辛算法及其相位飘移性质的研究
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摘要
自从冯康和Ruth提出了求解Hamilton系统的辛算法后，国内外学者对辛和多辛算法的研究已经取得了很大的成就。辛几何算法的主要特点有：
①保持原有系统的结构，具有长期的跟踪能力，因此在长期计算中可以验证计算结果的准确性；
②挖掘辛几何规律，若能赋予相应的物理意义，便有可能发现和发掘新的自然规律。
保守体系应该保辛，Hamilton体系是保守体系，因此有必要探讨应用辛算法来解决各类Hamilton系统中的规律挖掘问题。本文2～4章是学术研究论文，作者在文中取得了一系列的创新成果，主要是从理论上分析了一般的字母型偶数阶线性Hamilton系统的辛算法飘移性及其规律。利用辛算法的保结构性，将迭代矩阵作同构变形，通过比对精确解与近似解，得到飘移量公式。建立了纠飘算法，相应的数值计算结果令人满意。本文的第5章，是作者按照“上海交通大学数学系硕士研究生毕业要求”的条例完成的，是在阅读、理解大量科技文献后经思考、提炼而撰写的综合报告，主要综述了辛算法在小参数摄动、非线性ODE摄动、振动系统、最优控制系统中的应用背景及其辛精细与辛RK算法。主要工作是将不同背景下的实际问题转化为线性Hamilton系统，选取合适的辛差分格式求解。数值算例表明了:辛算法在线性Hamilton系统中的相位飘移性质是具有普适性的。
Scholars at home and abroad have scored great successes insymplectic and multi-symplectic methods since Fengkang and Ruthproposed symplectic algorithm for Hamilton systems.
One of the most important characteristics of the algorithm ofsymplectic geometry is its structure conservation and long-term trackingability. So its accuracy of the results can be shown in secular computing.
The other is its symplectic geometry laws. We may discover newnature laws with the given physical meaning.
A coservative system should be symplectic conservative. Hamiltonsystem is a conservative system so symplectic algorithm can be used inthe solutions to the research on mining symplectic laws of Hamiltonsystems.
This paper 2～4 chapters were the dissertation research the author hasyielded a series of innovation results in this paper. The theoretical proofof phase shift is proposed aiming at the general type of letters for evevorder linear Hamilton systems with periodic solutions mainly. The phaseshift formulas are given by matching exact solutions and approximatesolutions and using homogeneous deformation for interative matrixaccording to the structive preserving algorithms of symplectic geometry.The essence of phase shift of symplectic algotithm and the correctionshift method are given. Finally a numerical result demonstrate phase shifeof symplectic algorithm. The fifth chapter mainly are defer to“Shanghaijiaotong University math department master the graduatestudent to raise the rule”to complete. After reading and understandingmassive science and technology literature the general report which after the ponder the refinement completes. The fifth chapter which is thegeneral report emphasizes that the application backgrounds of symplecticalgorithm should be considered in small parameter perturbation method,the perturbation of nonlinear systems in ODE, vibration systems andoptimal control systems besides precise symplectic algorithm andsymplectic Runge-Kutta methods. The main idea is to transform thedifferent problems into linear Hamilton systems and solve them withsuitable symplectic difference schemes. Numerical analyses are carriedout to illustrate phase shift of symplectic algorithm in the solution oflinear Hamilton systems.
①保持原有系统的结构，具有长期的跟踪能力，因此在长期计算中可以验证计算结果的准确性；
②挖掘辛几何规律，若能赋予相应的物理意义，便有可能发现和发掘新的自然规律。
保守体系应该保辛，Hamilton体系是保守体系，因此有必要探讨应用辛算法来解决各类Hamilton系统中的规律挖掘问题。本文2～4章是学术研究论文，作者在文中取得了一系列的创新成果，主要是从理论上分析了一般的字母型偶数阶线性Hamilton系统的辛算法飘移性及其规律。利用辛算法的保结构性，将迭代矩阵作同构变形，通过比对精确解与近似解，得到飘移量公式。建立了纠飘算法，相应的数值计算结果令人满意。本文的第5章，是作者按照“上海交通大学数学系硕士研究生毕业要求”的条例完成的，是在阅读、理解大量科技文献后经思考、提炼而撰写的综合报告，主要综述了辛算法在小参数摄动、非线性ODE摄动、振动系统、最优控制系统中的应用背景及其辛精细与辛RK算法。主要工作是将不同背景下的实际问题转化为线性Hamilton系统，选取合适的辛差分格式求解。数值算例表明了:辛算法在线性Hamilton系统中的相位飘移性质是具有普适性的。
Scholars at home and abroad have scored great successes insymplectic and multi-symplectic methods since Fengkang and Ruthproposed symplectic algorithm for Hamilton systems.
One of the most important characteristics of the algorithm ofsymplectic geometry is its structure conservation and long-term trackingability. So its accuracy of the results can be shown in secular computing.
The other is its symplectic geometry laws. We may discover newnature laws with the given physical meaning.
A coservative system should be symplectic conservative. Hamiltonsystem is a conservative system so symplectic algorithm can be used inthe solutions to the research on mining symplectic laws of Hamiltonsystems.
This paper 2～4 chapters were the dissertation research the author hasyielded a series of innovation results in this paper. The theoretical proofof phase shift is proposed aiming at the general type of letters for evevorder linear Hamilton systems with periodic solutions mainly. The phaseshift formulas are given by matching exact solutions and approximatesolutions and using homogeneous deformation for interative matrixaccording to the structive preserving algorithms of symplectic geometry.The essence of phase shift of symplectic algotithm and the correctionshift method are given. Finally a numerical result demonstrate phase shifeof symplectic algorithm. The fifth chapter mainly are defer to“Shanghaijiaotong University math department master the graduatestudent to raise the rule”to complete. After reading and understandingmassive science and technology literature the general report which after the ponder the refinement completes. The fifth chapter which is thegeneral report emphasizes that the application backgrounds of symplecticalgorithm should be considered in small parameter perturbation method,the perturbation of nonlinear systems in ODE, vibration systems andoptimal control systems besides precise symplectic algorithm andsymplectic Runge-Kutta methods. The main idea is to transform thedifferent problems into linear Hamilton systems and solve them withsuitable symplectic difference schemes. Numerical analyses are carriedout to illustrate phase shift of symplectic algorithm in the solution oflinear Hamilton systems.
引文
[1]邢誉峰杨蓉.单步辛算法的相位误差分析及修正[J].力学学报，2007，39(5)：668-671.
[2]罗务揆邢誉峰杨蓉.辛算法在随机振动响应求解中的应用[J].航空动力学报，2008，23(1)：37-43.
[3]曾进周钢.精细辛算法[J].上海交通大学学报，1997，31(9)：31-33.
[4]丁克伟.哈密尔顿矩阵特征谱问题的辛算法[J].合肥工业大学学报：自然科学版，2000，23(3)：336-340.
[5]刘学深丁培柱.量子系统保结构计算新进展[J].自然科学进展：2004，14(7)：573-581.
[6]丁克伟.哈密尔顿矩阵特征谱问题的辛算法[J].合肥工业大学学报：自然科学版，2000，23(3)：336-340.
[7]秦孟兆.辛几何及计算哈密顿力学[J].力学与实践，1990，12(6)：1-20.
[8]朱大训.关于一类辛不变矩阵的谱分析及基本迭代过程的收敛性分析[J].高等学校计算数学学报, 1993, 15(3), 250 .
[9]黄伟江弹性梁动力响应分析的一种辛算法中山大学学报：自然科学版2002，41(3)：5-8
[10]吴永、胡继云等多体系统动力学方程在流形上的辛算法力学进展2002，32(2)：189-195
[11]罗恩、黄伟江等相空间非传统Hamilton型变分原理与辛算法中国科学：A辑2002，32(12)：1119-1126
[12]刘学深、刘晓艳等辛格式在强激光场一维模型问题计算中的应用强激光与粒子束2002，14(1)：21-25
[13]吴永、胡继云等多体系统动力学方程在流形上的辛分离法重庆大学学报：自然科学版2002，25(3)：120-122
[14]余德浩计算数学与科学工程计算及其在中国的若干发展数学进展2002，31(1)：1-6
[15]吴韬、居冠之等辛算法在准经典轨迹计算中的应用：H＋H2体系中国科学：B辑2002，32(1)：46-50
[16]王斌、肖庆农等大气动力学方程的Hamilton算法计算物理2001，18(4)：289-297
[17]罗明秋、刘洪等基于螺旋线上谱因式分解的地震波场隐式辛算法地球物理学报2001，44(3)：379-388
[18]高亮、陈旭荣地震射线辛几何算法初探地球物理学报2000，43(3)：402-410
[19]丁克伟哈密尔顿矩阵特征谱问题的辛算法合肥工业大学学报：自然科学版2000，23(3)：336-340
[20]牟其善、于元勋谐振子含时薛定谔方程的辛算法研究临沂师范学院学报2000，22(3)：20-22
[21]文舸一辛算法及其在电磁场方程中的应用微波学报1999，15(1)：68-69
[22]刘林、季江微近地小行星轨道演化的数值研究与辛算法有效性的探讨天文学报1998，39(2)：141-152
[23]刘林关于太阳系小天体轨道演化的算法研究紫金山天文台台刊1997，16(2)：82-94
[24]石爱民、母英魁N2双原子系统经典轨迹的辛算法计算计算物理1997，14(4)：433-434
[25]刘林、廖新浩辛算法在近地小行星轨道演化数值研究中的应用计算物理1997，14(4)：649-651
[26]王琪、黄克累树形多体Hamilton系统辛算法计算物理1997，14(1)：35-39
[27]刘林、季江徽关于近地小行星轨道演化的初步探索天文学报1997，38(4)：337-352
[28]曾文平、郑小红梁振动方程的多辛算法漳州师范学院学报：自然科学版2003，16(4)：1-5,8
[29]蒋长锦、薛兴恒辛算法在地震物探中的应用中国科学技术大学学报1996，26(2)：220-227
[30]吴洪涛、刘又午多刚体系统动力学的正则方程与辛算法南京航空航天大学学报1996，28(1)：45-52
[31]隆克平、廖晓峰基于Pade逼近的辛算法重庆邮电学院学报：自然科学版1995，7(2)：42-48
[32]顾斌铨、刘林动力天文中几种辛算法的比较人造卫星观测与研究1994(1)：1-8
[33]廖新浩、刘林一种改进的显式辛算法计算物理1994，11(2)：212-218
[34]刘林、赵长印辛算法在动力天文中的应用（Ⅲ）天文学报1994，35(1)：51-66
[35]李延欣、丁培柱A2B模型分子红典轨迹的辛算法计算高等学校化学学报1994，15(8)：1181-1186
[36]丁培柱、吴承埙量子系统的辛算法吉林大学自然科学学报1993(4)：75-78
[37]廖新浩、赵长印辛算法在LCN计算中的应用天文学报1993，34(2)：198-201
[38]赵长印、廖新浩辛积分方法在动力天文中的应用天文学报1992，33(1)：36-47
[39]赵长印、刘林关于辛算法的变步长问题紫金山天文台台刊1991，10(3)：196-203
[40]张兴武、武际可等自治Birkhoff系统的广义正则变换和辛算法研究应用数学和力学2002，23(9)：915-920
[41]胡伟鹏、邓子辰、吴子燕、侯秀慧桥梁在移动荷载作用下动力学响应的广义多辛算法振动与冲击2008，27(4)：66-69,94
[42]刘世兴、郭永新、刘畅一类特殊非完整力学系统的辛算法计算物理学报2008，57(3)：1311-1315
[43]王玲书、冯光辉辛算法应用于Duffing方程的保结构性军械工程学院学报2008，20(1)：72-74
[44]曾文平、秦孟兆等“Good”Boussinesq方程的多辛算法应用数学和力学2002，23(7)：743-748
[45]吴丽君、刘世兴、刘学深、丁培柱强激光场中异核氢分子离子HD^＋的动力学行为的研究沈阳理工大学学报2007，26(6)：74-77
[46]王秀凤高维Schrodinger方程的辛格式西南民族大学学报：自然科学版2007，33(4)：728-731
[47]代海涛、程伟、李明志Hamilton体系下的功能梯度电磁弹性固体内的导波研究振动与冲击2007，26(12)：79-83,116
[48]王秀凤、张磊非线性Schodinger方程的辛算法西南民族大学学报：自然科学版2007，33(5)：1035-1039
[49]罗恩、黄伟江、朱慧坚Hamilton弹性动力学及其辛算法——一个新学科研究的进展中山大学学报：自然科学版2003，42(5)：131-132
[50] Peter Gortz.Backward error analysis of symplectic integratorsfor linear separable Hamiltion systems. Journal of ComputationalMathematics,2002,20(5):449-460
[51] Sun G.A simple way constructing symplectic Runge-Kutta methods.J Comput Math,2000,18:61
[52] Sun G. Construction of higher order symplectic Runge-Kuttamethods. J Comput Math,1993,11:365
[53] Bathe KJ,Wilson EL. Numerical Methods in Finite Element Analysis.
[2]罗务揆邢誉峰杨蓉.辛算法在随机振动响应求解中的应用[J].航空动力学报，2008，23(1)：37-43.
[3]曾进周钢.精细辛算法[J].上海交通大学学报，1997，31(9)：31-33.
[4]丁克伟.哈密尔顿矩阵特征谱问题的辛算法[J].合肥工业大学学报：自然科学版，2000，23(3)：336-340.
[5]刘学深丁培柱.量子系统保结构计算新进展[J].自然科学进展：2004，14(7)：573-581.
[6]丁克伟.哈密尔顿矩阵特征谱问题的辛算法[J].合肥工业大学学报：自然科学版，2000，23(3)：336-340.
[7]秦孟兆.辛几何及计算哈密顿力学[J].力学与实践，1990，12(6)：1-20.
[8]朱大训.关于一类辛不变矩阵的谱分析及基本迭代过程的收敛性分析[J].高等学校计算数学学报, 1993, 15(3), 250 .
[9]黄伟江弹性梁动力响应分析的一种辛算法中山大学学报：自然科学版2002，41(3)：5-8
[10]吴永、胡继云等多体系统动力学方程在流形上的辛算法力学进展2002，32(2)：189-195
[11]罗恩、黄伟江等相空间非传统Hamilton型变分原理与辛算法中国科学：A辑2002，32(12)：1119-1126
[12]刘学深、刘晓艳等辛格式在强激光场一维模型问题计算中的应用强激光与粒子束2002，14(1)：21-25
[13]吴永、胡继云等多体系统动力学方程在流形上的辛分离法重庆大学学报：自然科学版2002，25(3)：120-122
[14]余德浩计算数学与科学工程计算及其在中国的若干发展数学进展2002，31(1)：1-6
[15]吴韬、居冠之等辛算法在准经典轨迹计算中的应用：H＋H2体系中国科学：B辑2002，32(1)：46-50
[16]王斌、肖庆农等大气动力学方程的Hamilton算法计算物理2001，18(4)：289-297
[17]罗明秋、刘洪等基于螺旋线上谱因式分解的地震波场隐式辛算法地球物理学报2001，44(3)：379-388
[18]高亮、陈旭荣地震射线辛几何算法初探地球物理学报2000，43(3)：402-410
[19]丁克伟哈密尔顿矩阵特征谱问题的辛算法合肥工业大学学报：自然科学版2000，23(3)：336-340
[20]牟其善、于元勋谐振子含时薛定谔方程的辛算法研究临沂师范学院学报2000，22(3)：20-22
[21]文舸一辛算法及其在电磁场方程中的应用微波学报1999，15(1)：68-69
[22]刘林、季江微近地小行星轨道演化的数值研究与辛算法有效性的探讨天文学报1998，39(2)：141-152
[23]刘林关于太阳系小天体轨道演化的算法研究紫金山天文台台刊1997，16(2)：82-94
[24]石爱民、母英魁N2双原子系统经典轨迹的辛算法计算计算物理1997，14(4)：433-434
[25]刘林、廖新浩辛算法在近地小行星轨道演化数值研究中的应用计算物理1997，14(4)：649-651
[26]王琪、黄克累树形多体Hamilton系统辛算法计算物理1997，14(1)：35-39
[27]刘林、季江徽关于近地小行星轨道演化的初步探索天文学报1997，38(4)：337-352
[28]曾文平、郑小红梁振动方程的多辛算法漳州师范学院学报：自然科学版2003，16(4)：1-5,8
[29]蒋长锦、薛兴恒辛算法在地震物探中的应用中国科学技术大学学报1996，26(2)：220-227
[30]吴洪涛、刘又午多刚体系统动力学的正则方程与辛算法南京航空航天大学学报1996，28(1)：45-52
[31]隆克平、廖晓峰基于Pade逼近的辛算法重庆邮电学院学报：自然科学版1995，7(2)：42-48
[32]顾斌铨、刘林动力天文中几种辛算法的比较人造卫星观测与研究1994(1)：1-8
[33]廖新浩、刘林一种改进的显式辛算法计算物理1994，11(2)：212-218
[34]刘林、赵长印辛算法在动力天文中的应用（Ⅲ）天文学报1994，35(1)：51-66
[35]李延欣、丁培柱A2B模型分子红典轨迹的辛算法计算高等学校化学学报1994，15(8)：1181-1186
[36]丁培柱、吴承埙量子系统的辛算法吉林大学自然科学学报1993(4)：75-78
[37]廖新浩、赵长印辛算法在LCN计算中的应用天文学报1993，34(2)：198-201
[38]赵长印、廖新浩辛积分方法在动力天文中的应用天文学报1992，33(1)：36-47
[39]赵长印、刘林关于辛算法的变步长问题紫金山天文台台刊1991，10(3)：196-203
[40]张兴武、武际可等自治Birkhoff系统的广义正则变换和辛算法研究应用数学和力学2002，23(9)：915-920
[41]胡伟鹏、邓子辰、吴子燕、侯秀慧桥梁在移动荷载作用下动力学响应的广义多辛算法振动与冲击2008，27(4)：66-69,94
[42]刘世兴、郭永新、刘畅一类特殊非完整力学系统的辛算法计算物理学报2008，57(3)：1311-1315
[43]王玲书、冯光辉辛算法应用于Duffing方程的保结构性军械工程学院学报2008，20(1)：72-74
[44]曾文平、秦孟兆等“Good”Boussinesq方程的多辛算法应用数学和力学2002，23(7)：743-748
[45]吴丽君、刘世兴、刘学深、丁培柱强激光场中异核氢分子离子HD^＋的动力学行为的研究沈阳理工大学学报2007，26(6)：74-77
[46]王秀凤高维Schrodinger方程的辛格式西南民族大学学报：自然科学版2007，33(4)：728-731
[47]代海涛、程伟、李明志Hamilton体系下的功能梯度电磁弹性固体内的导波研究振动与冲击2007，26(12)：79-83,116
[48]王秀凤、张磊非线性Schodinger方程的辛算法西南民族大学学报：自然科学版2007，33(5)：1035-1039
[49]罗恩、黄伟江、朱慧坚Hamilton弹性动力学及其辛算法——一个新学科研究的进展中山大学学报：自然科学版2003，42(5)：131-132
[50] Peter Gortz.Backward error analysis of symplectic integratorsfor linear separable Hamiltion systems. Journal of ComputationalMathematics,2002,20(5):449-460
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[52] Sun G. Construction of higher order symplectic Runge-Kuttamethods. J Comput Math,1993,11:365
[53] Bathe KJ,Wilson EL. Numerical Methods in Finite Element Analysis.