各向同性弹性固体介质中二维非线性纵波方程的有限元解法
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摘要
客观物质世界中的非线性现象是非常普遍的，研究各门科学与技术问题中的非线性共性规律的非线性科学，已成为人类揭示强扰动,强耦合，强关联系统的普遍规律和探索复杂性的基础。早在18世纪中叶，科学工作者就已经注意到许多非线性现象了。随着现代科学技术的不断发展，非线性科学有了迅猛的发展，其本质不断被揭示与发现。在近二十年中，自然科学，工程技术甚至社会科学各领域，广泛深入地展开了非线性问题的研究。非线性科学被誉为本世纪继相对论和量子力学之后自然科学的“第三次大革命”，是研究世界复杂性的科学。非线性波动是其中的重要分支。近几年来，在物理学和工程学的许多领域中，非线性波的传播越来越受到重视。由于地球是个庞大的系统，存在着复杂性和非线性，在地震勘探中我们不可能得到波场的全部信息，如何最大限度的利用这些资料，提高资料的可靠程度，体现找油找矿的巨大经济效益，十分必要对非线性波动理论进行研究。
本文研究了各向同性固体介质中的二维非线性有限振幅纵波，采用有限元方法求解二维非线性纵波运动方程。在求解非线性波动方程时，有限元方法通过剖分插值构造有限维子空间SN的基函数的方法保持了古典Ritz-Galerkin方法的优点，克服了它的不足。这种方法尤其适用于区域的形状复杂、定解条件中含有第二或者第三类边界条件、方程的系数有间断等情形，有限元方法以变分原理及剖分插值为基础。一方面，它是传统的能量法，即Ritz-Galerkin方法的变形。另一方面，它又与差分方法有相通之处，因此有限元方法是能量法与差分法相结合而发展的方法。有限元离散化保持了原问题的对称正定性，且其刚度矩阵为稀疏矩阵，这些优点使其便于数值计算。有限元方法的各个环节，包括单元分析、总体合成和代数解算等在程序实现上都便于标准化。有限元方法对简单或复杂问题基本上同等对待。随着问题在几何或物理上增加复杂性，其优点愈加显著。有限元方法成功的处理了自然边界
条件。该类边界条件已被吸收在变分形式中，不需要单独处理。有限元方法有坚实的数学基础。对许多问题已有关于收敛性和误差估计的完备结果，保证了可靠性。
本文在证明各向同性固体介质中二维非线性纵波运动方程真解存在性的基础上，给出了其数值解并分析了稳定性、收敛性并建立了误差估计式。
首先，本文介绍了非线性波动的基本理论，指出了其研究意义和深远影响，介绍了非线性波动方程的求解历史及现状。
其次, 我们从非线性的角度，依据非线性波动方程的物理、数学基础，特别是弹性固体介质中的非线性波的情况和质量、动量、能量三大守恒定律出发，给出了三维非线性波动数学模型，在忽略横波效应的情况下得到了各项同性固体介质中二维非线性纵波方程。并运用泛函分析的知识，严格证明了其真解的存在性。
再次，我们介绍了有限元方法的基本原理和数学基础，即泛函分析、Sobolev空间的逼近性质，并说明有限元方法的求解步骤、有限元的程序设计方法。
最后，在这些理论的基础上，我们用有限元方法求解了各向同性固体介质中二维非线性波动方程，推导出了线性双曲型方程有限元解的误差估计和椭圆投影算子的界定常数，并在此基础上完成了二维非线性纵波的半离散有限元解的误差估计和波的半离散有限元解的误差估计，继而给出了非线性纵波方程的全离散有限元解的存在性、稳定性、收敛性和误差估计。根据这些先验估计，我们综合应用了数值积分技巧、插值技巧、尼采技巧以及程序设计技巧，得到了固体介质中二维非线性纵波运动方程组的有限元数值解及其不同频率下的误差。运用数学软件MatLab编程形成波形图，通过对二维纵波的波形图的分析，我们得到了各向同性固体介质中的二维非线性纵波的传播特性。
对于更高维及更复杂条件下的非线性波动问题，无论是解析解还是数值解，都有难以逾越的障碍。我们所研究的还只是二维非线性纵波的数值解和传播特征，为了实际的应用，研究三维的非线性波的传播特征和数值解是迫切和必要的。
Non-linear phenomenon is so usually for the natural world, non-linear science concerning about non-linear common disciplinary in different study fields of science and technology has become the base of investigation of natural disciplinary. In the previous 18th century, science workers had paid more attention to so many non-linear phenomena in actual world. As the development of modern science and technology, non-linear science has obtained rapidly progress and its essence was discovered and explained continually. The research of the nonlinear theory is a contemporary important subject that is obtained prevalent attention, which is the science on the complexity. Nonlinear wave is an important part of it. Recently, the propagation has become more and more important in a large number of fields of physics and engineering science。The earth is a complicated and changing system, so there have complexity and nonlinear, we can’t get all data from earthquakes. How to find the biggest degree to use these data and improve dependability, so as to embody great economical benefit in searching now oil fields, it’s necessary for us to study the nonlinear wave.
The 2-D nonlinear longitudinal wave in the isotropy solid medium studied in this paper is the finite amplitude wave, which thought about the nonlinear of the motion and medium. The finite element numerical method based on centimo theory and dispart-insert-value One side ,it is conventional energy method. It is transfiguration of Ritz-Galerkin method .On the other hand ,it also has some similitude with difference method . Therefore, The finite element numerical method is the unite of energy method
and difference method . The finite element disperse keep the symmetry poditive nature of original problem. Even its freshness matrix is sparsity matrix. All of these excellence make mumerical value compute easy. but wave energy look toward to high frequency space, these lead to strong dissipation in the high frequency, accelerating the nonlinear wave dissipation. In this time, the nonlinear is the mainly characteristic, so we reasonable analyze the medium nonlinear action is most necessary. The finite element method is made use of the nonlinear wave equations, along with increment of degree of freedom in unit , the precision of interpolating function and approximate solution have to certain extent difficulty .Every concrete nonlinear wave equation need concrete interpolating function, variant periphery condition need variant precise approximate function. We can put to use variant approximate function in variant unit. We can utilize variant interpolating function in variant periphery condition. By this method, we can heighten precision and quicken the velocity of convergence.
we gained the solution of hyperbolic 2-D nonlinear primary wave equation by finite element numerical method .Based on the proof of existence of the exact value ,we have gained the numerical value,analyzed the stability, convergence, and established the error estimate formula.
Firstly, the basic theory of nonlinear science was introduced and its influences on the development of science and technology were showed in this paper. Furthermore, the history and its modern status of solutions on non-linear wave equations were shown here.
Secondly, in this paper, Physical and mathematical fundamental of the nonlinear wave is introduced, especially, with regard to the nonlinear wave of elastic solid medium. Form power of point of view, the conception of the strain work is introduced. We built 3-D hyperbolic nonlinear evolution and the general motion equation by making good use of the
conservation of mass、moment and energy. Meanwhile, the paper builds three-dimension nonlinear wave model in isotropic medium. Ignoring the transverse wave domino effect, 2-D nonlinear Primary wave equation in isotropy solid medium was gained.
Moreover ,existence of the exact value have been rigidly proved with functional analysis. Based on it ,we have gained the numerical value,analyzed the stability, con
本文研究了各向同性固体介质中的二维非线性有限振幅纵波，采用有限元方法求解二维非线性纵波运动方程。在求解非线性波动方程时，有限元方法通过剖分插值构造有限维子空间SN的基函数的方法保持了古典Ritz-Galerkin方法的优点，克服了它的不足。这种方法尤其适用于区域的形状复杂、定解条件中含有第二或者第三类边界条件、方程的系数有间断等情形，有限元方法以变分原理及剖分插值为基础。一方面，它是传统的能量法，即Ritz-Galerkin方法的变形。另一方面，它又与差分方法有相通之处，因此有限元方法是能量法与差分法相结合而发展的方法。有限元离散化保持了原问题的对称正定性，且其刚度矩阵为稀疏矩阵，这些优点使其便于数值计算。有限元方法的各个环节，包括单元分析、总体合成和代数解算等在程序实现上都便于标准化。有限元方法对简单或复杂问题基本上同等对待。随着问题在几何或物理上增加复杂性，其优点愈加显著。有限元方法成功的处理了自然边界
条件。该类边界条件已被吸收在变分形式中，不需要单独处理。有限元方法有坚实的数学基础。对许多问题已有关于收敛性和误差估计的完备结果，保证了可靠性。
本文在证明各向同性固体介质中二维非线性纵波运动方程真解存在性的基础上，给出了其数值解并分析了稳定性、收敛性并建立了误差估计式。
首先，本文介绍了非线性波动的基本理论，指出了其研究意义和深远影响，介绍了非线性波动方程的求解历史及现状。
其次, 我们从非线性的角度，依据非线性波动方程的物理、数学基础，特别是弹性固体介质中的非线性波的情况和质量、动量、能量三大守恒定律出发，给出了三维非线性波动数学模型，在忽略横波效应的情况下得到了各项同性固体介质中二维非线性纵波方程。并运用泛函分析的知识，严格证明了其真解的存在性。
再次，我们介绍了有限元方法的基本原理和数学基础，即泛函分析、Sobolev空间的逼近性质，并说明有限元方法的求解步骤、有限元的程序设计方法。
最后，在这些理论的基础上，我们用有限元方法求解了各向同性固体介质中二维非线性波动方程，推导出了线性双曲型方程有限元解的误差估计和椭圆投影算子的界定常数，并在此基础上完成了二维非线性纵波的半离散有限元解的误差估计和波的半离散有限元解的误差估计，继而给出了非线性纵波方程的全离散有限元解的存在性、稳定性、收敛性和误差估计。根据这些先验估计，我们综合应用了数值积分技巧、插值技巧、尼采技巧以及程序设计技巧，得到了固体介质中二维非线性纵波运动方程组的有限元数值解及其不同频率下的误差。运用数学软件MatLab编程形成波形图，通过对二维纵波的波形图的分析，我们得到了各向同性固体介质中的二维非线性纵波的传播特性。
对于更高维及更复杂条件下的非线性波动问题，无论是解析解还是数值解，都有难以逾越的障碍。我们所研究的还只是二维非线性纵波的数值解和传播特征，为了实际的应用，研究三维的非线性波的传播特征和数值解是迫切和必要的。
Non-linear phenomenon is so usually for the natural world, non-linear science concerning about non-linear common disciplinary in different study fields of science and technology has become the base of investigation of natural disciplinary. In the previous 18th century, science workers had paid more attention to so many non-linear phenomena in actual world. As the development of modern science and technology, non-linear science has obtained rapidly progress and its essence was discovered and explained continually. The research of the nonlinear theory is a contemporary important subject that is obtained prevalent attention, which is the science on the complexity. Nonlinear wave is an important part of it. Recently, the propagation has become more and more important in a large number of fields of physics and engineering science。The earth is a complicated and changing system, so there have complexity and nonlinear, we can’t get all data from earthquakes. How to find the biggest degree to use these data and improve dependability, so as to embody great economical benefit in searching now oil fields, it’s necessary for us to study the nonlinear wave.
The 2-D nonlinear longitudinal wave in the isotropy solid medium studied in this paper is the finite amplitude wave, which thought about the nonlinear of the motion and medium. The finite element numerical method based on centimo theory and dispart-insert-value One side ,it is conventional energy method. It is transfiguration of Ritz-Galerkin method .On the other hand ,it also has some similitude with difference method . Therefore, The finite element numerical method is the unite of energy method
and difference method . The finite element disperse keep the symmetry poditive nature of original problem. Even its freshness matrix is sparsity matrix. All of these excellence make mumerical value compute easy. but wave energy look toward to high frequency space, these lead to strong dissipation in the high frequency, accelerating the nonlinear wave dissipation. In this time, the nonlinear is the mainly characteristic, so we reasonable analyze the medium nonlinear action is most necessary. The finite element method is made use of the nonlinear wave equations, along with increment of degree of freedom in unit , the precision of interpolating function and approximate solution have to certain extent difficulty .Every concrete nonlinear wave equation need concrete interpolating function, variant periphery condition need variant precise approximate function. We can put to use variant approximate function in variant unit. We can utilize variant interpolating function in variant periphery condition. By this method, we can heighten precision and quicken the velocity of convergence.
we gained the solution of hyperbolic 2-D nonlinear primary wave equation by finite element numerical method .Based on the proof of existence of the exact value ,we have gained the numerical value,analyzed the stability, convergence, and established the error estimate formula.
Firstly, the basic theory of nonlinear science was introduced and its influences on the development of science and technology were showed in this paper. Furthermore, the history and its modern status of solutions on non-linear wave equations were shown here.
Secondly, in this paper, Physical and mathematical fundamental of the nonlinear wave is introduced, especially, with regard to the nonlinear wave of elastic solid medium. Form power of point of view, the conception of the strain work is introduced. We built 3-D hyperbolic nonlinear evolution and the general motion equation by making good use of the
conservation of mass、moment and energy. Meanwhile, the paper builds three-dimension nonlinear wave model in isotropic medium. Ignoring the transverse wave domino effect, 2-D nonlinear Primary wave equation in isotropy solid medium was gained.
Moreover ,existence of the exact value have been rigidly proved with functional analysis. Based on it ,we have gained the numerical value,analyzed the stability, con
引文
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