程的保辛摄动近似求解大连理工大学学报,2006,46(增刊):07——13
[13]谭述君钟万勰线性时变系统二次最优控制问题的保辛近似求解应用数学和力学2007,28(3):253——262
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[17]吴洪涛等采用辛算法提高多体系统动力学的计算精度天津大学学报,1994,27(6):722——723
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[20]汤琼等Hamilton系统的连续有限元法应用数学和力学,2007,28(8)
[21]李延欣等A2B模型分子经典轨迹的辛算法计算高等学校化学学报,1995, 5(8):1181-1186
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[23]王玲书等Hamilton系统辛算法的Nekhoroshev稳定性分析军械工程学院学报,2008,20(3):70——75
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[27]刘淼等薄板动力学相空间非传统Hamilton变分原理与辛算法固体力学学报,2007,28(2):207——211
[28]丁克伟Hamiltonian矩阵平方约化求解特征问题的辛算法安徽理工大学学报,2005,(2):24～28
[29]丁克伟测试Hamiltonian矩阵结构问题的辛算法合肥工业大学学报,2006,29(2):189——192
[30]丁克伟哈密尔顿矩阵特征谱问题的辛算法合肥工业大学学报(自然科学版),2000,25(3):336——340
[31]闫庆友等计算Hamilton矩阵特征值的一个稳定的有效的保结构的算法应用数学和力学,2002,23(11):1 150—1 168
[32]邢誉峰等单步辛算法的相位误差分析及修正力学学报,2007,39(5):668——671
[33]邢誉峰等动力学平衡方程的Euler中点辛差分求解格式力学学报,2007,39(1):l00——105
[34]邢誉峰等辛算法在随机振动响应求解中的应用航空动力学报,2008,23(1):37——43
[35]吴永等多体系统动力学方程在流形上的辛分离法重庆大学学报(自然科学版),2002,25(3):120——122
[36]陈伯舟关于时变线型系统二次型两人零和微分对策问题可解的充分必要条件和解的解析构造中国控制会议论文集,1996:70——78
[37]肖爱国等关于辛Runge-Kutta方法的几点注记湘潭大学自然科学学报,1997,19(4)05——07
[38]肖爱国等辛Runge-Kutta方法的特征与构造高等学校计算机数学学报,1995(3):250——260
[39]徐自祥等基于Hamilton体系和辛算法的微分对策数值法应用数学和力学,2006,27(3):305——310
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[41]张赤东基于Hamilton体系的弹性力学辛差分格式海河大学博士论文2004
[42]陈景波、秦孟兆辛几何算法在射线追踪中的应用数值计算与计算机应用,2000 (4): 255-265
[43]陈景波,秦孟兆射线追踪、辛几何算法与波场的数值模拟计算物理,2001 (18):481-486
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