小学数学解决问题方法多样化的研究
摘要
问题是数学科学本身的内在组成部分,解决问题方法多样化有助于学生的数学思维发展、具有重要的教育价值。我国现行义务教育数学课程标准提出了“解决问题方法多样性”的要求,数学教材和数学教学实践中也普遍存在着解决问题方法多样化教学的事实。但是10多年来,还没有见到关于数学解决问题方法多样化的系统研究,还未建立起解决问题方法多样化的相关理论。数学解决问题方法多样化教学的普遍存在与其相关研究的匮乏,形成了一个现实的矛盾。本研究尝试探索小学数学解决问题方法多样化的相关认识、考量其教学实践成效(学生在数学解决问题方法多样化方面的发展状况),为更好的实践解决问题方法多样化教学提出一些数学课程与教学的建议与对策。
本研究采用文献研究法、测试调查法、学生作品分析法、统计分析法等,从定性和定量两个方面对小学数学课程与教学中的解决问题方法多样化进行探讨。由于目前还没有关于“数学问题的解决方法”以及“数学解决问题方法多样化”的明确概念,所以,研究内容主要有：(1)通过文献研究,尝试探索数学解决问题方法多样化的相关理论、形成一些初步的认识。(2)通过测试调查研究学生在解决问题方法多样化方面的认知发展,考量数学解决问题方法多样化教学的成效问题,并检验本文所获得的相关认识和结论。(3)基于这两个方面的研究,本文为如何提高解决问题方法多样化教学以及数学课程的发展提出了一些建议与对策。
本研究的主要发现与结论是：
“数学问题的解决方法”是指解决数学问题的具体方法,是用以解决数学问题的那些产生式系统及问题情境的内在规定性的综合体,它由两个部分构成：(1)用以解决数学问题的产生式系统(即基本数量关系的组合),这是可以显性地写在纸上的部分；(2)问题解决方法的“算理”,即问题情境对这个产生式系的内在规定性,这是隐藏在背后的部分。其中,产生式系统的直接结果就是用以获取问题解答的得数的数学算法。“数学问题的解决方法”概念包括了通常所说的“解法”(“数学解题方法”)及其背后隐含的“算理”,这是一种扩充。而“数学问题的解决方法”与“算法”是不同的概念。
“数学解决问题方法多样化”是指构造多种用以解决数学问题的产生式系统。本文中“数学解决问题方法多样化”也指用多种方法解决问题来教学数学的手法。判断一个解决方法与另一个解决方法不同的依据就是两个解决方法所体现的问题情境的规定性不同,最终就体现为两种解决方法当中所体现的基本数量关系的结合方式不同,或者说是两种解决方法的数学结构不同。“数学解决问题方法多样化”与“一题多解”、“数学解决问题方法多样化”与“算法多样化”等概念并不完全等同。
数学解决问题方法多样化的根源在于符合问题情境的基本数量关系的组合具有可变性,而开发多种解决方法的依据则是问题情境的内在规定性。
数学解决问题方法多样化的价值和必要性。由于用多种方法解决问题的过程充满变化(变通),所以,用多种方法解决数学问题并不是一种可以自动化的技能,解决问题方法多样化对培养学生数学创造能力具有重要价值；数学解决问题方法多样化教学是必要且合理的。“学生数学解决问题方法多样化的发展”是指经过日常的数学解决问题方法多样化教学、学生所获得的对多种解决方法的理解、掌握、运用方面的发展(认知结果)。它包括学生在解决问题时能支配的解决方法的量多(多样化)和质高(对该问题整个解决方法集合的感知或认识)两个方面的综合。
影响学生解决数学问题方法多样化的内部认知因素主要有：知识基础、问题的表征、数量关系组合三个方面。
尝试界定的学生数学解决问题方法多样化发展的认知水平层级：水平1,不能正确解决给定的问题；水平2,能够正确解决给定的问题；水平3,能够用2种方法解决给定的问题；水平4,能够在找到的2种解决方法的基础上对这两种方法进行概括和表达它们的联系；水平5,能够用3种方法解决给定的问题。根据这个水平层级模型,本研究编制了学生解决问题方法多样化发展测试卷及相应的编码规则。
测试调查研究的结果说明了,经过数学课程的学习、学生在数学解决问题方法多样化方而能够获得一定的认知发展,现行的数学解决问题方法多样化教学并非完全无效,但是效果也不是很高；学生数学解决问题方法多样化的发展在单纯算法多样化维度、数与代数领域基本数量关系多重组合维度、几何领域基本数量关系多重组合维度三个维度上的发展并不均衡；同时也验证了影响学生数学解决问题方法多样化的三个认知因素的作用,也验证了“数学问题的解决方法”概念的合理性。
综合本研究的理论探索和实证研究结论,本文对小学数学课程与教学提出了这样的建议与对策：
(1)数学解决问题方法多样化教学应注重学生的综合建构。(2)合理安排数学课程与教学的内容编排、引导学生数学能力发展的进程。计算技能的培养重点应放在四年级及以前；五六年级宜以代数和几何发展为要务；五六年级的教学要更注重知识内化、整体建构和对学习自我反思,促进知识内部建构。(3)基于问题情境的规定性来开发不同的解决方法。(4)重在引导学生自主开发多种解决方法。(5)重在开发新方法的过程和对多种解决方法的认识。(6)注意数学解决问题方法多样化教学的“度”。(7)从三个方面抓数学解决问题方法多样化教学：夯实知识基础、提高观察能力促问题表征、增强对多个基本数量关系的自觉跟踪和调控。
本研究立图创新的地方：由于本研究是首次探索数学解决问题方法多样化的相关理论、形成一些初步的认识,辅以测查学生在解决问题方法多样化方面的认知发展,初步尝试界定“学生数学解决问题方法多样化发展的认知水平层级”和编制相应的测试卷,这些方面都是本研究的原创,具有一定的探索性。希望所获得的结论和建议能够为今后我国的小学数学课程与教学的进一步发展提供一定的参考。
本研究的不足之处：(1)本研究的探索仅仅是初步的,所获得的结论也仅仅是初步的和肤浅的,还没有能够形成体系。(2)限于实际条件,本研究仅对特定区域的学生进行调查,所获得的学生数学解决问题方法多样化发展的结论、以及对小学数学课程与教学的建议,有待进行更大范围的研究验证、包括开展系列实验研究。
Questions to be solved function as the internal component of the mathematical science itself, in which the diversified ways for resolving the mathematical problems are of great educational value for its contribution to the thought development of students. Under the requirements of the present compulsory education in China, the mathematics curriculum standards aim to realize the mathematical problem solving in diversified ways. In practice, the application of the diversified ways for solving mathematical problems is the general ways in the mathematics teaching praxis and the textbooks in usage. Nowadays, it has been more than ten years since the implementation of the mathematics curriculum standards. Some scholars, however, point out that it remains be a vulnerable area for students'development of solving mathematical problems in diversified ways. Besides, there are lack of the systematic theory guidance for diversified ways for the mathematical problems solution in the present teaching praxis. The mathematics teachers therefore rely on individual understanding and temporary performance. Thus the realistic contradiction sticks out between the general teaching practices and the research deficiency on the diversified ways for resolving mathematical problems.This study try to explore the theory on diversified ways for solving mathematical problems in primary school and think about the assessment on the effectiveness of the teaching practice and the empirical analysis in particular. Hence, it's necessary to assess the students'development of solving mathematical problems in diversified ways. Aiming for the improvements to the universal application of the diversified ways for solving mathematical problems in mathematical teaching, it is the urgent need to carry out the concerning studies on diversified ways for resolving the mathematical problems.
This dissertation, including the theory exploration and the empirical analysis, studies the diversified ways for resolving the mathematical problems in the primary school by adopting the qualitative research methods and quantitative research methods. The studies contents are stated as following:1) Through the exploration on the theoretical foundation on the mathematical problem solving in diversified ways, the dissertation attempts to reach the elementary rational cognition. After the collation process of the relevant reference, the dissertation gives the exact definition for the mathematical problem solution, the diversified ways for solving mathematical problems as well as the students'development of solving mathematical problems in diversified ways, which would help to clarify the chaos caused by the confusion among the definition, relative concepts and mutual relations. The dissertation also achieves in the new interpretation on the education value of the creative thinking ability that students acquired by settling the mathematical problem in diversified ways. Besides, the classification, which reveals the mechanism and influencing factors behind the diversified ways for solving mathematical problems, contributes to probe the precautions and attention points concerning its teaching praxis.2) In order to assess the effectiveness of the present teaching praxis on the diversified mathematical solutions which would in turn helps the exploration of the theoretical foundation for the subject, the dissertation attempts to invent the assessment tools for estimating the students' cognitive development after the acquisition of the mathematical problem solving in diversified ways. At the same time, the Empirical Analysis(the test survey) are applied to detect the current situation of the students'abilities on the diversified mathematical solutions, to research the rules and characteristics for training students'competence on the mathematical problem solving in diversified ways, which would further confirms the theory exploration that was stated in the previous part the dissertation.3)and to obtain the implications on the compilation of the mathematics courses and teaching arrangements.
The main findings and conclusions of this study:
"The ways of mathematical problem solving" refers to the specific way for solving mathematical problems (the way closely related to problem situations and specific knowledge) and it is a complex used to solve a mathematical problem which involves production system and internal stipulation of problem situations. It consists of two parts:(1) the production system to solve mathematical problems (the combinations of basic quantitative relation), which can be written on dissertation explicitly.(2)"Algorithm" of the solutions to mathematical problem solving, a part lurking in the background, which means problem situation's inherent regulation of production systems. Among them, the direct result of production system is the mathematical algorithms used to get questions answered. The concept of "the solutions to mathematical problem solving" commonly includes "solution"("mathematical problem-solving approach") and "algorithm" lurking behind, which is an expansion. According to the structure analysis on the ways of mathematical problem solving, this research clearly identified the relationship about "diversification of the ways of mathematical problem solving" and "one problem with multiple solutions","the ways of mathematical problem solving" and "algorithm", and "diversification of solutions to problems" and "algorithm diversification" to clarify chaos phenomenon about the teaching of "one problem with multiple solutions", reinterpret the function to cultivate student's creative ability in mathematics by using a variety of ways to solve mathematical problems, also have a discussion about mechanism and influencing factors to develop multiple solution ways, and even to help people identify whether the students really have understood or really have solved the problem, which is often so-called "true understanding" or "acting understanding".
The nature of "diversification of the solutions to mathematical problem solving" is to construct a variety of production systems used to solve mathematical problems."Diversification of the solutions to mathematical problem solving" is also on behalf of the teaching mathod that using different ways to solve mathematical problems. The basis to judge whether a solution is different from another solution is that the regularity of problem situation the two solutions embodied is different, and ultimately the combinations of basic quantitative relation the two solutions embodied is different, or the mathematical structure of the two solutions is different. The origin of "diversification of the solutions to mathematical problem solving" is the variability of the combinations of basic quantitative relation of problem situation, while the development of various solutions is based on the inherent regularity in problem situation. Due to the change(flexibility) in a variety of ways to solve problems, therefore, to solve math problems in a variety of ways is not a skill can be automated, which highlights the value of "diversification of the solutions to mathematical problem solving" on cultivating students'creative ability in mathematics."Diversification of the solutions to mathematical problem solving" not only can be used as a teaching form to develop thinking and promote creativity, but also can be used to drill down a specific topic, or as a new technique to inspire new topic and expand the field of knowledge. The teaching of "diversification of the solutions to mathematical problem solving" is necessary and reasonable.
"The students'development in diversification of the solutions to mathematical problem solving" refers to student's understanding, mastering and application (cognitive outcomes) of various solutions they obtained after the teaching of "diversification of the solutions to mathematical problem solving" and the application of it to solve mathematics problems. It includes the composition of the solutions'quantity (diversification) and quality (perception or understanding of the entire solutions to the problem, which means the complete collection of solutions) when students dominate them to solve problems. In teaching process of "diversification of the solutions to mathematical problem solving", whether "group diversity" form or "individual diversity" form is adopted, the ultimate goal is to make students understand and experience the nature, difference and characteristic of each way so as to improve and enhance students'cognitive level.
This study tries to divide students'development in "diversification of the solutions to mathematical problem solving" into five levels:level1, students cannot correctly solve the problem given; level2, students can correctly solve the problem given; level3, students can correctly solve the problem given in2ways; level4, students can summarize the2ways and express their connection between based on the2ways they find; level5, students can correctly solve the problem given in3ways.
The result of empirical research illustrates that students can obtain certain cognitive development in "diversification of the solutions to mathematical problem solving" after the learning of mathematics courses, and although the effect is not very obvious, and the current teaching of "diversification of t the solutions to mathematical problem solving" is not entirely valid. There is no significant gender difference in students'development in "diversification of the solutions to mathematical problem solving"; while there is significant difference between grade, and significant difference exists in each dimension for different grade.
To sum up the study conclusions, this dissertation makes such recommendations on mathematics curriculum and instruction to elementary school:
(1) To pay attention to students'overall construction in the teaching of "diversification of the solutions to mathematical problem solving";(2) to arrange for mathematics curriculum and content layout reasonably and plan students'development processes in the teaching of mathematics ability. Students of grade four and before should focus on the numeracy skills development; while grade five or six on algebra and geometry for priority development; meanwhile, the teaching for grade five or six should focus more on internalization and overall construction of knowledge and self-reflection on learning so as to promote the internal construction of knowledge;(3) to develop different solutions based on the problem situations;(4) to guide students to develop a variety of solutions independently;(5) to focus on the process of developing new ways and understanding of multiple resolutions;(6) to pay a attention to the "degree" in the teaching of "diversification of the solutions to mathematical problem solving";(7) to implement the teaching of "diversification of the solutions to mathematical problem solving" in three ways.
The legislation Figure innovation in this dissertation is:To explore the theory on diversified ways for solving mathematical problems in primary school for the first time,and Supplement the test survey on students'cognitive development in the problem-solving method diversifying.So, this dissertation give an rudimentary definition on the levels of the students'development in "diversification of the solutions to mathematical problem solving", and preparation of the corresponding rudimentary test volume These are original researches with certain exploratory and pioneering. Hope that the conclusions and recommendations can provide some theoretical and practical reference for the further development of the elementary school mathematics curriculum and it's teaching。
The areas for improvement:1) The exploration of the theory on diversified ways for solving mathematical problems in primary school is only at the early-stage. There are many problems to be studied further to get a systerm theory on diversified ways for solving mathematical problems, including the teaching principles for apply diversified ways for solving mathematical problems, and the corresponding teaching mode and so on.2) Since the example came from a specific region only, The result of empirical research might not represent the full conclusion.
本研究采用文献研究法、测试调查法、学生作品分析法、统计分析法等,从定性和定量两个方面对小学数学课程与教学中的解决问题方法多样化进行探讨。由于目前还没有关于“数学问题的解决方法”以及“数学解决问题方法多样化”的明确概念,所以,研究内容主要有：(1)通过文献研究,尝试探索数学解决问题方法多样化的相关理论、形成一些初步的认识。(2)通过测试调查研究学生在解决问题方法多样化方面的认知发展,考量数学解决问题方法多样化教学的成效问题,并检验本文所获得的相关认识和结论。(3)基于这两个方面的研究,本文为如何提高解决问题方法多样化教学以及数学课程的发展提出了一些建议与对策。
本研究的主要发现与结论是：
“数学问题的解决方法”是指解决数学问题的具体方法,是用以解决数学问题的那些产生式系统及问题情境的内在规定性的综合体,它由两个部分构成：(1)用以解决数学问题的产生式系统(即基本数量关系的组合),这是可以显性地写在纸上的部分；(2)问题解决方法的“算理”,即问题情境对这个产生式系的内在规定性,这是隐藏在背后的部分。其中,产生式系统的直接结果就是用以获取问题解答的得数的数学算法。“数学问题的解决方法”概念包括了通常所说的“解法”(“数学解题方法”)及其背后隐含的“算理”,这是一种扩充。而“数学问题的解决方法”与“算法”是不同的概念。
“数学解决问题方法多样化”是指构造多种用以解决数学问题的产生式系统。本文中“数学解决问题方法多样化”也指用多种方法解决问题来教学数学的手法。判断一个解决方法与另一个解决方法不同的依据就是两个解决方法所体现的问题情境的规定性不同,最终就体现为两种解决方法当中所体现的基本数量关系的结合方式不同,或者说是两种解决方法的数学结构不同。“数学解决问题方法多样化”与“一题多解”、“数学解决问题方法多样化”与“算法多样化”等概念并不完全等同。
数学解决问题方法多样化的根源在于符合问题情境的基本数量关系的组合具有可变性,而开发多种解决方法的依据则是问题情境的内在规定性。
数学解决问题方法多样化的价值和必要性。由于用多种方法解决问题的过程充满变化(变通),所以,用多种方法解决数学问题并不是一种可以自动化的技能,解决问题方法多样化对培养学生数学创造能力具有重要价值；数学解决问题方法多样化教学是必要且合理的。“学生数学解决问题方法多样化的发展”是指经过日常的数学解决问题方法多样化教学、学生所获得的对多种解决方法的理解、掌握、运用方面的发展(认知结果)。它包括学生在解决问题时能支配的解决方法的量多(多样化)和质高(对该问题整个解决方法集合的感知或认识)两个方面的综合。
影响学生解决数学问题方法多样化的内部认知因素主要有：知识基础、问题的表征、数量关系组合三个方面。
尝试界定的学生数学解决问题方法多样化发展的认知水平层级：水平1,不能正确解决给定的问题；水平2,能够正确解决给定的问题；水平3,能够用2种方法解决给定的问题；水平4,能够在找到的2种解决方法的基础上对这两种方法进行概括和表达它们的联系；水平5,能够用3种方法解决给定的问题。根据这个水平层级模型,本研究编制了学生解决问题方法多样化发展测试卷及相应的编码规则。
测试调查研究的结果说明了,经过数学课程的学习、学生在数学解决问题方法多样化方而能够获得一定的认知发展,现行的数学解决问题方法多样化教学并非完全无效,但是效果也不是很高；学生数学解决问题方法多样化的发展在单纯算法多样化维度、数与代数领域基本数量关系多重组合维度、几何领域基本数量关系多重组合维度三个维度上的发展并不均衡；同时也验证了影响学生数学解决问题方法多样化的三个认知因素的作用,也验证了“数学问题的解决方法”概念的合理性。
综合本研究的理论探索和实证研究结论,本文对小学数学课程与教学提出了这样的建议与对策：
(1)数学解决问题方法多样化教学应注重学生的综合建构。(2)合理安排数学课程与教学的内容编排、引导学生数学能力发展的进程。计算技能的培养重点应放在四年级及以前；五六年级宜以代数和几何发展为要务；五六年级的教学要更注重知识内化、整体建构和对学习自我反思,促进知识内部建构。(3)基于问题情境的规定性来开发不同的解决方法。(4)重在引导学生自主开发多种解决方法。(5)重在开发新方法的过程和对多种解决方法的认识。(6)注意数学解决问题方法多样化教学的“度”。(7)从三个方面抓数学解决问题方法多样化教学：夯实知识基础、提高观察能力促问题表征、增强对多个基本数量关系的自觉跟踪和调控。
本研究立图创新的地方：由于本研究是首次探索数学解决问题方法多样化的相关理论、形成一些初步的认识,辅以测查学生在解决问题方法多样化方面的认知发展,初步尝试界定“学生数学解决问题方法多样化发展的认知水平层级”和编制相应的测试卷,这些方面都是本研究的原创,具有一定的探索性。希望所获得的结论和建议能够为今后我国的小学数学课程与教学的进一步发展提供一定的参考。
本研究的不足之处：(1)本研究的探索仅仅是初步的,所获得的结论也仅仅是初步的和肤浅的,还没有能够形成体系。(2)限于实际条件,本研究仅对特定区域的学生进行调查,所获得的学生数学解决问题方法多样化发展的结论、以及对小学数学课程与教学的建议,有待进行更大范围的研究验证、包括开展系列实验研究。
Questions to be solved function as the internal component of the mathematical science itself, in which the diversified ways for resolving the mathematical problems are of great educational value for its contribution to the thought development of students. Under the requirements of the present compulsory education in China, the mathematics curriculum standards aim to realize the mathematical problem solving in diversified ways. In practice, the application of the diversified ways for solving mathematical problems is the general ways in the mathematics teaching praxis and the textbooks in usage. Nowadays, it has been more than ten years since the implementation of the mathematics curriculum standards. Some scholars, however, point out that it remains be a vulnerable area for students'development of solving mathematical problems in diversified ways. Besides, there are lack of the systematic theory guidance for diversified ways for the mathematical problems solution in the present teaching praxis. The mathematics teachers therefore rely on individual understanding and temporary performance. Thus the realistic contradiction sticks out between the general teaching practices and the research deficiency on the diversified ways for resolving mathematical problems.This study try to explore the theory on diversified ways for solving mathematical problems in primary school and think about the assessment on the effectiveness of the teaching practice and the empirical analysis in particular. Hence, it's necessary to assess the students'development of solving mathematical problems in diversified ways. Aiming for the improvements to the universal application of the diversified ways for solving mathematical problems in mathematical teaching, it is the urgent need to carry out the concerning studies on diversified ways for resolving the mathematical problems.
This dissertation, including the theory exploration and the empirical analysis, studies the diversified ways for resolving the mathematical problems in the primary school by adopting the qualitative research methods and quantitative research methods. The studies contents are stated as following:1) Through the exploration on the theoretical foundation on the mathematical problem solving in diversified ways, the dissertation attempts to reach the elementary rational cognition. After the collation process of the relevant reference, the dissertation gives the exact definition for the mathematical problem solution, the diversified ways for solving mathematical problems as well as the students'development of solving mathematical problems in diversified ways, which would help to clarify the chaos caused by the confusion among the definition, relative concepts and mutual relations. The dissertation also achieves in the new interpretation on the education value of the creative thinking ability that students acquired by settling the mathematical problem in diversified ways. Besides, the classification, which reveals the mechanism and influencing factors behind the diversified ways for solving mathematical problems, contributes to probe the precautions and attention points concerning its teaching praxis.2) In order to assess the effectiveness of the present teaching praxis on the diversified mathematical solutions which would in turn helps the exploration of the theoretical foundation for the subject, the dissertation attempts to invent the assessment tools for estimating the students' cognitive development after the acquisition of the mathematical problem solving in diversified ways. At the same time, the Empirical Analysis(the test survey) are applied to detect the current situation of the students'abilities on the diversified mathematical solutions, to research the rules and characteristics for training students'competence on the mathematical problem solving in diversified ways, which would further confirms the theory exploration that was stated in the previous part the dissertation.3)and to obtain the implications on the compilation of the mathematics courses and teaching arrangements.
The main findings and conclusions of this study:
"The ways of mathematical problem solving" refers to the specific way for solving mathematical problems (the way closely related to problem situations and specific knowledge) and it is a complex used to solve a mathematical problem which involves production system and internal stipulation of problem situations. It consists of two parts:(1) the production system to solve mathematical problems (the combinations of basic quantitative relation), which can be written on dissertation explicitly.(2)"Algorithm" of the solutions to mathematical problem solving, a part lurking in the background, which means problem situation's inherent regulation of production systems. Among them, the direct result of production system is the mathematical algorithms used to get questions answered. The concept of "the solutions to mathematical problem solving" commonly includes "solution"("mathematical problem-solving approach") and "algorithm" lurking behind, which is an expansion. According to the structure analysis on the ways of mathematical problem solving, this research clearly identified the relationship about "diversification of the ways of mathematical problem solving" and "one problem with multiple solutions","the ways of mathematical problem solving" and "algorithm", and "diversification of solutions to problems" and "algorithm diversification" to clarify chaos phenomenon about the teaching of "one problem with multiple solutions", reinterpret the function to cultivate student's creative ability in mathematics by using a variety of ways to solve mathematical problems, also have a discussion about mechanism and influencing factors to develop multiple solution ways, and even to help people identify whether the students really have understood or really have solved the problem, which is often so-called "true understanding" or "acting understanding".
The nature of "diversification of the solutions to mathematical problem solving" is to construct a variety of production systems used to solve mathematical problems."Diversification of the solutions to mathematical problem solving" is also on behalf of the teaching mathod that using different ways to solve mathematical problems. The basis to judge whether a solution is different from another solution is that the regularity of problem situation the two solutions embodied is different, and ultimately the combinations of basic quantitative relation the two solutions embodied is different, or the mathematical structure of the two solutions is different. The origin of "diversification of the solutions to mathematical problem solving" is the variability of the combinations of basic quantitative relation of problem situation, while the development of various solutions is based on the inherent regularity in problem situation. Due to the change(flexibility) in a variety of ways to solve problems, therefore, to solve math problems in a variety of ways is not a skill can be automated, which highlights the value of "diversification of the solutions to mathematical problem solving" on cultivating students'creative ability in mathematics."Diversification of the solutions to mathematical problem solving" not only can be used as a teaching form to develop thinking and promote creativity, but also can be used to drill down a specific topic, or as a new technique to inspire new topic and expand the field of knowledge. The teaching of "diversification of the solutions to mathematical problem solving" is necessary and reasonable.
"The students'development in diversification of the solutions to mathematical problem solving" refers to student's understanding, mastering and application (cognitive outcomes) of various solutions they obtained after the teaching of "diversification of the solutions to mathematical problem solving" and the application of it to solve mathematics problems. It includes the composition of the solutions'quantity (diversification) and quality (perception or understanding of the entire solutions to the problem, which means the complete collection of solutions) when students dominate them to solve problems. In teaching process of "diversification of the solutions to mathematical problem solving", whether "group diversity" form or "individual diversity" form is adopted, the ultimate goal is to make students understand and experience the nature, difference and characteristic of each way so as to improve and enhance students'cognitive level.
This study tries to divide students'development in "diversification of the solutions to mathematical problem solving" into five levels:level1, students cannot correctly solve the problem given; level2, students can correctly solve the problem given; level3, students can correctly solve the problem given in2ways; level4, students can summarize the2ways and express their connection between based on the2ways they find; level5, students can correctly solve the problem given in3ways.
The result of empirical research illustrates that students can obtain certain cognitive development in "diversification of the solutions to mathematical problem solving" after the learning of mathematics courses, and although the effect is not very obvious, and the current teaching of "diversification of t the solutions to mathematical problem solving" is not entirely valid. There is no significant gender difference in students'development in "diversification of the solutions to mathematical problem solving"; while there is significant difference between grade, and significant difference exists in each dimension for different grade.
To sum up the study conclusions, this dissertation makes such recommendations on mathematics curriculum and instruction to elementary school:
(1) To pay attention to students'overall construction in the teaching of "diversification of the solutions to mathematical problem solving";(2) to arrange for mathematics curriculum and content layout reasonably and plan students'development processes in the teaching of mathematics ability. Students of grade four and before should focus on the numeracy skills development; while grade five or six on algebra and geometry for priority development; meanwhile, the teaching for grade five or six should focus more on internalization and overall construction of knowledge and self-reflection on learning so as to promote the internal construction of knowledge;(3) to develop different solutions based on the problem situations;(4) to guide students to develop a variety of solutions independently;(5) to focus on the process of developing new ways and understanding of multiple resolutions;(6) to pay a attention to the "degree" in the teaching of "diversification of the solutions to mathematical problem solving";(7) to implement the teaching of "diversification of the solutions to mathematical problem solving" in three ways.
The legislation Figure innovation in this dissertation is:To explore the theory on diversified ways for solving mathematical problems in primary school for the first time,and Supplement the test survey on students'cognitive development in the problem-solving method diversifying.So, this dissertation give an rudimentary definition on the levels of the students'development in "diversification of the solutions to mathematical problem solving", and preparation of the corresponding rudimentary test volume These are original researches with certain exploratory and pioneering. Hope that the conclusions and recommendations can provide some theoretical and practical reference for the further development of the elementary school mathematics curriculum and it's teaching。
The areas for improvement:1) The exploration of the theory on diversified ways for solving mathematical problems in primary school is only at the early-stage. There are many problems to be studied further to get a systerm theory on diversified ways for solving mathematical problems, including the teaching principles for apply diversified ways for solving mathematical problems, and the corresponding teaching mode and so on.2) Since the example came from a specific region only, The result of empirical research might not represent the full conclusion.
引文
① 教育部基础教育司,走进新课程：与课程实施者对话[M],北京：北京师范大学出版社,2002.3：8
② 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准(实验稿)[M].北京：北京师范大学出版社,2001：10.
③ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京：北京师范大学出版社,2012：8-10.
① 顾继玲,新教材中数学观之分析及思考[J],数学教育学报,2003(2)：99-103.
② 苏兴震,陆钧,例谈多解问题的教学误区[J],江苏教育研究,2012.(5C)：55；黄岩,变式训练是激活学生思维的有效途径[J],大连教育学院学报,2010(2)：49-50;;冯育强,李德宜,从一题多解到多题一解,高师理科学刊,2011(4)：71-72；徐光辉,多角度利用典型题[J],教育教学论坛,2011(8)：108.
① 胡作玄,第三次数学危机[M],成都：四川人民出版社,1985：69.
② 张奠宙,20世纪数学经纬[M],上海：华东师范大学出版社,2002：87.
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"Douglas A. Grouws..(1992). Handbook of research on mathematics teaching and learning. By National Council of Teachers of Mathematics. New York:Simon & Schuster and Prentice Hall International三个主题是：将问题解决当作实现其他课程目标的手段；将问题解决当作一种技能；将问题解决看作一种解决实际问题的技艺。
⑤ Halmos, P. (1980). The heart of mathematics. American. Mathematical Monthly,87,519-524.
⑥ [美]加涅.皮连生等译.学习的条件和教学论[M].上海：华东师范大学出版社,1999：175-177.
⑦ 王甦,汪安圣.认知心理学[M].北京：北京大学出版社,1992：276-289.
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② [美]波利亚.数学的发现[M](一、二),刘景麟等译,内蒙古人民出版社,1979-1981；欧阳绎译.北京：科学出版社,1982：序言.
③ 全美数学教师理事会.美国学校数学教育的原则和标准[S].蔡金法,等,译.北京：人民教育出版社,2003.：6.
④ 张奠宙,数学教育研究导引M],南京：江苏教育出版社,1994：52.
⑤ 王金战等,教你玩转数学——数学是怎样学好的(魅力与方法篇)[M].北京：北京大学出版社,2010：178.
⑥ 李文斌,从初中数学的一题多解谈培养中学生创新思维能力[J],中国校外教育(中旬刊),2010(1)：54-57；周洪伟,“一题多解”对培养小学生发散思维作用的思考[J]、中国校外教育(上旬刊),2012(7)：117.
⑦ 袁永超,从一题多解感悟学生数学思维发展的层次性[J],数学教学研究,2007(12)：7.
① 殷霞,初中生数学问题解决观的现状及其分析[J],无锡教育学院学报,2006(3)：86-89.
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