一维双曲型方程的组合差商法及其在二维中的推广
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摘要
本文针对一维和二维双曲型方程的初边值问题，设计了几类高效率串行格式和并行算法。
首先，运用组合差商算法给出了求解一维双曲型方程的一类显式差分格式，其精度一般为o(τ~3+h~3)，最高精度为o(τ~4+h~4)。其次，构造了求解双曲型方程u_t+au_x=0的初边值问题的一组含双参数的分组并行算法(GE、GEL、GER)，格式的局部截断误差阶一般为o(τ+h)，当β=1、1-(4/r~2)＜α＜1时，稳定性条件为r＞0；当β=1、1-(4/r~2)=α＜1时，稳定性条件为r＞0且r≠1。特别当α=1/2、β=r-1/2r时，GE、GEL、GER格式的局部截断误差阶为o(τ~2+h~2)，稳定性条件为0＜r≤4/3。最后，构造了求解二维双曲型方程u_t+au_x+bu_y=0的初边值问题的一组分组并行算法(GE、GEL、GER)，格式的局部截断误差阶一般为o(τ+h)，稳定性条件为0＜r≤1。本文对各格式都进行了数值例子计算，验证了理论分析的结果。
本文所构造的差分格式较以往的格式，精度有了很大的提高，稳定性条件也比较好。
In this paper, I design a series of high-efficiency serial schemes and parallel algorithms for one-dimension and two-dimension hyperbolic equation.Firstly, a new kind of explicit difference scheme for one-dimension hyperbolic equation is proposed. The truncation error of the scheme is of ordero(τ~4 + h~4) .Secondly, a class of group parallel algorithms(GE、GEL、GER) containing biparameters are constructed for solving the hyperbolio equation u_t + au_x = 0. Thelocal truncation error is always of order o(τ+ h) ,The stability condition is r > 0withβ=1、1- 4/r~2<α<1 The stability condition is r>0 and r≠1 withβ=1、1-4/r~2 =α< 1. The local truncation error is of order o(τ~2 + h~2) withα= 1/2、β=(r-1)/(2r), The stability condition is 0 < r≤4/3 withα=1/2、β= (r-1)/(2r). In the end,a class of group parallel algorithms(GE、GEL、GER) are constructed for solving the two-dimensional hyperbolio equation u_t + au_x +bu_y=0 in this paper. The localtruncation error is always of order o(τ+ h) ,The stability condition is 0 < r≤1. Inthis paper, every type scheme is given numerical compute, and the result validates the theory analysis.
In this paper, the difference schemes are better than those of before at precise and stability.
首先，运用组合差商算法给出了求解一维双曲型方程的一类显式差分格式，其精度一般为o(τ~3+h~3)，最高精度为o(τ~4+h~4)。其次，构造了求解双曲型方程u_t+au_x=0的初边值问题的一组含双参数的分组并行算法(GE、GEL、GER)，格式的局部截断误差阶一般为o(τ+h)，当β=1、1-(4/r~2)＜α＜1时，稳定性条件为r＞0；当β=1、1-(4/r~2)=α＜1时，稳定性条件为r＞0且r≠1。特别当α=1/2、β=r-1/2r时，GE、GEL、GER格式的局部截断误差阶为o(τ~2+h~2)，稳定性条件为0＜r≤4/3。最后，构造了求解二维双曲型方程u_t+au_x+bu_y=0的初边值问题的一组分组并行算法(GE、GEL、GER)，格式的局部截断误差阶一般为o(τ+h)，稳定性条件为0＜r≤1。本文对各格式都进行了数值例子计算，验证了理论分析的结果。
本文所构造的差分格式较以往的格式，精度有了很大的提高，稳定性条件也比较好。
In this paper, I design a series of high-efficiency serial schemes and parallel algorithms for one-dimension and two-dimension hyperbolic equation.Firstly, a new kind of explicit difference scheme for one-dimension hyperbolic equation is proposed. The truncation error of the scheme is of ordero(τ~4 + h~4) .Secondly, a class of group parallel algorithms(GE、GEL、GER) containing biparameters are constructed for solving the hyperbolio equation u_t + au_x = 0. Thelocal truncation error is always of order o(τ+ h) ,The stability condition is r > 0withβ=1、1- 4/r~2<α<1 The stability condition is r>0 and r≠1 withβ=1、1-4/r~2 =α< 1. The local truncation error is of order o(τ~2 + h~2) withα= 1/2、β=(r-1)/(2r), The stability condition is 0 < r≤4/3 withα=1/2、β= (r-1)/(2r). In the end,a class of group parallel algorithms(GE、GEL、GER) are constructed for solving the two-dimensional hyperbolio equation u_t + au_x +bu_y=0 in this paper. The localtruncation error is always of order o(τ+ h) ,The stability condition is 0 < r≤1. Inthis paper, every type scheme is given numerical compute, and the result validates the theory analysis.
In this paper, the difference schemes are better than those of before at precise and stability.
引文
[1] 马明书，申培萍，对流方程的半显式格式[J]，河南师范大学学报(自然科学版)，2000年11月Vol．28 No．4．
[2] 方春华，双曲型方程在乘积差商空间的高精度组合差商算法研究[J]，贵州大学2005届硕士研究生学位论文，分类号：024182，论文编号：200201091．
[3] 方春华，张大凯，双曲型方程的一类分组显示并行算法[J]，贵州科学，2006年24卷3期．
[4] 方春华，张大凯，双曲型方程的组合差商解法[J]，贵州大学学报(自然科学版)2004年21卷2期．
[5] 刘百良，一阶双曲型方程的AGE方法[J]，计算物理，1998，15(1)：101-106．
[6] 刘轶中，张大凯，双曲型方程的一类三层五点高精度显格式[J]，贵州大学学报(自然科学版)，2006年·Vol．23 No．2．
[7] 刘轶中，张大凯，求解双曲型方程的并行算法[J]，湖南工程学院学报，2007年Vol．23 No．3(已接受，待发表)．
[8] 邬华谟，二次多项式根的Schur-Cohn定理和Miller定理的初等证明[J]，数值计算与计算机应用，1982年3月第1期．
[9] 何荣禄，张大凯，求解扩散一对流方程的一类较简单的格式[J]，西南交通大学学报，1989年1期，起止页码：91-96．
[10] 张大凯，扩散传输方程的一种亚恒稳定显格式[J]，贵州大学学报(自然科学版)，1989年6卷4期，起止页码：201-205．
[11] 张大凯，色散方程的一类具任意稳定性的显格式[J]，计算物理，1994年11卷1期，起止页码：85-90．
[12] 张大凯，李洪林，求解对流扩散方程的两层半显式差分格式[J]，贵州科学，1991年9卷1期，起止页码：5-12．
[13] 张大凯，求解色散方程的两类带参数的三层显格式[J]，高等学校计算数学学报，1994年16卷1期；起止页码：27-34．
[14] 张天德，对流方程的离散化问题[J]，山东大学学报(工学版)，2002年10月Vol．32 No．5．
[15] 张宝琳，谷同祥，莫则尧，微分方程数值并行计算[M]，国防工业出版社，1998年．
[16] 张宝琳，袁国兴，刘兴平等，偏微分方程并行有限差分方法[M]，北京：科学出版社，1994．
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[19] 李晓梅，蒋增荣。并行算法[M]。长沙：湖南科技出版社，1992．
[20] 苏敏，马菊意，对流方程的两个高精度显式差分格式[J]，河南教育学院学报(自然科学版)，2000年11月Vol．28 No．4．
[21] 陆金甫，关治，偏微分方程数值解法[M]，清华大学出版社，2004年1月第二版．
[22] 武蔚文，张大凯，Schrodinger型方程的显式差分格式[J]，贵州大学学报(自然科学版)，1990年7卷1期，起止页码：15-20．
[23] 武蔚文，张大凯，传输扩散方程的差分格式[J]，计算机应用，1989年5期，起止页码：13-15．
[24] 金承日，丁效华，张少太，双曲型方程的有限差分并行迭代算法[J]，哈尔滨工业大学学报 Vol．34 No．3 Jun．2002．
[25] 金承日，解对流方程的子域精细积分并行算法[J]，计算力学学报，Vol．19 NO．4 November 2002．
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[28] 秦新强，李秋芳，对流方程的一种特征差分算法[J]，西安理工大学学报(自然科学版)，(2001)Vol．17 No．4．
[29] 曾文平，对流方程的一类新的恒稳差分格式[J]，华侨大学学报(自然科学版)，1997年7月Vol．18 No．3．
[30] 谭畅，刘播，解双曲型方程的几种并行算法[J]，工程数学学报(科学计算专刊)，Dec．2004 Vol．21 No．8．
[31] 戴嘉尊，邱建贤，微分方程数值解法[M]，东南大学出版社，2002年2月第一版．
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[38] M. Holmstrom, Solving hyperbolic PDEs using interpolating wave]ors[J], SI-AM J. Sci. Comput. 21(1999), pp. 405-420.
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[40] Per Lotstedt, Stefan Soderberg, Alison Ramage, Lina Hemmingsson-Franden, Implicit Solution of Hyperbolic Equations with Space-Time Adaptivity[J], BIT Numerical Mathematics, 2002, Vol. 42, No. 1, pp. 134-158.
[41] P. Lotstedt and S. Soderberg, Parallel solution oF hyperbolic PDEs with space-time adaptivity, in Finite Volumes for Complex Applications Ⅱ[J], R Vislsmeier, F. Benkhal doun, and D. Hanel, eds., Hermes, Paris, 1999, PP. 769-776.
[42] Wang H H. A parallel method for triagonag equations. ACM Trans[J]. Math. Software, 1981, 7: 170-183.
[43] Zhang Tiande, Wang Wei. Further Rurther Research on difference Schemes Of U_t=aU_(xx).[J], J. Math. for Tech. 1998, 14(3): 19～25.
[44] Zingg D M, Lomax H, Jurgens H M. High-accuracy finite-Differ-ence sc-hemes for linear wave propagation[J]. SIAM J. Sci. Co-mput., 1996, 17: 328～346.
1：《双曲型方程的一类三层五点高精度显格式》，贵州大学学报(自然科学版)，2006年Vol．23 No．2。
2：《求解双曲型方程的并行算法》，湖南工程学院学报，2007年Vol．23 No．3(己接受，待发表)。
3：《解双曲型方程的分组显式格式》，已投稿，待发表。
4：《二维双曲型方程的分组并行格式》，已投稿，待发表。
[2] 方春华，双曲型方程在乘积差商空间的高精度组合差商算法研究[J]，贵州大学2005届硕士研究生学位论文，分类号：024182，论文编号：200201091．
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[12] 张大凯，李洪林，求解对流扩散方程的两层半显式差分格式[J]，贵州科学，1991年9卷1期，起止页码：5-12．
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[24] 金承日，丁效华，张少太，双曲型方程的有限差分并行迭代算法[J]，哈尔滨工业大学学报 Vol．34 No．3 Jun．2002．
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[28] 秦新强，李秋芳，对流方程的一种特征差分算法[J]，西安理工大学学报(自然科学版)，(2001)Vol．17 No．4．
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[38] M. Holmstrom, Solving hyperbolic PDEs using interpolating wave]ors[J], SI-AM J. Sci. Comput. 21(1999), pp. 405-420.
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[40] Per Lotstedt, Stefan Soderberg, Alison Ramage, Lina Hemmingsson-Franden, Implicit Solution of Hyperbolic Equations with Space-Time Adaptivity[J], BIT Numerical Mathematics, 2002, Vol. 42, No. 1, pp. 134-158.
[41] P. Lotstedt and S. Soderberg, Parallel solution oF hyperbolic PDEs with space-time adaptivity, in Finite Volumes for Complex Applications Ⅱ[J], R Vislsmeier, F. Benkhal doun, and D. Hanel, eds., Hermes, Paris, 1999, PP. 769-776.
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[43] Zhang Tiande, Wang Wei. Further Rurther Research on difference Schemes Of U_t=aU_(xx).[J], J. Math. for Tech. 1998, 14(3): 19～25.
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3：《解双曲型方程的分组显式格式》，已投稿，待发表。
4：《二维双曲型方程的分组并行格式》，已投稿，待发表。