N-维非退化扩散过程样本的逆像集与水平集的分形性质
|
摘要
分形理论在许多学科领域有着非常广泛的应用，我们在建立用以描述天文学、湍流、物理学、生物学、化学、甚至经济学中的现象的数学模型时，分形已成为相当重要的工具。如分子运动、带噪声的通讯系统、有干扰的神经生理活动、生物膜中的渗透过程、进化过程中的基因更替、期货与期权定价等等。在许多情况下，这类模型总要依赖于某种随机因素，例如：Mandelbrot在建立地理现象、湍流的数学模型时，就采用了多参数Levy Brown运动。这使得人们对随机分形的研究更感兴趣，国内外学者在有关方面已做了大量的研究工作。
随机过程样本轨道分形性质的研究可以追溯到20世纪40年代Levy的工作。20世纪40年代和50年代，Levy、Besicovitch、Taylor、Mckean等人研究了Brown运动的随机分形，以后向两个方面发展：一是Blumenthal、Getoor等人先后研究了稳定过程、Levy过程的分形理论；二是Kahane、Adler等人先后研究了分数Brown运动、Gauss场的分形性质。
设(Ω，F，P)为一完备概率空间，X(t)=(X_1(t)，X_2(t)，…，X_N(t))为其上的N维非退化扩散过程。杨新建教授在文献[1]中研究了扩散过程样本的Hlder连续性，并将其应用于求扩散过程像集与图集的Hausdorff维数。本文在此基础上，讨论了扩散过程样本的逆像集与水平集的Hausdorff维数和Packing维数。
另外，杨新建教授在文献[2]中研究了紧集上非退化扩散过程样本的水平集和逆像集的一些分形性质，本文在这方面也做了一些工作。
具体来说，主要有以下的一些结果:
1.求出了水平集的Hausdorff维数:
丫妊RN，有dim(tE〔o，1〕:X(t)二u)=max(o，1一答)·a·s·
2.得到了紧集上水平集的一个性质:
设N二1，了=[o，l]，EcT为紧集，o。百，如果dimE<合，
则丫。。R，有:x一‘(u)nE二每.a.s.
3.求出了紧集上水平集的Hausdorff维数的最佳上界:vu oR“，有
dim(X一，(u)门E)丛max(0，dimE一告N)·a·S·
其中T二[0，1]，E二T为紧集，ooE，dimE，合
4.求出了水平集的Packing维数:
丫u 0 RN，有Dim(t任[o，1〕:X(t)=u)=max(O，1一答).a.5.
5.求出了逆像集的Hausdorff维数:
丫紧集F二尺N，有dim(t任〔O，1」:X(t)任F)=max(o，l一合N+合dimF)·
6.求出了逆像集的Packing维数:
丫紧集F二尺N，有Dim(tE[0，1]:X(t)任F)=max(o，l一晋N+专DimF)·
其中dim(E)，Dim(E)分别为E的Hausdorff维数和Pa。king维数.
Let (F,P) be a complete probability space , and X(t}= be a N-dimension non- degenerate diffusion processes on it . The Holder continuity of N-dimension non-degenerate diffusion processes and Hausdorff dimension of graph sets and image sets have been settled by professor Yang in [1] . In this thesis , with the aid of this paper , the author has discussed the Hausdorff dimension and Packing dimension of the level sets and inverse image of N-dimension non-degenerate diffusion processes .
Furthermore, the fractal properties of the level sets and inverse image of compact sets of N-dimension non-degenerate diffusion processes is also considered by professor Yang in [2] , and some new results are obtained in this paper .
The main results are calculated as follows: 1. The Hausdorff dimension of level sets :
2. The property of the level sets of compact sets:
where T = [0,l], is a compact sets, and 3. The upper bound of Hausdorff dimension of level sets of compact sets:
where T = [0,1], is a compact sets,
4. The Packing dimension of level sets :
5. The Hausdorff dimension of inverse image:
Where F is a compact sets.
6. The Packing dimension of inverse image: Where F is a compact sets.
随机过程样本轨道分形性质的研究可以追溯到20世纪40年代Levy的工作。20世纪40年代和50年代，Levy、Besicovitch、Taylor、Mckean等人研究了Brown运动的随机分形，以后向两个方面发展：一是Blumenthal、Getoor等人先后研究了稳定过程、Levy过程的分形理论；二是Kahane、Adler等人先后研究了分数Brown运动、Gauss场的分形性质。
设(Ω，F，P)为一完备概率空间，X(t)=(X_1(t)，X_2(t)，…，X_N(t))为其上的N维非退化扩散过程。杨新建教授在文献[1]中研究了扩散过程样本的Hlder连续性，并将其应用于求扩散过程像集与图集的Hausdorff维数。本文在此基础上，讨论了扩散过程样本的逆像集与水平集的Hausdorff维数和Packing维数。
另外，杨新建教授在文献[2]中研究了紧集上非退化扩散过程样本的水平集和逆像集的一些分形性质，本文在这方面也做了一些工作。
具体来说，主要有以下的一些结果:
1.求出了水平集的Hausdorff维数:
丫妊RN，有dim(tE〔o，1〕:X(t)二u)=max(o，1一答)·a·s·
2.得到了紧集上水平集的一个性质:
设N二1，了=[o，l]，EcT为紧集，o。百，如果dimE<合，
则丫。。R，有:x一‘(u)nE二每.a.s.
3.求出了紧集上水平集的Hausdorff维数的最佳上界:vu oR“，有
dim(X一，(u)门E)丛max(0，dimE一告N)·a·S·
其中T二[0，1]，E二T为紧集，ooE，dimE，合
4.求出了水平集的Packing维数:
丫u 0 RN，有Dim(t任[o，1〕:X(t)=u)=max(O，1一答).a.5.
5.求出了逆像集的Hausdorff维数:
丫紧集F二尺N，有dim(t任〔O，1」:X(t)任F)=max(o，l一合N+合dimF)·
6.求出了逆像集的Packing维数:
丫紧集F二尺N，有Dim(tE[0，1]:X(t)任F)=max(o，l一晋N+专DimF)·
其中dim(E)，Dim(E)分别为E的Hausdorff维数和Pa。king维数.
Let (F,P) be a complete probability space , and X(t}= be a N-dimension non- degenerate diffusion processes on it . The Holder continuity of N-dimension non-degenerate diffusion processes and Hausdorff dimension of graph sets and image sets have been settled by professor Yang in [1] . In this thesis , with the aid of this paper , the author has discussed the Hausdorff dimension and Packing dimension of the level sets and inverse image of N-dimension non-degenerate diffusion processes .
Furthermore, the fractal properties of the level sets and inverse image of compact sets of N-dimension non-degenerate diffusion processes is also considered by professor Yang in [2] , and some new results are obtained in this paper .
The main results are calculated as follows: 1. The Hausdorff dimension of level sets :
2. The property of the level sets of compact sets:
where T = [0,l], is a compact sets, and 3. The upper bound of Hausdorff dimension of level sets of compact sets:
where T = [0,1], is a compact sets,
4. The Packing dimension of level sets :
5. The Hausdorff dimension of inverse image:
Where F is a compact sets.
6. The Packing dimension of inverse image: Where F is a compact sets.
引文
[1] 杨新建．扩散过程样本的Hlder连续性及其应用．湖南师范大学学报，1995，18(2)：13-18．
[2] 杨新建．非退化扩散过程的极性的必要性．系统科学与数学，2002，22(1)：67-77．
[3] Lkega N, WatanabeS. Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes. North-Holland Publishing Company, New York, 1981.
[4] Sheu, S. J., Some estimates of the transition density of a nondegenerate diffusion Markov Process. Ann. Prob. 2(1991). 538-561.
[5] Geman D and Horowitz j. Occupation densities. Ann. of Prob. 1980. 8(1): 1-67.
[6] Monrad D. and Pitt L. D, Local nondeterminism and Hausdorff dimension, Progress in Probability and Statistics. Seminar on stochastic Process (E. Cinlar; K.L. Chung; R.K. Getoor, editor), Birkhauser, Boston, 1986.
[7] 肖益民．某些Gauss向量场的集合性质，武汉大学博士学位论文，1990．
[8] 徐赐文．P0lya过程的局部不确定性及逆像的一致维数．武汉大学学报 1995．41(5)：526-532．
[9] 胡迪鹤著．随机分形引论．武汉：武汉大学出版社，1990．
[10] 骆顺龙，张正敏．一类半鞅样本轨道的Fractual性质．应用数学，1996，9(1)：42-45．
[11] Kahane J. P. Ensembles aleatoires et dimenious, Cours an Seminaire de I' Escurial, 1983.
[12] 徐赐文．N-d维广义Browian sheet的分形性质及随机集的重分形分解．武汉大学博士学位论文．1996．
[13] Kahane J.P. Some random series of function, 2nd. ed., Cambridge Univ. Press. 1985.
[14] Orey. S., Pruitt, W.E.. Sample Functions of the N-parameter Wiener Process. Ann. of Prob. 1973.1:138-165.
[2] 杨新建．非退化扩散过程的极性的必要性．系统科学与数学，2002，22(1)：67-77．
[3] Lkega N, WatanabeS. Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes. North-Holland Publishing Company, New York, 1981.
[4] Sheu, S. J., Some estimates of the transition density of a nondegenerate diffusion Markov Process. Ann. Prob. 2(1991). 538-561.
[5] Geman D and Horowitz j. Occupation densities. Ann. of Prob. 1980. 8(1): 1-67.
[6] Monrad D. and Pitt L. D, Local nondeterminism and Hausdorff dimension, Progress in Probability and Statistics. Seminar on stochastic Process (E. Cinlar; K.L. Chung; R.K. Getoor, editor), Birkhauser, Boston, 1986.
[7] 肖益民．某些Gauss向量场的集合性质，武汉大学博士学位论文，1990．
[8] 徐赐文．P0lya过程的局部不确定性及逆像的一致维数．武汉大学学报 1995．41(5)：526-532．
[9] 胡迪鹤著．随机分形引论．武汉：武汉大学出版社，1990．
[10] 骆顺龙，张正敏．一类半鞅样本轨道的Fractual性质．应用数学，1996，9(1)：42-45．
[11] Kahane J. P. Ensembles aleatoires et dimenious, Cours an Seminaire de I' Escurial, 1983.
[12] 徐赐文．N-d维广义Browian sheet的分形性质及随机集的重分形分解．武汉大学博士学位论文．1996．
[13] Kahane J.P. Some random series of function, 2nd. ed., Cambridge Univ. Press. 1985.
[14] Orey. S., Pruitt, W.E.. Sample Functions of the N-parameter Wiener Process. Ann. of Prob. 1973.1:138-165.