基于混合正态分布的ARMA-GARCH模型及其VaR风险度量
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摘要
金融市场发展日新月异，越来越多的人已经或者正在参与其中。然而金融市场的波动也是有目共睹的，举个例子股票的价格起起落落、变化莫测，因此人们在投资时往往存在很大的风险性。风险价值简称VaR(Value at Risk)，VaR方法是目前国际上金融风险管理的主流方法，通过对风险进行分析、测度来尽可能地规避风险。这样看来VaR的度量有很大的现实意义，但能否准确得度量它却是一个值得研究和优化的统计问题。
VaR的定义是，在正常的市场水平和给定置信水平下，一定持有期间内金融资产或投资组合预期未来可能的最大损失。换句话说，正常的市场水平和一定时期内该金融资产或投资组合在给定的概率水平下才会发生或超过VaR值的损失。由定义看出VaR方法与概率统计息息相关，它可以通过计算被量化为一个数字用来表示一定概率水平下某段时期金融资产或投资组合的最大损失。VaR的计算方法很多各有各的优缺点，但都很难使结果非常准确，我们只有通过不断研究尽可能周全得考虑问题减小误差。
本文考虑到金融时间序列数据经常出现的尖峰厚尾和异方差特性，计划针对存在这些特性的金融数据建立基于混合正态分布的ARMA-GARCH(广义条件异方差)模型。首先介绍ARMA-GARCH模型的特性与形式、模型的识别和参数估计等，这一模型是解决具有ARCH效应的金融数据的最佳模型。其次，针对金融数据的尖峰厚尾特性，本文将假定GARCH模型的随机序列服从混合正态分布，因为虽然基于正态分布下GARCH模型也能解决波动率的异方差特性，但它在拟合数据的厚尾性和有偏性时显得不足，而混合正态分布既保留了正态分布的优良特性又能在一定程度上解决尖峰厚尾特性适当的改善正态分布低估风险价值的缺陷。再次，根据VaR模型的定义利用GARCH模型中随机序列基于混合正态分布的风险价值与金融资产收益率的风险价值的函数关系得到研究对象（金融资产或投资组合）的风险价值。最后，选取一组合适的股票数据（深证综指）利用本文研究方法进行实证分析并得出结论证明该方法的优越性。本文设计的这种新方法虽然在组合结构上较显复杂，但考虑问题较周全（尽可能地去减少以往模型中由于一些问题引起的模型误差），经过实证和比较也验证了该方法的合理性和周密性。
The financial market is developing rapidly and more and more people have already beenor are involved in it now. However, the fluctuation in financial market is obvious to people,taking stock as an example, the ups and downs of the price make the stock market changconstantly. So people are always facing with great risk while investing in finance.VaR is theabbreviation of value at risk. VaR method which is based on risk analysis and measurement inorder to avoid risk as much as possible is currently the principle method on financial riskmeasurement. Thus the calculation of VaR actually has great realistic significance, yetweather we can calculate it exactly is still a statistical problem which is worth to study andoptimize further.
The definition of VaR is the expected future maximum loss of some financial asset orportfolio within a certain period in normal market conditions and a given confidence level. Inother words, the financial asset or portfolio occurs or exceeds the value at risk only in thegiven probability level. As the definition shows, VaR method is closely related withpossibility statistics and can express the financial asset's or portfolio's maximum loss within acertain period in given possibility level using a calculated number. Although there are lots ofmethods to calculate VaR and each one has its own merits and drawbacks, yet it's still difficultto get a very accurate result, so we can only try our efforts to research constantly and considercomprehensively to reduce the error.
Aming at the characteristics of kurtosis and heteroscedasticity that financial timeseries often occurs, we plan to build ARMA-GARCH Model based on mixed normaldistribution in this paper. Firstly, the characteristic and form of ARMA-GARCH Model andits identification and the parameters' estimation will be introduced, as this model is the optimal one to resolve ARCH effect. Secondly, aming at the characteristics mentioned above,we assume that the random sequence of GARCH model obeys mixed normal distribution.Although GARCH model based on normal distribution can solve heteroscedasticity to somedegree, yet it's insufficient when fitting the data which has thick tail and partial characteristics.Instead, mixed normal distribution can not only retain the advantages of normal distributionbut also solve the kurtosis characteristic and thus improve the defect that normal distributionunderestimates value at risk. Thirdly, we will get the financial asset's or portfolio's value atrisk using the function relations between itself and the VaR of random sequences in GARCHmodel which has been calculated by the definition. At last, a suitable group of stockdata(Shenzhen composite index) will be selected for empirical analysis to get a conclusionwhich proves the superiority of the method we study in this paper. Maybe the compositestructure of this newly designed method seems a little complex, yet it's very comprehensive totry efforts to reduce the errors which are usually caused in the previous models, and after theempirical analysis and comparison with others this method is proved to be reasonable andaccurate.
VaR的定义是，在正常的市场水平和给定置信水平下，一定持有期间内金融资产或投资组合预期未来可能的最大损失。换句话说，正常的市场水平和一定时期内该金融资产或投资组合在给定的概率水平下才会发生或超过VaR值的损失。由定义看出VaR方法与概率统计息息相关，它可以通过计算被量化为一个数字用来表示一定概率水平下某段时期金融资产或投资组合的最大损失。VaR的计算方法很多各有各的优缺点，但都很难使结果非常准确，我们只有通过不断研究尽可能周全得考虑问题减小误差。
本文考虑到金融时间序列数据经常出现的尖峰厚尾和异方差特性，计划针对存在这些特性的金融数据建立基于混合正态分布的ARMA-GARCH(广义条件异方差)模型。首先介绍ARMA-GARCH模型的特性与形式、模型的识别和参数估计等，这一模型是解决具有ARCH效应的金融数据的最佳模型。其次，针对金融数据的尖峰厚尾特性，本文将假定GARCH模型的随机序列服从混合正态分布，因为虽然基于正态分布下GARCH模型也能解决波动率的异方差特性，但它在拟合数据的厚尾性和有偏性时显得不足，而混合正态分布既保留了正态分布的优良特性又能在一定程度上解决尖峰厚尾特性适当的改善正态分布低估风险价值的缺陷。再次，根据VaR模型的定义利用GARCH模型中随机序列基于混合正态分布的风险价值与金融资产收益率的风险价值的函数关系得到研究对象（金融资产或投资组合）的风险价值。最后，选取一组合适的股票数据（深证综指）利用本文研究方法进行实证分析并得出结论证明该方法的优越性。本文设计的这种新方法虽然在组合结构上较显复杂，但考虑问题较周全（尽可能地去减少以往模型中由于一些问题引起的模型误差），经过实证和比较也验证了该方法的合理性和周密性。
The financial market is developing rapidly and more and more people have already beenor are involved in it now. However, the fluctuation in financial market is obvious to people,taking stock as an example, the ups and downs of the price make the stock market changconstantly. So people are always facing with great risk while investing in finance.VaR is theabbreviation of value at risk. VaR method which is based on risk analysis and measurement inorder to avoid risk as much as possible is currently the principle method on financial riskmeasurement. Thus the calculation of VaR actually has great realistic significance, yetweather we can calculate it exactly is still a statistical problem which is worth to study andoptimize further.
The definition of VaR is the expected future maximum loss of some financial asset orportfolio within a certain period in normal market conditions and a given confidence level. Inother words, the financial asset or portfolio occurs or exceeds the value at risk only in thegiven probability level. As the definition shows, VaR method is closely related withpossibility statistics and can express the financial asset's or portfolio's maximum loss within acertain period in given possibility level using a calculated number. Although there are lots ofmethods to calculate VaR and each one has its own merits and drawbacks, yet it's still difficultto get a very accurate result, so we can only try our efforts to research constantly and considercomprehensively to reduce the error.
Aming at the characteristics of kurtosis and heteroscedasticity that financial timeseries often occurs, we plan to build ARMA-GARCH Model based on mixed normaldistribution in this paper. Firstly, the characteristic and form of ARMA-GARCH Model andits identification and the parameters' estimation will be introduced, as this model is the optimal one to resolve ARCH effect. Secondly, aming at the characteristics mentioned above,we assume that the random sequence of GARCH model obeys mixed normal distribution.Although GARCH model based on normal distribution can solve heteroscedasticity to somedegree, yet it's insufficient when fitting the data which has thick tail and partial characteristics.Instead, mixed normal distribution can not only retain the advantages of normal distributionbut also solve the kurtosis characteristic and thus improve the defect that normal distributionunderestimates value at risk. Thirdly, we will get the financial asset's or portfolio's value atrisk using the function relations between itself and the VaR of random sequences in GARCHmodel which has been calculated by the definition. At last, a suitable group of stockdata(Shenzhen composite index) will be selected for empirical analysis to get a conclusionwhich proves the superiority of the method we study in this paper. Maybe the compositestructure of this newly designed method seems a little complex, yet it's very comprehensive totry efforts to reduce the errors which are usually caused in the previous models, and after theempirical analysis and comparison with others this method is proved to be reasonable andaccurate.
引文
蔡茂祥.2009.证券投资基金的业绩评价及选择方法研究较.中国科技博览，(8):171-172.
杜海涛.2010.VaR模型在证券风险管理中的应用[J].证券市场导论,(8)：57-61.
王春峰.2001.《金融市场风险管理》.上海：上海财经大学出版社.
刘静.2002.我国股价指数风险价值实证分析.经济问题探索,（3）:70-73.
龙海明.2003《金融会计学》.成都：西南财经大学出版社.
景乃权，陈姝.2003.VaR模型及其在投资组合中的应用[J].财贸经济,（2）:68-71.
欧阳资生.2006.《极值估计在金融保险中的应用》.北京：中国经济出版社.
刘国光，王慧敏.2010.基于极值理论的沪深股市VaR和CVaR分析.财贸研究,(9):68-72.
刘群，史晓平，葛春蕾.2006.高频金融数据的标度分析.运筹与管理,15（4）:127-129.
卢方元.2005.金融资产收益率波动的统计特征.统计与决策,(02X):6-9.
王喜报，刘文奇.2009.基于EGARCHGED模型下的股市风险测度研究.昆明理工大学学报,34(2):102-107.
夏传文，张杰.2008.基于VaR的证券投资基金业绩评价指标及其实证研究.湖南商学院学报(双月刊)，15(3):94-99.
姚京，袁子甲，李仲飞，李端.2009. VaR风险度量下的β系数估计方法和实证研究.系统工程理论与实践，29(7)，27-34.
罗可，赵志学，童小娇.2010.带条件风险约束的发电商最优投标模型及计算.湖北大学学报(自然科学版），37（9）.49-54.
杨帆.2009.财务风险度量方法的思考和改进.金融管理，16(6):66.
刘建东，黄新爱.2007.寿险公司利率风险的度量.保险职业学院学报(双月刊),21(5)：24-25.
李倩，张飞涟.2009.基于风险价值VAR的BOT项目投融资风险分析.中南林业科技大学学报，29(5)：174-178.
张相闲.2010.基于极值理论的静态和动态风险度量模型的比较.统计与决策,(17):40-44.
廖菁，江辉，彭建春，苏键.2007.基于VaR和CVaR风险度量的发电商竞价策略.继电器，35(11):30-34、43.
周敏，王春锋，房振明.2008.基于VaR的现金流风险度量模型研究.管理科学，21（6）：101-111.
曲圣宁，田新石.2005.投资组合风险管理中VaR模型的缺陷以及CVaR模型研究.统计与决策,5(下):18-20.
胡杰，郭晓辉，邱亚光.2005.VaR与CVaR在商业银行风险度量中的比较分析及应用.金融论坛,5(5):40-44.
杨杰.2010.我国利率对股票价格指数影响的实证分析.金融经济,(1):95-97.
邱阳，林勇.2002.VaR模型及其在股票风险评估中的应用.重庆大学学报，8(2)：34-36.
杨霞.2008.中国股票市场风险评估中的应用.科技创新导报,(7):100-101.
曹勇，宁云才.2008.基子VaR模型的股票组合投资风险管理研究.商场现代化，(8):353-354.
杨鸿，郑立辉，黄渝祥.2001.股票承销业务中VaR的计算方法.同济大学学报，29（8）：920-923.
张怡.2008.证券公司风险监管制度有效性的实证研究.审计与经济研究，23(1):87-92.
邹建军，张宗益，秦拯.2003.GARCH模型在计算我国股市风险价值中的应用研究.系统工程理论与实践，23(5):20-25、135.
吕轶，陈荣达，刘剑波.2009.两类多元GARCH模型的预测绩效和组合VaR的研究.数学的实践与认识，39(20):41-46.
吴二洋.2010.基于GammaCF正态模型下的VaR在中国股票市场上的应用.沿海企业与科技，(1):13-14.
李志海，叶建萍，杨善朝.2009.基于ARMAGARCH+模型的风险价值与条件风险价值计算.广西科学,16(4):406-409.
陈剑利，叶东疆，周明华.2009.VaR在流动性风险测度中的运用.浙江工业大学学报，37（5）:586-590.
黄欢.2009.积极证券投资组合的VaR模型风险研究.管理学家，(12):13-14.
浦文剑.2010.基于VaR模型对我国沪深股市风险的测度与分析.大众商务，(2):56.
王凌涛，杨冬艳，彭兴汉.2010基于半参数GARCH的沪深两市收益率波动和风险的实证研究.金卡工程经济与法，14(3):308-309.
桂文林，韩兆洲，潘庆年.2010.基于熵最大原则的GPD估计与中国股市极值风险测度.统计与信息论坛，25(6):50-57.
郝睿，李晨光.2010.上证综指波动率的估计——基于GARCH11模型的研究.科技情报开发经济，20(11):103-104.
王新宇，赵绍娟.2008.基于分位数回归模型的沪深股市风险测量研究.中国矿业大学学报，37(3):416-421.
田秋荣栾长福.2009.基于SV模型的沪深股市风险分析.科技技术与工程，9（10）：2834-2837.
刘明.2010.中国股票市场风险价值分析——基于GARCH模型的测度方法.发展，（7）：100-101.
王磊.2009.沪港台股市波动资本运营比较实证研究.金融经济,(3):85-87.
王新宇，宋学锋，吴瑞明.2010基于AAVSCAViaR模型的股市风险测量研究.系统工程学报，25(3):326-333.
李福贵.2010.上海股票市场风险因子数量研究——基于APT模型的分析.消费导刊，(3):98.
吴佳佳.2010.基于EGARCH模型的股指实证分析.黑龙江科技信息，(9):94-95.
石芸张曙光.2009.基于下界VaR对沪深股市市场风险的实证研究.运筹与管理，18（6）：131-135.
斯叶青，李能.2010.股票市场收益跳跃性风险研究.全球科技经济瞭望，25(4):43-50.
王吉培，杨远，肖宏伟.2009.基于IGARCH投影寻踪回归的国际油价走势拟合模型.统计与决策，(5):49-51.
花拥军，张宗益.2010.基于峰度法的POT模型对沪深股市极端风险的度量.系统工程理论与实践，30(5):786-796.
王新宇，宋学锋.2009.基于贝叶斯分位数回归的市场风险测度模型与应用.系统管管理学报，18（1）:40-48.
冯金余.2009.基于DCCMVGARCH模型的证券组合VaR测度与拓展模型.保险职业学院学报，24(2):64-71.
李萌，叶俊.2003.中国股票市场风险的实证分析研究.数理统计与管理，22(4):12-23.
胡彦梅，张卫国，陈建忠.2005.金融市场波动性的拟合分析.数理统计与管理，24（2）：88-93.
曲圣宁，田新石.2005.投资组合风险管理中VaR模型的缺陷以及CVaR模型研究.统计与决策，(10):18-20.
徐光林.2009.我国银行间短期债券回购利率风险的度量研究——基于内部模型法VaR分析.新金融，26-31.
张璐，吴怡平.2007.基于GARCH的VaR模型计算铝期货合约最佳保证金比例.理论探讨，（9）:22-23.
张宝平.2009.基于GARCH族模型的深圳股市波动性分析.黑龙江对外经贸,(10):146-148.
曾素芬.2009.基于VaR模型的保险投资风险度量与绩效评价.江西财经大学学报，(5)：48-52.
朱宏泉，李亚静.2001.Value at risk模型及其在香港股市中的实证分析[J].预测，(2)：29-33.
郑明川.2003.《期货交易的理论与实务》.浙江：浙江大学出版社.
Artzner.1999.P.Coherent measure of risk[J]．Math．Finanee.208-228.
Bai, X., Russel, J.R., and Tiao, G.C.(2003). The kurtosis of GARCH and stochastic volatilitymodels. Journal of Econometrics,114,349-360.
Bollerslev T.1986.Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity. Journal ofEconometrics.307—327.
Duan, J.C.1995. The GARCH option pricing model. Mathematical Finance,(5):13-32、34.
杜海涛.2010.VaR模型在证券风险管理中的应用[J].证券市场导论,(8)：57-61.
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周敏，王春锋，房振明.2008.基于VaR的现金流风险度量模型研究.管理科学，21（6）：101-111.
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胡彦梅，张卫国，陈建忠.2005.金融市场波动性的拟合分析.数理统计与管理，24（2）：88-93.
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徐光林.2009.我国银行间短期债券回购利率风险的度量研究——基于内部模型法VaR分析.新金融，26-31.
张璐，吴怡平.2007.基于GARCH的VaR模型计算铝期货合约最佳保证金比例.理论探讨，（9）:22-23.
张宝平.2009.基于GARCH族模型的深圳股市波动性分析.黑龙江对外经贸,(10):146-148.
曾素芬.2009.基于VaR模型的保险投资风险度量与绩效评价.江西财经大学学报，(5)：48-52.
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郑明川.2003.《期货交易的理论与实务》.浙江：浙江大学出版社.
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