彼得堡数学学派的概率思想研究
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摘要
彼得堡数学学派系彼得堡科学院院士切比雪夫所创立的俄罗斯数学家研究团体，是俄罗斯在数学领域创建最早、实力最强、影响最大的学派。彼得堡数学学派继承和发展了古典概率论之精华，拯救了濒临危机的概率论；变革和制定了一系列研究方法，振兴了概率论学科；提出和创立了概率论新思想，开拓了概率论新领域。
资料的限制、语言的困难和文化的差异使得国内外系统研究彼得堡数学学派概率思想者还甚少，有关资料相当匮乏，一些相关论述大都出现在综合性的书籍中，倾向于按照现代数学的习惯给出一般性的解释，且多为简要性介绍，读者难以了解其精髓所在。鉴于彼得堡数学学派在概率论发展史上的重要地位，本文以概率论思想为主线，对其概率思想的发展进行了系统而全面的分析和研究。主要成果为：
(1)以“为什么数学”为切入点，用比较研究和史料分析的方法揭示出彼得堡数学学派振兴概率论学科的主要因素。彼得堡数学学派对概率论的发展赖于西欧尤其是法国先进的数学文化影响、俄罗斯良好的数学文化背景、彼得堡数学学派正确的世界观和方法论、切比雪夫超凡的影响力、学派成员间的互相合作和群体竞争以及概率论的内在矛盾等。
(2)运用内史和外史相结合、学派整体和数学家相结合、概率思想和文化背景相结合等研究方法探讨了彼得堡数学学派的学术范式及其概率思想的演化过程；论证了彼得堡数学学派概率思想之精髓为精确估计在极限状态下的试验偏差。在其概率思想指导下，彼得堡数学学派严格论证了大数定理理论、完善了古典中心极限定理的理论体系、创立了马尔可夫链模型、发展了数理统计理论、首次提出概率论的公理化体系等。
(3)注重学科间的交叉融合，讨论了相关概率思想与哲学、社会、宗教及相关学科的联系。试图从概率论哲学视角揭示彼得堡数学学派成员概率思想的轨迹，展示概率论与其它学科相结合的理论意义。
(4)通过对英、俄和法文等重要经典原始文献的研读和分析，论述了彼得堡数学学派概率思想的深远影响。正是在彼得堡数学学派概率思想的影响下，俄罗斯逐步成为世界概率论研究中心，引领概率论的研究方向。这种领先地位一直保持到20世纪中叶乃至现在。
(5)在前人研究的基础上，考察了概率论在中国的传播和发展。就传入中国的第一部概率论著作《决疑数学》、开创我国概率论与数理统计领域的先驱以及当今国内概率学者研究动态等均作了较细致的论述和分析。
The Petersburg Mathematical School (abbreviated as PMS below) was a research association of the Russian mathematicians which was found by P.L.Chebyshev. It was the first and the strongest mathematical association in Russia with the most important affect. It inherited and developed the essence of classical probability theory. Mathematicians in this school posed a series of methods and led the probability research into a new era.
The thoughts of PMS are not studied systematically in Chinese and western works until now. Some correlative contexts often appear in the comprehensive books only, most of which are brief introductions. It is difficult to understand its essence for the reader. In view of the important status of PMS in the development of probability, this article has carried on a more exhaustive analysis and research on its development of probability thought. The main achievements are as follows:
(1) The primary factors why the probability theory of PMS arose are revealed by the methods of the comparative research and the historical data analysis. The development of the probability theory of PMS depended on the influence of advanced mathematical culture of Western Europe, the good mathematical culture of Russia, the correct outlook and the methodology, the extraordinary influence of Chebyshev, the cooperation of its members and the community competition as well as the inherent contradictions of probability theory.
(2) The contribution to probability and its development vein of probability thought are discussed from both of the exterior and interior historical aspects. The theorem of large and the related theory were strictly proved by PMS, the theory system of the classical central limit theorem was consummated, the model and the theory of Markov chain were established, and the axioms of probability theory was proposed for the first time. The essence of its probability thought was the precise estimate of experimental deviation under a limit condition.
(3) Great attention is paid to discussing the relationship between correlative probability thought and the philosophy. The three essential factors of philosophy (opposition and unification, quantitative change and qualitative change, accident and inevitability) all contain the stochastic mathematical thought. This article discusses the influence and the enlightenment of philosophy to the probability thought of PMS from the view of scientific philosophy.
(4) The far-reaching influence of the probability thought of PMS is elaborated through original literature. It was because of the influence of probability thought of PMS that Russia gradually became the center of the probability theory and led the research it of in the world. Its leading the role continued even to the middle of 20th century.
(5) Based on the predecessor's achievements, the dissemination of probability theory in China is investigated. Careful research is made on the book Jue Yi Shu Xue which was the first probability work spreaded into China and the pioneers in probability and mathematical statistic domain as well as the study tendency of the domestic probability scholar.
资料的限制、语言的困难和文化的差异使得国内外系统研究彼得堡数学学派概率思想者还甚少，有关资料相当匮乏，一些相关论述大都出现在综合性的书籍中，倾向于按照现代数学的习惯给出一般性的解释，且多为简要性介绍，读者难以了解其精髓所在。鉴于彼得堡数学学派在概率论发展史上的重要地位，本文以概率论思想为主线，对其概率思想的发展进行了系统而全面的分析和研究。主要成果为：
(1)以“为什么数学”为切入点，用比较研究和史料分析的方法揭示出彼得堡数学学派振兴概率论学科的主要因素。彼得堡数学学派对概率论的发展赖于西欧尤其是法国先进的数学文化影响、俄罗斯良好的数学文化背景、彼得堡数学学派正确的世界观和方法论、切比雪夫超凡的影响力、学派成员间的互相合作和群体竞争以及概率论的内在矛盾等。
(2)运用内史和外史相结合、学派整体和数学家相结合、概率思想和文化背景相结合等研究方法探讨了彼得堡数学学派的学术范式及其概率思想的演化过程；论证了彼得堡数学学派概率思想之精髓为精确估计在极限状态下的试验偏差。在其概率思想指导下，彼得堡数学学派严格论证了大数定理理论、完善了古典中心极限定理的理论体系、创立了马尔可夫链模型、发展了数理统计理论、首次提出概率论的公理化体系等。
(3)注重学科间的交叉融合，讨论了相关概率思想与哲学、社会、宗教及相关学科的联系。试图从概率论哲学视角揭示彼得堡数学学派成员概率思想的轨迹，展示概率论与其它学科相结合的理论意义。
(4)通过对英、俄和法文等重要经典原始文献的研读和分析，论述了彼得堡数学学派概率思想的深远影响。正是在彼得堡数学学派概率思想的影响下，俄罗斯逐步成为世界概率论研究中心，引领概率论的研究方向。这种领先地位一直保持到20世纪中叶乃至现在。
(5)在前人研究的基础上，考察了概率论在中国的传播和发展。就传入中国的第一部概率论著作《决疑数学》、开创我国概率论与数理统计领域的先驱以及当今国内概率学者研究动态等均作了较细致的论述和分析。
The Petersburg Mathematical School (abbreviated as PMS below) was a research association of the Russian mathematicians which was found by P.L.Chebyshev. It was the first and the strongest mathematical association in Russia with the most important affect. It inherited and developed the essence of classical probability theory. Mathematicians in this school posed a series of methods and led the probability research into a new era.
The thoughts of PMS are not studied systematically in Chinese and western works until now. Some correlative contexts often appear in the comprehensive books only, most of which are brief introductions. It is difficult to understand its essence for the reader. In view of the important status of PMS in the development of probability, this article has carried on a more exhaustive analysis and research on its development of probability thought. The main achievements are as follows:
(1) The primary factors why the probability theory of PMS arose are revealed by the methods of the comparative research and the historical data analysis. The development of the probability theory of PMS depended on the influence of advanced mathematical culture of Western Europe, the good mathematical culture of Russia, the correct outlook and the methodology, the extraordinary influence of Chebyshev, the cooperation of its members and the community competition as well as the inherent contradictions of probability theory.
(2) The contribution to probability and its development vein of probability thought are discussed from both of the exterior and interior historical aspects. The theorem of large and the related theory were strictly proved by PMS, the theory system of the classical central limit theorem was consummated, the model and the theory of Markov chain were established, and the axioms of probability theory was proposed for the first time. The essence of its probability thought was the precise estimate of experimental deviation under a limit condition.
(3) Great attention is paid to discussing the relationship between correlative probability thought and the philosophy. The three essential factors of philosophy (opposition and unification, quantitative change and qualitative change, accident and inevitability) all contain the stochastic mathematical thought. This article discusses the influence and the enlightenment of philosophy to the probability thought of PMS from the view of scientific philosophy.
(4) The far-reaching influence of the probability thought of PMS is elaborated through original literature. It was because of the influence of probability thought of PMS that Russia gradually became the center of the probability theory and led the research it of in the world. Its leading the role continued even to the middle of 20th century.
(5) Based on the predecessor's achievements, the dissemination of probability theory in China is investigated. Careful research is made on the book Jue Yi Shu Xue which was the first probability work spreaded into China and the pioneers in probability and mathematical statistic domain as well as the study tendency of the domestic probability scholar.
引文
① 托德亨特主张在数学课程中应把《几何原本》放在中心位置，所编写的《代数》和《欧几里得》再版达15次以上。他对变分法也有所研究，其关于间断解理论的论文曾获得英国皇家学会的1871年亚当斯奖。
② Todhunter I.A History of the Mathematical of theory of probability from the times of pascal to that of Laplace[M].Cambridge and Londun:Macmillan, 1865.Reprinted New York: Chelsea, 1993.
③ 皮尔逊认为，托德亨特太专注于代数问题而忽视了历史上重大事件对学科发展所产生的影响。他还建议，为避免变得陈腐，大学教师应每年开设一门从未讲授过的课程。
① Stigler. S.M. The History of Statistics:The Measurment of Uncertainty Before 1900[M]. Cambridge: Cambridge University, 1986.
② Hald. A.A history of probability and statistics and their applications before 1750[M].New York: Wiley, 1990.
③ Hald. A.A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M].New York:Wiley,1998.
④ [M]. CCCP,1948.
⑤ [M]. 1967.
⑥ 尤什克维奇1960年当选为国际科学史研究院院士，1965-1968年任该院院长。舍伊宁1994年当选为院士。柯尔莫戈洛夫1977年被选为名誉院士，什托卡洛1978年被选为名誉院士。国际科学史研究院的总部设在巴黎，所有院士都享有终身称号，其出版刊物为‘科学史档案》(Archeion．Archivio storieodelia seienza)，而从1947年11月又推出该杂志的新系列《国际科学史档案)(Archives Intemationales d'Histoire des Sciences—Nouvelle serie d'Archeion)
⑦ 曲安京．中国数学史研究范式的转换[J]．中国科技史杂志，2005，26(1)：50～58．
① A.A.[M]. CCCP, 1959.
② 1712年，俄罗斯首都从莫斯科迁至圣彼得堡。此后一直到1918年3月，圣彼得堡一直是俄罗斯的首都。1914年，更名为彼得格勒(petergrad)。1924年1月列宁逝世后改称列宁格勒(leningrad)，1991年12月苏联解体后，恢复为圣彼得堡。彼得堡大学也随之改变校名。
③ 彼得大帝在1711-1716年几次听取了莱布尼兹的建议，并于1712年给予他一个有薪水的数学和科学宫廷顾问的职务。莱布尼兹也曾建议康熙建立北京科学院。
④ 伯努利兄弟于1725年秋应聘来到彼得堡科学院，欧拉于1727年5月24日抵达彼得堡。
① 2003年公布的世界大学排名彼得堡大学位于第23位。
② 俞天颖．俄罗斯圣彼得堡大学．知识就是力量．2002，7，p16．
③ 沃斯克列先斯基是门捷列夫的老师，被后者誉为“俄罗斯化学之鼻祖”。
④ 谢切诺夫是李雅普诺夫的姑父之兄，曾鼓励李雅普诺夫致力于科学研究，并给予物质帮助。而李雅普诺夫曾给他讲授过数学。
⑤ 刚入彼得堡大学时，李雅普诺夫常去听门捷列夫的化学讲座。马尔可夫曾解决了门捷列夫所提出的一个实际应用问题。
⑥ 巴甫诺夫1904年生理医学奖；梅契尼科夫1908年生理医学奖；谢苗诺夫1956年化学奖；朗道1962年物理奖；普罗霍洛夫1964年物理奖；列昂捷夫1973年经济学奖；康多诺维奇1975年经济学奖。
⑦ 李文林．数学的进化[M]．北京：科学出版社，2005，p100．
① 奥斯特罗格拉斯基于1822-1827年在法兰西学院学习，1828年春回国。布尼亚科夫斯基于1820-1823年在德国科堡学习，于1823-1825年在巴黎综合工科学校学习，并获得博士学位，1826年回国。
② [M]. CCCP,1964.
③ [M].CCCP, 1959.
④ 柯尔金1858年毕业于彼得堡大学，在彼得堡大学任教50年，1886年被授予功勋教授的称号。
① [M]. CCCP,1951.
② Gillispie. Ch. C.Dictionary of Scientific Biography[M].New York:Charles Scribner's Sons,vol.9.1971. p128.
③ 维诺格拉多夫是斯捷克洛夫的学生，1914年毕业于彼得堡大学，1929年1月当选为苏联科学院院士。1930—1932年任人口统计研究所所长，1930—1934年任物理．数学研究所数学部主任。1934年，原物理——数学研究所分为两个所：列别捷夫物理研究所(Lebedev Physical Institute)与斯捷克洛夫数学研究所。维诺格拉多夫被任命为斯捷克洛夫数学研究所第一任所长，直到去世。1950年起，他任《苏联科学院通报》数学组主编，1958年起任苏联数学家委员会主席。他始终对数学教育有极大的兴趣，直到去世前一直任苏联中学数学改革委员会主席。维诺格拉多夫曾被20多个外国科学院及科学协会等机构授予院士、名誉院士、会员、名誉会员等称号，还多次荣获苏联政府及苏联科学院等颁发的勋章及荣誉称号。
① 布拉斯曼创立了莫斯科数学学会并任第一届主席，切比雪夫是该会的第一批成员。在莫斯科大学期间，布拉斯曼讲授代数函数的积分理论、概率计算、工程力学和水力学等，其渊博知识和精湛的教学艺术对切比雪夫产生了很大影响。1865年9月30日，切比雪夫曾在莫斯科数学会上宣读了一封信，信中将自己应用连分数理论于级数展开式的工作归因于布拉斯曼的启发。
② 该文发表于1854年《彼得堡科学院通讯》的第1期。
① [M]. 1967.
② 该文发表于1859年《彼得堡科学院通讯》的第2期。
① Ostrogradsky. M.V. Sur une question des probabilites[J], petersb. Bull, 1848, 6,(21-22): 326.
② Kolmogorov. A. N & Yushkevich A P.Mathematics of the 19th Century[M]. Basel; Boston; Berlin: Birkhauser, 1992.
③ Chebyshev. P. L,Essay on the elementary analysis of the theory of probability[J] (1845).Reprinted 1951 in vol.5 of the author's Complete works, pp.26-87.
④ Chebyshev. P. L.Demonstration elementaire d'une proposition generale de la theorie des probabilites[J].J.Reine Angew.Math., 1846,33,pp.259-267.
⑤ Chebyshev. P. L.Des valeurs moyennes[J].Liouville's J.Math. Pures Appl.1867,12[2]:177-184.
⑥ Chebyshev. P.L.Sur deux theoremes relatifs aux probabilites[J]. Sur deux theoremes relatifs aux probabilites[J], Bull.Phys.-Math.Acad.Sci. st.Petersbourg,1887,55 and Acta math, 1891, 14:305-315.
① Liapunov. A.M.Sur une proposition de la theorie des probabilites[J]. IAN 1900 13(4):359-386.
② A. M.Nouvelle forme du theoreme sur la limite des probabilites[M]. 1901.
③ [M]. 4-e,1924.
① Chebyshev. P. L.Sur I'interpolation par la methode des moindres carres[J].Mem.Acad. Sei.st.Petersbourg,1859, 1(15):1-24.
② 一般是在某数学家去世后，以其名字命名相关研究成果。而马尔可夫自己把这类过程命名为马尔可夫链。
③ Markov. A.A.Sclected works[M].Ed.Yu V Linnik.Leningrad,1951,
④ Markov. A. A.Recherches sur un cas remarquable d'eprcuvres dependantes[J](1907). French version:Acta Math. 1910,33:87-104.
⑤ Markov. A. A.Sur quelques cas du theoremes sur la limite de probabilite[J]. IAN,1908,2(6):483-496.
⑥ 同④
⑦ 虽切比雪夫解决了奥斯特罗格拉斯基刚提出的一类代数无理函数的积分问题，但研究内容和结果与奥斯特罗格拉斯基没有关系。因奥斯特罗格拉斯基提交论文的时间为1844年11月22日，发表于1845年。而切比雪夫早在1843年就完成了论文第一稿。那时切比雪夫还远在莫斯科大学，可能受布拉斯曼和刘维尔的影响。1833-1841年期间，刘维尔的数学研究集中在有限可积理论。在切比雪夫1853年的文章中，所列参考文献作者仅是刘维尔和阿贝尔。即使在1857年的论文中，切比雪夫也未提及奥斯特罗格拉斯基，仅是参考了埃尔米特、刘维尔和阿贝尔的文章。
① [M]. CCCP,1964.
① [M]. 1970.
② [M].CCCP, 1959.
③ 在魏尔斯特拉斯的大力举荐下，柯瓦列夫斯卡娅于1874年获哥廷根大学博士学位。1888年因解决刚体绕定点转动的一般情形的问题而获法国科学院的博尔丹奖及瑞典科学院奖金。其另一重要贡献是继柯西之后研究了偏微分方程解的存在唯一性问题，给出了更一般的结果，现称为柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理。该定理还被推广到偏微分方程组的情形。她1889年被聘为瑞典斯德哥尔摩大学终身教授。同年在切比雪夫的极力推荐下，成为彼得堡科学院第一位女通讯院士。不擅长写信的切比雪夫竟书信6封于柯瓦列夫斯卡娅，与她讨论学术问题。
① Gillispie. Ch. C.Dictionary of Scientific Biography[M].New York:Charles Scribner's Sons,vol.8.1971. p560.
② 李雅普诺夫的墓铭为：运动稳定性理论、旋转液团平衡理论、微分方程定性理论的创立者，概率论中心极限定理和一系列其它深刻的数学力学课题的探索者。
③ [M]. 1967.
① [M]. CCCP, 1959.
② 相对论消除了关于绝对空间与时间的幻象；量子力学消除了关于可控测量过程牛顿式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式的可预测性幻想。
③ 格拉维1888年毕业于彼得堡大学，1889年获得硕士学位留彼得堡大学任教。1897年获得博士学位，并开始在哈尔科夫大学工作。自1902年后在基辅大学工作。1919年成为乌克兰科学院院士。1929年成为苏联科学院名誉院士。十月革命后新政府要求数学更切合实际，且代数学不再适用于应用数学和技术控制。因此，1920年，格拉维中止了在基辅的著名代数讨论会，并且开始研究机械学和应用数学，但他从未完全放弃过代数研究。同年，拉格维开始主持乌克兰科学院的应用数学委员会工作。1934年在基辅建立了科学院的数学学院并且担任了第一个主任直至去世。
① 据埃拉托塞尼记载，公元前430年雅典城发生鼠疫，居民向德洛斯神祈求驱除疠疫，他们受命把祭坛扩大一倍，而不损原立方体形状。因此，倍立方问题又称之德洛斯问题。
② Akhieser. N. I. Chebyshev and his heritage[J].In Chebyshev's Selected works, pp:843-887. Moscow. 1955.
① Markov.A. A.Selected works[M].Ed.Yu V Linnik.Leningrad, 1951.
② Markov. A. A.Table des valeurs de l'integrale integral from n=x to ∽ exp(-t~2)dt [M]. st.Petersbourg, 1875.
③ [M]. 4-e, 1924.
④ Gillispie. Ch. C.Dictionary of Scientific Biography[M].New York:Charles Scribner's Sons,vol.3.1971. p.226.
① Gillispie. Ch. C.Dictionary of Scientific Biography[M].New York:Charles Scribner's Sons,vol.3.1971. p.226.
② 切比雪夫所采用的方法不同于通常的绘制法，而是使地球表面某部分的像变化尺度最小，从整体来看，这种像是最有价值的。这种投影具有良好的性质，即最佳投影定理：在边界像的尺度保持不变。
③ Kolmogorov. A.N.&Yushkevich A P.Mathematics of the 19th Century[M]. Basel; Boron; Berlin: Birkhauser,1992.p254.
④ Kolmogorov. A. N.& Yushkevich A P. Mathematics of the 19th Century[M].Basel; Boron; Berlin: Birkhauser,1992.p254.
① Gillispie.Ch. C.Dictionary of Scientific Biography[M].New York:Charles Scribner's Sons,vol.3.1971. p.223.
② Sheynin.O.B.A.A.Markov's work on probability[J].Arch.History Exact Sci,1989, 39(3): 339.
③ [M].1970.
④ Sheynin. O.B.A.A.Markov's work on probability[J].Arch.History Exact Sci,1989, 39(3): 347.
⑤ 尽管切比雪夫对卡瓦列夫斯卡娅给予了很大的支持，但他们在学术上却各执一端，每次见面都争论不休。
① [瑞典]L．戈丁．数学概观[M]．北京：科学出版社，2001．p288．
② 拉普拉斯晚年被聘为彼得堡科学院外国院士。
③ 徐传胜，曲安京．拉普拉斯的《分析概率论》研究[J]．自然科学史研究，2006，(3)：227-237．
④ 若3颗骰子同为“1点”或“6点”的概率仅为1／27，而点数在4-17间任意数值的概率都超过之。
⑤ 尼古拉第二·伯努利和丹尼尔．伯努利都是约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667-1748)的儿子。1725年10月
① 吴文俊．世界著名数学家传记[M]．北京：科学出版社，1990．p652．
② 达朗贝尔认为，最好使每一个人经历了正常生命的一部分，然后死于天花，这比最初就拿生命冒险要好。事实上，达朗贝尔和丹尼尔都忽略了接种牛痘潜在的最主要危险。当某人接种时，他可能因染上天花而生病，且可能传染他人。因此，每次接种都是疾病再次流传的祸根，对社会整体有很大的风险。
③ 伊丽莎白在位期间，罗蒙诺索夫(Lomonosov Mikhil Vasilievich，1711-1765)成为彼得堡科学院第一位本国院士，他是俄罗斯的自然科学家、哲学家，对诗歌与文学也有很高的造诣。其研究领域涉及数学、物理、化学、地质、冶金等学科，被授予“俄罗斯之父”称号，后俄罗斯大学改名为国立罗蒙诺索夫大学。
① 叶卡捷琳娜二世是德意志亲王的女儿，因嫁给彼得大帝的外孙来到俄罗斯，有机会接近并攫取王位。在位的34年里，她继承了彼得大帝未竟事业，领导俄罗斯全面参与欧洲的政治和文化生活，制定法典并厉行改革，使俄罗斯帝国空前繁荣，版图急剧扩张。
② Todhunter. I. A History of the Mathematical of theory of probability from the times of pascal to that of Laplace[M].Cambridge and Londun: Macmillan, 1865. Reprinted New York: Chelsea, 1993.
① [M].CCCP,1948.
② Brashman,N.D.On the influence of the mathematical sciences on the development of intellectual faculties. Moscow 1841,pp.30-31.
③ Kiroia.S.N.The scientific and educational activities of M.V.Ostrogradsky and V.Ya.Bunkovsky[J]. In:History of national mathematics,vol.2.Kiev, 1967,52-103.
① Ostrogradsky.M.V.On insurance(1847).Complete works,vol.3.Kiev, 1961,238-244.
② Ostrogradsky.M.V.Sur une question des probabilites[J], petersb. Bull, 1848,6(21-22):321-346.
③ [M].1967.
① [苏]格涅坚科．概率论教程[M]．丁寿田译．北京：人民教育出版社，1957．
② 1836年，俄罗斯科普学者曾撰文拒绝这种斯拉夫式的造字结构。柯尔莫戈罗夫也拒绝这种方式，如对“sposob naimenshikh kvadratov”(最小二乘法)曾建议改为“synonymous naimenshikh kvadratov”。
① Sheynin.O.B.V Ya Buniakovsky's work in the theory of probability [J].Arch. History Exact sci, 1991, 43(2): 199-223.
② 彼得堡以荷兰和法国建筑为蓝本而建造，堪称一座西方城市。当时模仿西欧特别是法国成为时尚，贵族甚至以讲法语为荣，只有对下人说话时才讲俄语。贵族子弟从小就要学习法语。
③ 切比雪夫不擅长于写信，信件几乎都由布尼亚科夫斯基来处理。布尼亚科夫斯基去世后，切比雪夫就几乎和西欧数学家失去了联系。
④ 终极指现象的目的论解释。
⑤ 现代科学家认为世界具有多个方面，有些不仅未知，且本质上是不可知的。
⑥ 李文林．数学珍宝[M]．北京：科学出版社，2000．
① Sheynin. O. B.V Ya Buniakovsky's work in the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci.,1991, 43(2):199-223.
② [苏]格涅坚科．概率论教程[M]．丁寿田译．北京：人民教育出版社，1957．
③ 吴文俊．世界著名数学家传记[M]．北京：科学出版社，1990．
④ [M]. 4-e,1924.
⑤ Sheynin.O.B.V Ya Buniakovsky's work in the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci., 1991,43(2):199-223.
⑥ 徐传胜，曲安京．拉普拉斯的《分析概率论》研究[J]．自然科学史研究，2006，(3)：227-237．
⑦ 概率定义最初源于卡尔达诺的《机会性游戏手册》。在1678年9月的备忘录中，莱布尼兹宣称“概率是可能性的度量”。雅科布和棣莫弗所给概率定义，也影响了拉普拉斯，但最直接影响的是孔多塞的概率定义：概率是等可能的组合之比。
① [M]. CCCP,1948.
② Sheynin.O.B.V Ya Buniakovsky's work in the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci.,1991,43(2): 199-223.
③ Chebyshev.P.L.Essay on the elementary analysis of the theory of probability[J] (1845).Reprinted 1951 in vol.5 of the author's Complete works, pp.26-87.
④ Sheynin Oscar.Chebyshev's lectures on the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci., 1994,46(1): 321-340.
⑤ Sheynin. O.B.A.A.Markov's work on probability[J].Arch.History Exact Sci,1989, 39(3):337-377.
⑥ [M]. 4-e,1924.
① Hald.A.A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M].New York:Wiley, 1998.
② 徐传胜，曲安京．拉普拉斯的《分析概率论》研究[J]．自然科学史研究，2006，(3)：227-237．
① Laplace.P.S.M.de. Theorie analytique des probabilites[M].Paris:Courcier, 1812.
② Sheynin.O.B.V Ya Buniakovsky's work in the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci., 1991,43(2): 199-223.
③ 徐传胜，曲安京．拉普拉斯的《分析概率论》研究[J]．自然科学史研究，2006，(3)：227-237．
① Sheynin.P.B.On V Ya Buniakovsky's work in thetheory of probability[J]. Inst.hist.nat.sci.& technology, preprint No. 17.Moscow, 1988.
② Sheynin. P. B.On V Ya Buniakovsky's work in the theory of probability[J]. Inst.hist.nat.sci.& technology, preprint No. 17.Moscow, 1988.
① [M].CCCP,1948.
② Sheynin.O.B.V.Ya.Buniakovsky's work in the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci.,1991,43(2): 199-223.
③ [M]. CCCP, 1959．
① 孔多塞主要相关著作：1765年出版的《概率计算》，1785年的《论判定多数意见的概率应用》，1789年的《概率计算原理及其对机遇游戏、抽彩和人类判断的应用》。
② Laplace.P. S..de.Essai philosophique sur les probabilites[M]. Paris: Courtier,1814.
③ Sheynin. P.B.On V Ya Buniakovsky's work in the theory of probability[J]. Inst.hist.nat.sci.& technology, preprint No. 17.Moscow, 1988.
① Sheynin. O.B.V Ya Buniakovsky's work in the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci., 1991, 43(2): 199-223.
② [M]. 4-e, 1924.
③ 吴文俊．世界著名数学家传记[M]．北京：科学出版社，1990．
④ 哲学家反感数学的傲慢和数学的“帝国主义”，担心概率论会侵入他们的领地而使哲学失去本色和传统。
① Sheynin. O. B.V Ya Buniakovsky's work in the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci., 1991, 43(2): 199-223.
② 代数语言学、统计语言学、应用数理语言学等数学与语言学的交叉学科已应运而生。北京大学首先开设数理语言学课程。我国的“748工程”从21657039个汉字样本中，统计出不同的汉字6374个，编成《汉字频率表》。1985年，原北京航空学院计算机科学工程系又抽样11873029字进行统计，为现代汉字的定量分析提供了大量数据。
③ Hald. A.A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M].New York:Wiley. 1998.
④ 陈希孺．数理统计学简史[M]．长沙：湖南教育出版社，2005．
① 曾有人建议彼得堡数学学派改称为欧拉—切比雪夫学派。
② Zdravkovska, S & Durcn,P. Golden Years of Moscow Mathcmatics[J].History of Mathematics,1993,6:1-33
③ 棣莫弗的书中没有太多理论，他用一长串问题，而不是定理和证明来表达自己的观点。他声称正在创建概率代数，但书中没有多少代数知识，且由于没有多少代数符号，而精心写成了许多长句，用“at a venture”表示“随机取”。他否认了运气在机会游戏中的作用，与卡尔达诺的观点完全相反。
④ Sheynin. O. B.A.A.Markov's work on probability[J].Arch.History Exact Sci,1989, 39(3):337-377.
⑤ Gillispie.Ch. C.Dictionary of Scientific Biography[M].New York:Charles Scribner's Sons,vol.9.1971. pp.124-130.
① 大数定理的“平均化”影响在物理现象中表现得格外准确。按照现代物理学的观点，任何气体都是由大量不断运动的分子所组成。对每个分子而言，不能预言其在指定时刻的运动速度及位置，但在一定条件下，可计算气体分子以某速度运动的百分率，或有百分之几的分子将落在某指定体积内。这正是物理学所需要的数据，因气体的主要特征——压力、温度、粘性等并不是由个别分子的复杂行为所决定，而是由其集体作用所决定。如气体的压力等于单位时间内撞击在单位面积上的分子总影响。
② Poisson.S -D.Recherches sur la probabilite des jugements en matiere criminelle et en matiere civile[M].Paris,1837.
③ 这种类型的大数定理属于弱大数定理。
④ Hacking I.The emergence ofprobability[M].Cambridge:Cambridge University Press,1975.
⑤ 《猜度术》分为5部分。在第1卷中，对惠更斯的《论赌博中的计算》作了较为详细的注释，其长度为惠更斯原文的五倍。雅可布对某些问题给出了自己的证明，并把一些问题推广到一般情形，因而其注释比原文更有价值。第2卷比较系统地论述了排列组合知识，并给出著名的“伯努利数”和“伯努利方程”。第3卷由24个问题组成，是前述理论的应用。第4卷包含了该书的精华——伯努利大数定理。另外，该卷还论述了雅各布特有的哲学思想。第5卷是附录，包含两部分内容。一部分是关于无穷级数的五篇论文，另一部分以书信的形式讨论了网球比赛中的计分问题。《猜度术》出版于1713年，而雅可布死于1705年。由于弟兄间的矛盾，雅可布的遗孀不相信约翰而把雅可布的手稿藏匿起来，后在莱布尼兹的一再敦促下，才出版问世。1913年，马尔可夫在彼得堡出版了《猜度术》俄文版，并发起庆祝大数定理发现200周年活动。
⑥ 同②
⑦ 该文首先发表在《彼得堡科学院通讯》，1867年被刘维尔杂志转载。
① Bernoulli. J.Ars conjectandi[M]. Basel. 1713.
② 李文林．数学珍宝[M]．北京：科学出版社，2000．
① 李文林．数学珍宝[M]．北京：科学出版社，2000．pp798-790．
② 伯努利家族第一代：雅可布、尼古拉、约翰；第二代：雅可布的儿子尼古拉、尼古拉的儿子尼古拉、约翰的儿子尼古拉第二、丹尼尔、约翰：第三代：约翰的三个儿子：约翰三世、丹尼尔、雅可布。
③ Hald.A.A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M].New York Wiley, 1998.
① [M]. 4-e,1924.
② Chebyshev.P.L.Demonstration elementaire d'une proposition generale de la Theorie des probabilites[J]. J.Reine Azgew.Math., 1846,33:259-267.
① 肖果能译．概率论的莫斯科学派[J]．数学译林，2001，20(2)：158．
② [M].CCCP,1948.
③ 泊松是数学家、力学家和物理学家，于1826年获彼得堡科学院名誉院士称号。他认为人生只有两件美好的事情：发现数学和讲授数学。泊松是拉普拉斯在多科工艺学校的学生，深受拉普拉斯的影响而对概率论产生了兴趣。在法国科学院，泊松和其同事就概率论应用于法律而展开了长期和激烈地争论。
① 在大量生产中当废品比例预计很小时，泊松分布对于产品检验和质量控制特别有用。
② Hald.A.A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M].New York:Wiley, 1998.
③ Poisson.S -D.Recherches sur la probabilite des jugements en matiere criminelle et en matiere civile[M]. Paris, 1837.
① Hacking. I.The taming of Chance[M].Cambridge:Cambridge University Press,1990.
② Hald.A.A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M].New York:Wiley, 1998.
① Hald. A. A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M]. New York: Wiley, 1998.
② Sheynin. O. B. S. -D. Poisson's work in probability[J]. Ibid. vol. 18. No. 3,1978, 245-300.
③ 1852年10月12日，切比雪夫第一次见到比埃奈梅。比埃奈梅的父亲是法国高级官员。比埃奈梅于1820年进入法国政界，1836年晋升为法国高级检察官。1848年始比埃奈梅从事科学研究，曾一度担任统计协会 大奖的评委达23年之久。1852年4月11日辞职并与4月30日离开政坛。此后全身心投入科学研究工作。
① Butzer Paul. L. P. L. Chebyshev(1821-1894)and his contacts with western European scientists [J]. Historia mathematica 1989,16: 46-68.
② 比埃奈梅把n叫做持续时间。
③ Bienayme . I . J. Theoreme sur la probabilite des resultats moyens des observations [J]. Soc. Philomat. Paris Extr 1839,5: 42-49.
④ Hald. A. A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M]. New York: Wiley, 1998.
① Berbstein. S. N. On Chebyshev's works on the theory of probability[J]. Reprinted 1964 in author's Collected works, vol. 4,pp: 409-433. Moscow.
② Chebyshev. P. L. Essay on the elementary analysis of the theory of probability[J] (1845). Reprinted 1951 in vol. 5 of the author's Complete works, pp. 26-87.
③ [M]. CCCp. 1964.
① Kolmogorov. A. N. & Yushkevich A P. Mathematics of the 19th Century[M]. Basel; Boston; Berlin: Birkhauser, 1992.
② Sheynin Oscar. Chebyshev's lectures on the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci. , 1994, 46(1): 321-340.
③ Chebyshev. P. L. Essay on the elementary analysis of the theory of probability[J] (1845). Reprinted 1951 in vol. 5 of the author's Complete works, pp. 26-87.
④ Sheynin Oscar. Chebyshev's lectures on the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci. , 1994, 46(1): 321-340.
① 这里切比雪夫错误的把1—p看作不可约的概率。
② Huygens. C. De Ratioeiniis in Ludo Aleae[M]. Elsevirii Leiden, 1657. Reprinted English translation by Arbuthnott, 1692.
③ Bernstein. S. N. On Chebyshev's works on the theory ofprobability[J]. Reprinted 1964 in author's Collected works, vol. 4,pp: 409-433. Moscow.
① [M] CCCP. 1948.
① Sheynin Oscar. Chebyshev's lectures on the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci. , 1994, 46(1): 321-340.
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③ Bernstein. S. N. Chebyshey and his influence on the development of mathematics[J]. Uchenye zapiski Moskovskogo Universiteta No. 91,35-45.
① Bernstein. S. N. On Chebyshev's works on the theory of probability[J]. Reprinted 1964 in author's Collected works, vol. 4. pp: 409-433. Moscow.
① 这与实际情况有些不符，因轨道倾角并不是随机变化的。
② Chebyshev. P. L. Des valeurs moyennes[J]. Liouville's J. Math. Pures Appl. 1867, 12(2): 177-184.
① 李文林．数学珍宝[M]．北京：科学出版社，2000．
② Bienayme. I J. Considerations a I'appui de la decouverte de Laplace sur la loi de Probabilite dans la methode des moindres carres. C. R. Hebd. Seances Acad. Sci. , 37, 309-324; and in Liouville's J. Math. Pures Appl. 1867, 12 (2): 158-176.
③ Chebyshev. P. L. Oeuvres de P. L. Tchebychef(A. Markov and N. Sonin eds. ),2 vols. 1899-1907. French translation of Russian edition. Reprinted by Chelsed,New York.
① Bienayme. I. J. Sur la probabilite des erreurs d'apres la methode des moindres carres. Liouville's J. Math. Pures Appl. 1852,17: 33-78.
② Bienayme. I. J. Sur les differences qui distinguent l'interpolation de M. Cauchy de la methode des moindres carres, et qui assurent la superiorite de cette methode. C. R. Hebd. Seances Acad. Sci. , 1853,37: 5-13.
③ Chebyshev. P. L. Sur les fractions continues[J]. 1855, In Russian. French transl. 1858 in J. math. pures et appl. , t. 3: 289-323.
④ [M]. 2,1948.
① Markov. A. A. Selected works[M]. Ed. Yu V Linnik. Leningrad, 1951.
② Markov. A. A. Sur quelques cas des theoremes sur les limites de probabilite et des esperances mathematiques[J]. IAN, 1907,1(16): 707-714.
① 1950.
① 1939.
② 伯恩斯坦1880年3月6日生于敖德萨，1968年10月26日卒于莫斯科。他1893年毕业于法国巴黎大学，1901年毕业于巴黎综合工科学校。1904年在巴黎获数学博士学位，1907年晋升为教授。1914年在哈尔科夫又获纯粹数学博士学位。1907—1933年在哈尔科夫大学任教，1933—1941年在列宁格勒综合技术学院和列宁格勒大学工作，1935年后在原苏联科学院数学研究所工作。1925年当选为乌克兰科学院院士，1929年当选为原苏联科学院院士。他还是巴黎科学院的外国院士，曾获得许多国家的荣誉称号和奖励。伯恩斯坦对偏微分方程，函数构造论和多项式逼近理论，概率论都做出了贡献。其主要论著都被收入1952—1964年出版的《伯恩斯坦文集》1-4卷中。
③ 1950.
① Maistrov. L E. Probability theory[M]. New York-Londun,1974. pp. 249-252.
② 1936.
① 1912年，波利亚在匈牙利的布达佩斯大学获得理学博士学位，其博士论文《概率演算中的一些问题及相关定积分的研究》中给出“中心极限定理”术语。他是布达佩斯研究概率论的第一人。
② Cramer. H. Half a century with probability thery: some personal recollections[J]. The annals of probability, 1976 4(4): 509-546.
③ 1711年，棣莫弗在英国皇家学会的《哲学学报》(Philosophical Transactions)上发表了“论抽签的原理”(De mensure sortis)，该文于1718年用英文出版时翻译成《机会的学说》(The doctrine of chance)，并扩充成书，其中没有涉及二项分布近似估计问题。1738年再版《机会的学说》时，棣莫弗以附录的形式给出二项分布的正态近似(normal approximation to the binomial distribution)。若以发表时间为依据，某些学者认为正态分布最早出现在1716年左右是错误的。
④ 徐传胜，吕建荣．棣莫弗的概率思想与正态概率曲线[J]．西北大学学2006，(2)339-343．
⑤ 在德国10马克的钞票上，高斯头像左边印有美丽的正态分布钟形曲线，这表明在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的莫过于发现正态分布。
⑥ Chebyshev. P. L. Sur deux theoremes relatifs aux probabilites[J]. Sur deux theoremes relatifs aux probabilites[J]. Bull. Phys. -Math. Acad. Sci. st. Petersbourg, 1887,55 and Acta math. 1891, 14: 305-315.
⑦ Sheynin. O. B. A. A. Markov's work on probability[J]. Arch. History Exact Sci, 1989, 39(3): 337-377.
⑧ Liapunov. A. M. Sur une proposition de la theorie des probabilites[J]. IAN 1900 13(4): 359-386.
⑨ 林德贝格是Helsingfors大学的教授，并拥有一个美丽的农场。当有人指责他在科学研究上不是十分积极时，他就说：”我是一个农民。”而若有人说他农场经营不好时，他就会说：“当然，我的真正工作是一个教授。
① Moiver. De. The Doctrine of Chances [M]. London, 1927
① 李文林等译．数学史通论．北京：高等教育出版社．2004．2：466-468．
① Laplace. P. S. M. de. Theorie analytique des probabilites[M]. Paris: Courcier,1812.
② 拉普拉斯注释到，由于a，a′满足公式仅需二阶矩存在，故可推广到任何具有二阶矩的离散型随机变量结论都成立。
① Todhunter. I. A History. of the Mathematical of theory of probability from the times of pascal to that of Laplace[M]. Cambridge and Londun: Macmillan, 1865. Reprinted New York: Chelsea, 1993.
① 陈希孺．数理统计学简史[M]．长沙：湖南教育出版社，2005．
② 布尼亚科夫斯基从1850年到1859年退休一直在彼得堡大学讲授概率论课程，切比雪夫自1860年起在彼得堡大学讲授概率论。
③ 现切比雪夫的讲义内容主要源于李雅普诺夫的听课笔记，他认真记录了老师每一堂的讲解过程。
① Laplace. P. S. M. de. Theorie analytique des probabilites[M]. Paris: Courcier,1812.
① Sheynin Oscar. Chebyshev's lectures on the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci. , 1994, 46(1): 321-340.
② Ⅹ, 1944.
③ 1919年，米西斯(R. Von Mises,1883-1953)重新获得这一极限定理。
① Bienayme. I. J. Sur la probabilite des erreurs d'apres la methode des moindrescarres. Liouville's J. Math. Pures Appl. 1852,17: 33-78
① Chebyshev. P. L. Oeuvres de P. L. Tchebychel(A. Markov and N. Sonin eds. ),2 vols. 1899-1907. French translation of Russian edition. Reprinted by Chelsed,New York.
② 马尔可夫称之为“切比雪夫问题”。
③ 1951.
① 1948.
② 彼得堡科学院记录55卷，6号，1887，附录．
③ Chebyshev. P. L. Sur deux theoremes relatifs aux probabilites[J]. Bull. Phys. -Math. Acad. Sci. st. Petersbourg, 1887, 55 and Acta math, 1891, 14: 305-315.
④ φ(X)为标准正态分布的分布函数。
① Markov. A. A. Selected works[M]. Ed. Yu V Linnik. Leningrad, 1951.
② Markov. A. A. Sur les racines de l'equation exp(x~2 )d" exp(-x~2 )/dx"'=0[J]. IAN,1898, 9(5): 435-446.
① Markov AA. Sur quelques cas des theoremes sur les limites de probabilite et des esperances mathematiques[J]. IAN, 1907,1(6): 707-714.
② Markov AA. Sur quelques cas du theoremes sur la limite de probabilite[J]. IAN, 1908, 2(6): 483-496.
③ 1970.
④ Hald A. A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M]. New York: Wiley,1998.
① 复旦大学．概率论基础[M]．北京：人民教育出版社，1983．
② Liapunov. A. M. Sur une proposition de la theorie des probabilites[J]. IAN 1900 13(4): 359-386.
① A. . M. . Nouvelle forme du theoreme sur la limite des probabilites[M]. 1901.
① A. M. . Nouvelle forme du theoreme sur la limite des probabilites[M]. 1901.
② Ⅹ,1944.
① 魏宗舒等．概率论与数理统计教程[M]．北京：高等教育出版社，2005．
① Cramer. H. Half a century with probability thery: some personal recollections[J]. The annals of probability,1976,4(4): 509-546.
② 1959.
③ 涅克拉索夫毕业于东正教的一所神学院，1874年进入莫斯科大学学习(俄罗斯1875年官方统计数据 表明，当时神学院毕业的学生数占全国大学学生总数的40％。)，师从巴格夫(Bugaev，1837-1903)。巴哥夫是俄罗斯第一位讲授复变函数论的教师，对离散数学和哲学都带有偏激性的研究。1879年，涅克拉索夫取得学士学位并留校任教。1885年，其博士论文《拉格朗日级数及一类函数的近似展开》答辩通过，获得数学博士学位。同年晋升为副教授，1890年晋升为教授。1893年，涅克拉索夫被任命为莫斯科大学的校长。自1898年，他负责莫斯科地区的教育管理工作。1891年任莫斯科数学会副理事长，1903年升任理事长。作为人民教育部委员会成员，1905年迁往彼得堡工作。
① Chirikov. M. V and Sheynin. O. B. Correspondence between Nekrasov and Andreev. IMI 1994,35: 124-147.
② 第一递交人是当时的著名教育家弗劳绕夫(Florov)，而大量工作是涅克拉索夫所做。
③ 当时社会主义科学院改名为共产主义科学院，产生了一些马克思主义数学家。1892-1899年期间，涅克拉索夫研究了固体绕定点旋转问题，并取得标志性结果。正是涅克拉索夫保护了地震学家高利特真。最初高利特真在数学物理的研究遭到大多数杰出俄罗斯物理学家的反对。马尔可夫直接拒绝他入选彼得堡科学 院。1908年，高利特真成为彼得堡科学院院士。
① Sheynin Oscar. Nekrasov's work on probability: the background[J]. Arch. History Exact sci. , 2003,57(1): 339.
② Markov. A. A. Reponse a M. Nekrassov[J]. MS,t. 28,No. 2,1912,215-227.
③ 当时《数学通报》由莫斯科数学会出版，属于涅克拉索夫的管辖范围。
④ Sheynin Oscar. Nekrasov's work on probability: the background[J]. Arch. History Exact sci. , 2003,57(1): 341.
① Sheynin Oscar. Nekrasov's work on probability: thc background[J]. Arch. History Exact sci. , 2003,57(1): 341.
② 书中不含马尔可夫链相关内容。
③ Nekrasov. P. A. The general properties of mass independent phenomena in connection with approximate calculation of functions of very large numbers. MS 20: 431-442,1898.
④ Nekrasov. P. A. New principles of the doctrine of probabilities of sums and mean values. MS, 1900-1902. 21: 579-763, 22: 1-142,323-498,23: 41-455,
① Sheynin. O. B. A. A. Markov's work on probability[J]. Arch. History Exact Sci,1989,39(3): 363
① Sheynin Oscar. Nekrasov's work on probability: the background[J]. Arch. History Exact sci. , 2003, 57(1): 337-353.
② Sheynin. O. B. A. A. Markov's work on probability[J]. Arch. History Exact Sci,1989, 39(3): 337-377.
③ 1948.
① Soloviev. A. D. P. A. Nekrasov and the central limit theorem of the theory of probability. IMl 1997, ser. 2, 2(37): 9-22.
② [苏]数学科学的成就，1944年第10卷。
③ [苏]格涅坚科．概率论教程[M]．丁寿田译．北京：人民教育出版社，1957．
④ Ⅱ, 1947.
① Markov. A. A. Selected works[M]. Ed. Yu V Linnik. Leningrad,1951.
② Markov. A. A. Recherches sur un cas remarquable d'epreuvres dependantes[J](1907). French version: Acta Math. , t. 33,1910,87-104.
③ 同①
④ 1948.
⑤ 在2006年国际数学家大会上，首届高斯奖授予90岁的日本数学家伊藤清，因为“他的工作与每天的日常生活紧密相连：通常一个微不足道、不可预测的机会决定一个骰子是否进入轮盘赌的洞里。当然，不可预测的因素是无法预测的，然而可以通过统计学方法来做决定。”由于“对概率论理论和应用概率论做出了奠基性贡献，特别是随机微积分的建立”，伊藤清获得了1987年的沃尔夫数学奖。
⑥ 马尔可夫过程的研究大致可分为：离散时间马尔可夫链、连续时间马尔可夫链、轨道连续的马尔可夫过程和跳过程等。
⑦ 1856年6月14日，马尔可夫出生于俄罗斯梁赞省。父亲安德烈·格瑞高耶维奇·马尔可夫，母亲娜德智达·彼特维娜。马尔可夫5岁时，举家迁往彼得堡。父亲先在一寡妇庄园做管家，后开设了私人律师事务所。1866年，马尔可夫进入彼得堡第五中学学习。马尔可夫聪明颖悟，对数学有着一种近乎天然的兴趣和喜好，自学了微积分，其水平远远超过了一般高中学生。当发现一种与教科书不同的常系数线性常微分方程的解法时，马尔可夫非常兴奋立即给当时俄国的数学元老布尼亚科夫斯基写了一封信，向他报告这一结果。布尼亚科夫斯基把信转给了自己的学生科尔金和佐洛塔廖夫，他们很快就给马尔可夫回了信，鼓励他报考彼得堡大学数学系，以数学作为自己的终身事业。
① 1883年，马尔可夫与自幼相识的女友瓦尔瓦切夫娅(M．I．Valvatyeva)结婚。岳母就是老马尔可夫当年的雇主。
② 经过切比雪夫的推荐和提名，马尔可夫进入彼得堡科学院。
③ 十月革命前夕，彼得堡的局势动荡不定，科学院和大学已无正常的工作秩序。马尔可夫请求科学院派他到俄罗斯内地从事教育。
④ 马尔可夫的儿子与他同名，是卓越的苏维埃数学家、苏联科学院通讯院士、列宁格勒国立大学教授。主要研究方向为：动力系统、测度论、拓扑学、计算理论和数理逻辑等。
⑤ Sheynin. O. B. A. A. Markov's work on probability|J]. Arch. History Exact Sci: 1989,39(3): 337-377.
⑥ 小马尔可夫曾随父亲一同到萨兰斯科县城，并在那里作为马尔可夫的学生听课学习。
⑦ 1967.
① 高尔基因发表《海燕之歌》而遭到宪兵搜捕和流放。
② 1896年，俄罗斯末代沙皇尼古拉二世粉墨登基。他残酷暴虐，被称作“血腥的尼古拉”。
③ 柯罗连科是十九世纪末二十世纪初俄罗斯批判现实主义作家。上大学时，受民粹派思想影响参加革命活动，遭反动当局逮捕和流放。1896年起任民粹派喉舌《俄罗斯财富》主要负责人多年。1902年，为抗议反动当局对高尔基的歧视，和契柯夫一起愤然辞去科学院名誉院士。柯罗连科始终未能理解无产阶级的历史使命和十月革命的伟大意义，但他对沙俄反动统治一直不妥协，对劳动人民则充满同情、热爱和信任。
④ 契诃夫与法国的莫泊桑、美国的欧·亨利被称为世界三大短篇小说作家。
⑤ 1951．
⑥ 康斯坦丁是沙皇的叔父。
⑦ 1907年6月3日，沙皇的走卒斯托雷平(1862-1911)悍然解散由社会民主党人参加的第二届国家杜马，随后组织了代表地主和资产阶级利益的第三届杜马。
⑧ 1951.
⑨ 1967.
① ⅩⅥ,1918.
② Markov. A . A. Table des valeurs de l'integral integral from n=x to ∞(exp(-t~2)dt[M]. st. Petersbourg, 1875.
③ 1951.
④ 1924.
⑤ A. . A. Sur une probabitite a posteriori[J]. Kharkow Comm. , 1900,7(1): 23-25.
⑥ Sheynin. O. B. A. A. Markov's work on probability[J]. Arch. History Exact Sci,1989,39(3): 337-377.
① 3,1937.
② 3,1937.
③ 1967.
④ 4-e,1924.
⑤ Ⅹ, 1944.
① 切比雪夫证得p=2时为真。1920年，波利亚对此进行了研究。
② Sheynin. O. B. A. A. Markov's work on probability[J]. Arch. History Exact Sci,1989，39(3): 337-377.
③ 东正教最高领导者是尼古拉二世的私人教师和谋臣，他们在奴役俄罗斯各族人民、镇压日益高涨的民主运动等一系列问题上是沆瀣一气的。沙皇政府大力支持东正教会的所作所为。
① Gillispie. Ch. C. Dictionary of Scientific Biography[M]. New York: Charles Scribner's Sons,vol. 9. 197 1. p. 126.
② 吴文俊．世界著名数学家传记[M]．北京：科学出版社，1990．
③ 4-e,1924.
④ BunyakovskiIV. Ya. The principles of the mathematical theory of probability. Petersburg,1846.
⑤ 同①
⑥ Sheynin. O. B. A. A. Markov's work on probability[J]. Arch. History Exact Sci,1989, 39(3): 337-377.
① 1950.
② 《论赌博中的计算》是概率论的第一部著作，系统化了以前的概率论理论体系，首次提出数学期望的概念，后人对概率论的研究多以此为蓝本。
① Huygens. C. De Ratiociniis in Ludo Aleae[M]. Elsevirii Leiden, 1657. Reprinted English translation by Arbuthnott. 1692.
① 杨向群．可列马尔可夫过程构造论[M]．湖南：湖南科学技术出版社，1980．
② Markov. A. A. Selected works[M]. Ed. Yu V Linnik. Leningrad,1951.
① p_(ij)表示由状态i转移到状态j的概率。
② Bernoulli D. Exposition of a new theory on the measurement of risk[J|. Econometrica, 1754. 22(1): 23-36.
③ 随着熵的发现及以后的发展，现代物理理论确认拉普拉斯已经发现了“遍历性“。1907年，物理学家发现热力学第二定律的统计特性，实则为丹尼尔-拉普拉斯问题的特例。1915年，豪斯廷斯基(HOSTINSKY)应用拉普拉斯所得微分方程来研究布朗运动。
④ Laplace. P. S. M. de. Theorie analytique des probabilites[M]. Paris: Courcier,1812,
① Markov. A. A. Selected works[M]. Ed. Yu V Linnik. Leningrad, 1951.
② Markov. A. A. Selected works[M]. Ed. Yu V Linnik. Leningrad, 1951.
① Sheynin. O. B. A. A. Markov's work on probability[J]. Arch. History Exact Sci,1989, 39(3): 337-377.
② 玻耳兹曼得到气体单体约化概率分布演化的不可逆方程，但由于在推导中引入了某些概率假设而受到数学家和物理学家的猛烈攻击。后玻耳兹曼提出了遍历性理论，建立起动力学和统计物理学间的桥梁。
③ 如果随机过程X(t)，t≥0的初始分布μ使得对每一t≥0，X(t)的概率分布都与μ相同，则称μ为此过程的平稳分布。对一般自旋过程来说，遍历性研究主要是指弄清楚平稳分布集的结构，进而找出收敛于给定平稳分布的初始分布。过程遍历指：平稳分布唯一，且不论初始分布如何，过程都(弱)收敛于此唯一的平稳分布。无穷粒子马尔可夫过程的研究则提出上述更一般的遍历性研究课题。可解释为一个随时间演化的有空间分布的的随机系统，如一片自然森林群落，“最后”总会形成一种特定布局。这就是平稳分布的一种原型，需要弄清楚平稳分布集的结构，以及形成那些特定布局的初始分布。
④ Markov. A. A. Recherches Sur le cas general d'epreuves liees en chaine[J]. IAN, 1910,4(5): 385-417.
① Markov. A. A. Selected works[M]. Ed. Yu V Linnik: Leningrad,1951. pp444.
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③ Markov. A. A. Selected works[M]. Ed. Yu V Linnik. Leningrad,1951. pp339-361.
① [苏]格涅坚科．概率论教程[M]．丁寿田译．北京：人民教育出版社，1957．
② 遍历理论的思想和方法现已广泛应用于统计物理和凝聚态物理的各种现象，如Monte-Carlo、临界现象、
① Markov.A .A.Recherches sur un cas remarquable d'epreuvres dependantes[J](1907). French version:Acta Math.,t.33,1910,87-104.
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① Sheynin.O.B.A.A.Markov's work on probability[J].Arch.History Exact Sci,1989,39(3):337-377.
② 哲学的三大要素：对立统一、量变和质变、偶然和必然都包含着随机思想，也正是因具有随机思想才使得哲学具有广泛的指导意义。
③ 3,1937.
① Laplace.P.S. M. de.Essai philosophique sur les probabilites[M]. Paris: Courcier, 1814.
① 4. 1924.
② 林元烈，梁宗霞．随机数学引论[M]．北京：清华大学出版社，2004．
① [美]蒋庆琅著．随机过程与生命科学模型[M]．方积乾译．上海：上海翻译出版公司，1987．
① 陈木法．谈谈概率论与其他学科的若干交叉[J]．数学进展，2005，34(6)：661-672．
① 大量杂乱无章的数据，须经过整理、约化，才能突出其中所包含的信息。
② 19世纪前，欧洲因饥饿、战争、疾病等原因，尤其是黑死病流行的影响，死亡率很高。自1604年起伦敦教会每周一次发表“死亡公报”(bill of mortality)。第一个生命表是格朗特(John Graunt，1620—1674)据这些数据构建的。生命表是指现存人口的年龄分布。据此可以计算处在某一年龄段的人数比例，可推测人们的寿命，这对于保险金、年金的计算有直接关系。格朗特根据生命表，采取奇特的内插方式，做出一张表。该表列出年龄在0-6，6-16，16-26，……，66-76，76-80各段的死亡率。估计出3％的人寿命为66岁，1％的可活到76岁。
③ Kolmogorov. A. N. & Yushkevich A P. Mathematics of the 19th Century[M]. Basel; Boston; Berlin; Birkhauser, 1992.
④ 《年金论》在欧洲产生了很大影响，被后人奉为经典，先后出版了7次之多。
⑤ Todhunter. I. A History of the Mathematical of theory of probabilny from the times of pascal to that of Laplace[M]. Cambridge and Londun: Macmillan, 1865. Reprinted New York: Chelsea, 1993.
⑥ 法国数学家、天文家勒让德19世纪初(1805)在研究慧星轨道计算时发明此方法，他在估计过巴黎的子午线长的工作中，曾使用该方法。而高斯宣称，自1795年以来他一直在使用这个原理。但高斯使用这一方法最早见诸文字是1809年，比勒让德晚。为此二人争执多年，迟至1827年，勒让德还继续严斥高斯剽窃他人成果。现在公认这项发明系由二人独立做出。
① 在自然现象中不乏一些严格、确定性规律，但在社会现象中这种规律则绝少，因组成社会的单元——人、家庭、单位、地区等都有很大的变异性。因此只能从统计的角度去考察社会现象，如某措施对大多数人有利，这就是一种统计性规律，因这种“有利”是指对大多数，而非一切人。在20世纪初，统计学家研究过在英国几种救助贫困方式的效果评估，都是借助抽样调查并通过复杂的统计分析得出的结果。
② Sheynin.O.B.V Ya Buniakovsky's work in the theory of probability[J]. Arch. History Exact sci., 1991, 43(2): 199-223.
① BunyakovskiiV.Ya.The principles of the mathematical theory of probability. Petersburg, 1846.
② 布尼亚科夫斯基的这些研究有助于政府决策，故称其为人口统计学政府专家，尽管他不是政府官员。
③ 近年来，俄罗斯人口总数逐年减少，且减少速度星加快趋势。据联邦国家统计局的统计资料，1992年俄罗斯人口总数为1.487亿，而2000年初这个数字已变为1.448亿，9年中减少了390万人。这意味着俄罗斯人口数量每小时约减少109人。照此发展到本世纪末，俄罗斯将仅存5000万人。
④ Sheynin.P.B.On V Ya Buniakovsky's work in the theory of probability[J]. Inst.hist.nat.sci.& technology, preprint No.17.Moscow,1988.
⑤ 据记载，霍乱共有7次全球性大流行。第一次1817-1823年，疫情到达欧洲边境；第二次1827-1837年，疫情分三路穿过俄罗斯到达德国，后被传到英国、加拿大和美国；第三次1846-1863年，到达北美并波及整个北半球；第四次1863-1875年，通过一艘从埃及开往美国的航船流传开来：第五次1881-1896年，其流行广泛分布于远东的中国和日本、近东的埃及以及欧洲的德国和俄国；第六次1899-1923年；1908年9月，霍乱侵袭了整个俄国，仅彼得堡患者就有4931人，死亡1875人。1961年后霍乱又开始第七次大流行。起于印度尼西亚，后传到亚洲其他国家和欧洲，1970年进入非洲。
⑥ BunyakovskiiV.Ya.A few words concerning the dread of cholera[J]St. Petersburg Vedomosti, 24 June 1848, No 140:560.
② Sheynin Oscar.Markov and life insurance[J]. Math.Scientist. 2005,30:5-12.
① Sheynin Oscar.Markov and life insurance[J].Math.Scientist, 2005,30:5-12.
① Hald. A.A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M].New York:Wiley, 1998.
② Sheynin Oscar.Chebyshev's lectures on the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci., 1994, 46(1): 321-340.
① 1951.
② Sheynin.O .B.A.A.Markov's work on probability[J].Arch.History Exact Sci,1989, 39(3):337-377.
③ Markov. A .A. Selected works[M].Ed.Yu V Linnik.Leningrad, 1951.
④ 此即高斯—马尔可夫定理。
⑤ Sheynin .O.B.A.A.Markov's work on probability[J].Arch.History Exact Sci,1989, 39(3):337-377.
① 如已知数据1、2、3、4、5，求其离散系数。先求均值为(1+2+3+4+5)／5=3；再求离差，分别为：(1-3)=-2，(2-3)=-1，(3-3)=0．(4-3)=1，(5-3)=2；离差平方，分别为：4，1，0，1，4。离差平方和等于4+1+0+1+4=10，离差平方和的平均数：10／5=2，所以方差为2，标准差为2~(1/2)，离散系数为2~(1/2)／3。在彩票中离散系数是指任何一期大奖奖号组合中所有两个代码数字的代数差值个数的系数值。从理论上讲，“齐鲁风采”30选7的离散系数最小值为0，最大值为15。通过对其30选7前400期开奖数据统计分析得，离散系数的平均值为9，其中第2002014期的离散系数值最小为1；第2002069期的离散系数值最大为15。有将近90％都在7-11这个范围内，有1／4的离散系数为9的奖号组合，有100次。离散系数值基本上是以9为中心上下波动。若某期离散系数值越小，表明该期大奖奖号组合的分布平衡性越差，假若在数期内离散系数偏离值变化不大，则说明其近期大奖号组合“规律性”因素占主导地位；反之，则说明大奖奖号组合的随机性越强。
② 3.1937.
③ 4. 1924.
① 1959.
② 1967.
① 马尔可夫是第一个如此确定随机变量密度函数者，从中可以看到其思维的独特性。
② 3, 1937.
③ “小数定律”目前在经济学和金融学中正在越来越受到重视。行为金融学家用它解释股市“过度反应”等金融市场的异常现象。小数法则对航空公司的价格竞争与降价决策有着重要的作用，在价格决策中，航空公司决策者会系统性地给大概率较小的权重，小概率较大的权重。率先降价的航空公司会倾向于高估价格战的成功概率、低估其他航空公司抵抗的概率，或者认为其他航空公司的反应是不可置信的。政府部门容易关注这种被人为凸现出来的突发事件，出台一系列价格管制政策，以便避免过度降价出现的航空公司经营业绩不佳、社会经济动荡。
④ Markov.A.A.On the coefficient of dispersion for small numbers[J]. Strakh. obosrenie, 1916, 2:55-59.
⑤ Markov.A.A.Selected works[M].Ed,Yu V Linnik.Leningrad,1951.
① Sheynin.O.B.A.A.Markov's work on probability[J].Arch.History Exact Sci,1989, 39(3):337-377.
② 3,1937.
① Chebyshev. P .L.Oeuvres de P.L.Tchebychef(A.Markov and N.Sonin eds.),2 vols. 1899-1907.French translation of Russian edition.Reprinted by Chelsed,New York.
① Hald.A.A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M] New York:Wiley, 1998.
① Chebyshev. P. L.Sur I'interpolation par la methode des moindres carres[J]. Mem. Acad.Sci.st. Petersbourg, 1859, 1(15):1-24.
① Hald A.A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M].New York:Wiley.1998.
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② Chebyshev.P.L.Sur I'interpolation des valeurs equidistantes[J]. Proc. Acad.sci.st.Petersbourg, 1875, 25, No.5.
① Hald.A.A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M].New York:Wiley, 1998.
① 4.1950.
② 1967.
③ 1967.
④ 1948.
① 虽辛钦和柯尔莫戈洛夫的性格完全不同，但相处得却很好。辛钦长柯尔莫戈洛夫9岁，是后者的老师，但他从来不想成为领袖，对柯尔莫戈洛夫很尊敬，把他作为放射着新思想的人物。柯尔莫戈洛夫对自己的老师非常尊敬，但他成为领袖是自然之事。若遇到错误见解，他就完全不能控制情绪而高声辩解。而辛钦总是彬彬有礼，从不提高嗓门，用简单易懂的语言来说服对方，证明自己观点的正确性。某问题一旦解决后，柯尔莫戈洛夫在很大程度上就对其失去了兴趣。对他来说，创造过程是根本的。其创造过程随时可能发生，他陷入沉思后，就完全摆脱了周围一切，对任何事物都觉察不到了。辛钦需要安静的环境来思考，对没有解决的问题总是说：“让我想想，下次见面时我们再讨论这个问题。”他从来不忘自己答应过的事情。再次见面时，他会给出绝对清晰、完整、详细的解答。
② 1936.
③ 柯尔莫戈洛夫的学生中有6位成为苏联科学院院士或通讯院士。但他从不炫耀自己的成就，更不看重金钱，把获得奖金全部捐给学校图书馆。鉴于柯尔莫戈洛夫在概率论、调和分析和动力系统的贡献，被授予1980年沃尔夫奖，而他竟没有去领奖金。
① 概率论最初属于自然科学，被称为数的物理学。希尔伯特在23个问题中提出如何改造概率论，引发了概率论的公理化运动。以柯尔莫戈洛夫的公理化研究为标志，概率论完全成为人的理性创造物。
② 勒贝格为发展积分理论而使得直线上的集合也有“长度”，即满足可数可加性的测度。柯尔莫戈洛夫认为概率是对“事件集”的一种量度，将概率看作抽象的事件空间中事件集上的可数可加测度。
③ [俄]亚历山大洛夫．数学—它的内容方法和意义(第2卷)[M]．北京：科学出版社，2005．
④ 1936.
① 如ξ关于随机变元族的条件期望，定义为ξ关于这族随机变元所生成的子σ代数的条件期望。可测集A的条件概率则定义为在A上取1，其余取0的随机变量的条件期望。
② 吴文俊．世界著名数学家传记[M]．北京：科学出版社，1990．
③ 肖果能译．概率论的莫斯科学派[J]．数学译林，2001，20(2)：158．
① [苏]柯尔莫戈洛夫等．四十年来的苏联数学[M]．陈翰馥译．北京：科学出版社，1965．
② 复旦大学．概率论基础[M]．北京：人民教育出版社，1983．
① 肖果能译．概率论的莫斯科学派[J]．数学译林，2001，20(2)：158．
② 因条件不同，切比雪夫大数定理和辛钦大数定理不能互推。
① 1959.
② 3, 1937.
① 复旦大学．随机过程[M]．北京：人民教育出版社，1983
② [苏]柯尔莫戈洛夫等．四十年来的苏联数学[M]．陈翰馥译．北京：科学出版社，1965．
① 1959.
② 1948.
③ 如纺纱过程前一小时和后一小时的纺纱状态，总体上可看成一样，但每时刻纺出的纱还是有粗细之别，因而是随机变量。该过程就属于平稳过程。
① 1967.
② [苏]柯尔莫戈洛夫等．四十年来的苏联数学[M]．陈翰馥译．北京：科学出版社，1965．
① 江宁徐虎臣编译。
② 华蘅芳，字若汀，江苏金匮(今无锡市)人。1861年与徐寿同往安庆曾国藩军中，佐理洋务新政。1865年曾国藩、李鸿章合奏设立江南制造局于上海，华蘅芳即往上海筹各设局事宜。1868年，制造局内添设翻译馆，翻译西方科学书籍，与傅兰雅合作传译数学书籍，十余年间得《代数术》二十五卷、《微积溯源》八卷、《三角数理》十二卷、《代数难题解法》十六卷、《决疑数学》十卷、《合数术》十一卷。华蘅芳的研究涉及论开方术，数根术，积较术，特别是广义莫比乌斯反演的工作，推进了我国早期组合数学的研究。
③ 周达，字美权，浙江建德人，一生不仅自己从事数学研究，而且积极推动中国数学的发展。1900年， 在杨州成立了「知新算社」，是中国最早的民间数学团体，知新算社注重提高数学水平，学习外国先进数学。周达亦两次访问日本，增进了中日数学界的增进了互相了解，对中日数学发展都有促进作用，其子周炜良是当代著名代数几何学家。
① 华蘅芳，傅兰雅．决疑数学[M]．上海：上海飞鸿阁石印，1897．
② 《决疑数学》中将帕斯卡、费马和惠更斯分别译为巴斯果、勿马和晦正士。
① 1984年，为了纪念许宝騄，数学家钟开莱、郑清水、徐利治发起“许宝禄统计数学奖”，奖励35岁以下研究概率统计与理论统计的青年工作者。这是我国最高的数学奖项之一。
② 江泽涵，段学复．深切怀念许宝騄教授[J]．数学的实践与认识，1980，3：1-3．
③ 徐利治致力于分析数学领域的研究，在多维渐近积分，无界函数逼近以及高维边界型求积法等方面获众多成果，并在我国倡导数学方法论的研究。
④ 张尧庭在多元分析理论、部分平衡不完全区组设计、广义相关系数及应用方面取得一系列研究成果。
① 吴文俊．世界著名数学家传记[M]．北京：科学出版社，1990．
② 徐传胜，曲安京．许宝禄对概率统计所做的卓越贡献[J]．中国科技史料，2006，(4)：340-347．
① Pao-Lu. Hsu and H. Robbins.Complete convergence and the law of large number[J]. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1947,33:25-31.
② 这是原文中的定理3，是对贝莱定理的改进。
① Pao-Lu.Hsu The approximate distribution of the mean and variance of a sample of independent variables[J], Ann. Math. Statist. 1945,16:1-29.
② 当格涅坚科和柯尔莫戈洛夫合著的书英译本出版时，添加了许宝騄的论文作为附录。
③ Pao-Lu.Hsu.Contributions to the two-sample problem and the theory ofthe"Student's"T-test[J], Statist. Res. Mem. 1938,2:1-24.
① Pao-Lu.Hsu.On the best quadratic estimate of the variance[J], Statist. Res. Mem. 1938,2:91-104.
② 徐传胜，曲安京．许宝禄对概率统计所做的卓越贡献[J]．中国科技史料，2006，(4)：340-347．
① Pao-Lu. Hsu. Analysis of variance from the power function standpoint[J], Biometrika, 1941, 32: 62-69.
② 吴文俊．世界著名数学家传记[M]．北京：科学出版社，1990．
① 徐传胜，曲安京．许宝禄对概率统计所做的卓越贡献[J]．中国科技史料，2006，(4)：340-347．
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③ 皮尔逊认为，托德亨特太专注于代数问题而忽视了历史上重大事件对学科发展所产生的影响。他还建议，为避免变得陈腐，大学教师应每年开设一门从未讲授过的课程。
① Stigler. S.M. The History of Statistics:The Measurment of Uncertainty Before 1900[M]. Cambridge: Cambridge University, 1986.
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③ Hald. A.A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M].New York:Wiley,1998.
④ [M]. CCCP,1948.
⑤ [M]. 1967.
⑥ 尤什克维奇1960年当选为国际科学史研究院院士，1965-1968年任该院院长。舍伊宁1994年当选为院士。柯尔莫戈洛夫1977年被选为名誉院士，什托卡洛1978年被选为名誉院士。国际科学史研究院的总部设在巴黎，所有院士都享有终身称号，其出版刊物为‘科学史档案》(Archeion．Archivio storieodelia seienza)，而从1947年11月又推出该杂志的新系列《国际科学史档案)(Archives Intemationales d'Histoire des Sciences—Nouvelle serie d'Archeion)
⑦ 曲安京．中国数学史研究范式的转换[J]．中国科技史杂志，2005，26(1)：50～58．
① A.A.[M]. CCCP, 1959.
② 1712年，俄罗斯首都从莫斯科迁至圣彼得堡。此后一直到1918年3月，圣彼得堡一直是俄罗斯的首都。1914年，更名为彼得格勒(petergrad)。1924年1月列宁逝世后改称列宁格勒(leningrad)，1991年12月苏联解体后，恢复为圣彼得堡。彼得堡大学也随之改变校名。
③ 彼得大帝在1711-1716年几次听取了莱布尼兹的建议，并于1712年给予他一个有薪水的数学和科学宫廷顾问的职务。莱布尼兹也曾建议康熙建立北京科学院。
④ 伯努利兄弟于1725年秋应聘来到彼得堡科学院，欧拉于1727年5月24日抵达彼得堡。
① 2003年公布的世界大学排名彼得堡大学位于第23位。
② 俞天颖．俄罗斯圣彼得堡大学．知识就是力量．2002，7，p16．
③ 沃斯克列先斯基是门捷列夫的老师，被后者誉为“俄罗斯化学之鼻祖”。
④ 谢切诺夫是李雅普诺夫的姑父之兄，曾鼓励李雅普诺夫致力于科学研究，并给予物质帮助。而李雅普诺夫曾给他讲授过数学。
⑤ 刚入彼得堡大学时，李雅普诺夫常去听门捷列夫的化学讲座。马尔可夫曾解决了门捷列夫所提出的一个实际应用问题。
⑥ 巴甫诺夫1904年生理医学奖；梅契尼科夫1908年生理医学奖；谢苗诺夫1956年化学奖；朗道1962年物理奖；普罗霍洛夫1964年物理奖；列昂捷夫1973年经济学奖；康多诺维奇1975年经济学奖。
⑦ 李文林．数学的进化[M]．北京：科学出版社，2005，p100．
① 奥斯特罗格拉斯基于1822-1827年在法兰西学院学习，1828年春回国。布尼亚科夫斯基于1820-1823年在德国科堡学习，于1823-1825年在巴黎综合工科学校学习，并获得博士学位，1826年回国。
② [M]. CCCP,1964.
③ [M].CCCP, 1959.
④ 柯尔金1858年毕业于彼得堡大学，在彼得堡大学任教50年，1886年被授予功勋教授的称号。
① [M]. CCCP,1951.
② Gillispie. Ch. C.Dictionary of Scientific Biography[M].New York:Charles Scribner's Sons,vol.9.1971. p128.
③ 维诺格拉多夫是斯捷克洛夫的学生，1914年毕业于彼得堡大学，1929年1月当选为苏联科学院院士。1930—1932年任人口统计研究所所长，1930—1934年任物理．数学研究所数学部主任。1934年，原物理——数学研究所分为两个所：列别捷夫物理研究所(Lebedev Physical Institute)与斯捷克洛夫数学研究所。维诺格拉多夫被任命为斯捷克洛夫数学研究所第一任所长，直到去世。1950年起，他任《苏联科学院通报》数学组主编，1958年起任苏联数学家委员会主席。他始终对数学教育有极大的兴趣，直到去世前一直任苏联中学数学改革委员会主席。维诺格拉多夫曾被20多个外国科学院及科学协会等机构授予院士、名誉院士、会员、名誉会员等称号，还多次荣获苏联政府及苏联科学院等颁发的勋章及荣誉称号。
① 布拉斯曼创立了莫斯科数学学会并任第一届主席，切比雪夫是该会的第一批成员。在莫斯科大学期间，布拉斯曼讲授代数函数的积分理论、概率计算、工程力学和水力学等，其渊博知识和精湛的教学艺术对切比雪夫产生了很大影响。1865年9月30日，切比雪夫曾在莫斯科数学会上宣读了一封信，信中将自己应用连分数理论于级数展开式的工作归因于布拉斯曼的启发。
② 该文发表于1854年《彼得堡科学院通讯》的第1期。
① [M]. 1967.
② 该文发表于1859年《彼得堡科学院通讯》的第2期。
① Ostrogradsky. M.V. Sur une question des probabilites[J], petersb. Bull, 1848, 6,(21-22): 326.
② Kolmogorov. A. N & Yushkevich A P.Mathematics of the 19th Century[M]. Basel; Boston; Berlin: Birkhauser, 1992.
③ Chebyshev. P. L,Essay on the elementary analysis of the theory of probability[J] (1845).Reprinted 1951 in vol.5 of the author's Complete works, pp.26-87.
④ Chebyshev. P. L.Demonstration elementaire d'une proposition generale de la theorie des probabilites[J].J.Reine Angew.Math., 1846,33,pp.259-267.
⑤ Chebyshev. P. L.Des valeurs moyennes[J].Liouville's J.Math. Pures Appl.1867,12[2]:177-184.
⑥ Chebyshev. P.L.Sur deux theoremes relatifs aux probabilites[J]. Sur deux theoremes relatifs aux probabilites[J], Bull.Phys.-Math.Acad.Sci. st.Petersbourg,1887,55 and Acta math, 1891, 14:305-315.
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① Chebyshev. P. L.Sur I'interpolation par la methode des moindres carres[J].Mem.Acad. Sei.st.Petersbourg,1859, 1(15):1-24.
② 一般是在某数学家去世后，以其名字命名相关研究成果。而马尔可夫自己把这类过程命名为马尔可夫链。
③ Markov. A.A.Sclected works[M].Ed.Yu V Linnik.Leningrad,1951,
④ Markov. A. A.Recherches sur un cas remarquable d'eprcuvres dependantes[J](1907). French version:Acta Math. 1910,33:87-104.
⑤ Markov. A. A.Sur quelques cas du theoremes sur la limite de probabilite[J]. IAN,1908,2(6):483-496.
⑥ 同④
⑦ 虽切比雪夫解决了奥斯特罗格拉斯基刚提出的一类代数无理函数的积分问题，但研究内容和结果与奥斯特罗格拉斯基没有关系。因奥斯特罗格拉斯基提交论文的时间为1844年11月22日，发表于1845年。而切比雪夫早在1843年就完成了论文第一稿。那时切比雪夫还远在莫斯科大学，可能受布拉斯曼和刘维尔的影响。1833-1841年期间，刘维尔的数学研究集中在有限可积理论。在切比雪夫1853年的文章中，所列参考文献作者仅是刘维尔和阿贝尔。即使在1857年的论文中，切比雪夫也未提及奥斯特罗格拉斯基，仅是参考了埃尔米特、刘维尔和阿贝尔的文章。
① [M]. CCCP,1964.
① [M]. 1970.
② [M].CCCP, 1959.
③ 在魏尔斯特拉斯的大力举荐下，柯瓦列夫斯卡娅于1874年获哥廷根大学博士学位。1888年因解决刚体绕定点转动的一般情形的问题而获法国科学院的博尔丹奖及瑞典科学院奖金。其另一重要贡献是继柯西之后研究了偏微分方程解的存在唯一性问题，给出了更一般的结果，现称为柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理。该定理还被推广到偏微分方程组的情形。她1889年被聘为瑞典斯德哥尔摩大学终身教授。同年在切比雪夫的极力推荐下，成为彼得堡科学院第一位女通讯院士。不擅长写信的切比雪夫竟书信6封于柯瓦列夫斯卡娅，与她讨论学术问题。
① Gillispie. Ch. C.Dictionary of Scientific Biography[M].New York:Charles Scribner's Sons,vol.8.1971. p560.
② 李雅普诺夫的墓铭为：运动稳定性理论、旋转液团平衡理论、微分方程定性理论的创立者，概率论中心极限定理和一系列其它深刻的数学力学课题的探索者。
③ [M]. 1967.
① [M]. CCCP, 1959.
② 相对论消除了关于绝对空间与时间的幻象；量子力学消除了关于可控测量过程牛顿式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式的可预测性幻想。
③ 格拉维1888年毕业于彼得堡大学，1889年获得硕士学位留彼得堡大学任教。1897年获得博士学位，并开始在哈尔科夫大学工作。自1902年后在基辅大学工作。1919年成为乌克兰科学院院士。1929年成为苏联科学院名誉院士。十月革命后新政府要求数学更切合实际，且代数学不再适用于应用数学和技术控制。因此，1920年，格拉维中止了在基辅的著名代数讨论会，并且开始研究机械学和应用数学，但他从未完全放弃过代数研究。同年，拉格维开始主持乌克兰科学院的应用数学委员会工作。1934年在基辅建立了科学院的数学学院并且担任了第一个主任直至去世。
① 据埃拉托塞尼记载，公元前430年雅典城发生鼠疫，居民向德洛斯神祈求驱除疠疫，他们受命把祭坛扩大一倍，而不损原立方体形状。因此，倍立方问题又称之德洛斯问题。
② Akhieser. N. I. Chebyshev and his heritage[J].In Chebyshev's Selected works, pp:843-887. Moscow. 1955.
① Markov.A. A.Selected works[M].Ed.Yu V Linnik.Leningrad, 1951.
② Markov. A. A.Table des valeurs de l'integrale integral from n=x to ∽ exp(-t~2)dt [M]. st.Petersbourg, 1875.
③ [M]. 4-e, 1924.
④ Gillispie. Ch. C.Dictionary of Scientific Biography[M].New York:Charles Scribner's Sons,vol.3.1971. p.226.
① Gillispie. Ch. C.Dictionary of Scientific Biography[M].New York:Charles Scribner's Sons,vol.3.1971. p.226.
② 切比雪夫所采用的方法不同于通常的绘制法，而是使地球表面某部分的像变化尺度最小，从整体来看，这种像是最有价值的。这种投影具有良好的性质，即最佳投影定理：在边界像的尺度保持不变。
③ Kolmogorov. A.N.&Yushkevich A P.Mathematics of the 19th Century[M]. Basel; Boron; Berlin: Birkhauser,1992.p254.
④ Kolmogorov. A. N.& Yushkevich A P. Mathematics of the 19th Century[M].Basel; Boron; Berlin: Birkhauser,1992.p254.
① Gillispie.Ch. C.Dictionary of Scientific Biography[M].New York:Charles Scribner's Sons,vol.3.1971. p.223.
② Sheynin.O.B.A.A.Markov's work on probability[J].Arch.History Exact Sci,1989, 39(3): 339.
③ [M].1970.
④ Sheynin. O.B.A.A.Markov's work on probability[J].Arch.History Exact Sci,1989, 39(3): 347.
⑤ 尽管切比雪夫对卡瓦列夫斯卡娅给予了很大的支持，但他们在学术上却各执一端，每次见面都争论不休。
① [瑞典]L．戈丁．数学概观[M]．北京：科学出版社，2001．p288．
② 拉普拉斯晚年被聘为彼得堡科学院外国院士。
③ 徐传胜，曲安京．拉普拉斯的《分析概率论》研究[J]．自然科学史研究，2006，(3)：227-237．
④ 若3颗骰子同为“1点”或“6点”的概率仅为1／27，而点数在4-17间任意数值的概率都超过之。
⑤ 尼古拉第二·伯努利和丹尼尔．伯努利都是约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667-1748)的儿子。1725年10月
① 吴文俊．世界著名数学家传记[M]．北京：科学出版社，1990．p652．
② 达朗贝尔认为，最好使每一个人经历了正常生命的一部分，然后死于天花，这比最初就拿生命冒险要好。事实上，达朗贝尔和丹尼尔都忽略了接种牛痘潜在的最主要危险。当某人接种时，他可能因染上天花而生病，且可能传染他人。因此，每次接种都是疾病再次流传的祸根，对社会整体有很大的风险。
③ 伊丽莎白在位期间，罗蒙诺索夫(Lomonosov Mikhil Vasilievich，1711-1765)成为彼得堡科学院第一位本国院士，他是俄罗斯的自然科学家、哲学家，对诗歌与文学也有很高的造诣。其研究领域涉及数学、物理、化学、地质、冶金等学科，被授予“俄罗斯之父”称号，后俄罗斯大学改名为国立罗蒙诺索夫大学。
① 叶卡捷琳娜二世是德意志亲王的女儿，因嫁给彼得大帝的外孙来到俄罗斯，有机会接近并攫取王位。在位的34年里，她继承了彼得大帝未竟事业，领导俄罗斯全面参与欧洲的政治和文化生活，制定法典并厉行改革，使俄罗斯帝国空前繁荣，版图急剧扩张。
② Todhunter. I. A History of the Mathematical of theory of probability from the times of pascal to that of Laplace[M].Cambridge and Londun: Macmillan, 1865. Reprinted New York: Chelsea, 1993.
① [M].CCCP,1948.
② Brashman,N.D.On the influence of the mathematical sciences on the development of intellectual faculties. Moscow 1841,pp.30-31.
③ Kiroia.S.N.The scientific and educational activities of M.V.Ostrogradsky and V.Ya.Bunkovsky[J]. In:History of national mathematics,vol.2.Kiev, 1967,52-103.
① Ostrogradsky.M.V.On insurance(1847).Complete works,vol.3.Kiev, 1961,238-244.
② Ostrogradsky.M.V.Sur une question des probabilites[J], petersb. Bull, 1848,6(21-22):321-346.
③ [M].1967.
① [苏]格涅坚科．概率论教程[M]．丁寿田译．北京：人民教育出版社，1957．
② 1836年，俄罗斯科普学者曾撰文拒绝这种斯拉夫式的造字结构。柯尔莫戈罗夫也拒绝这种方式，如对“sposob naimenshikh kvadratov”(最小二乘法)曾建议改为“synonymous naimenshikh kvadratov”。
① Sheynin.O.B.V Ya Buniakovsky's work in the theory of probability [J].Arch. History Exact sci, 1991, 43(2): 199-223.
② 彼得堡以荷兰和法国建筑为蓝本而建造，堪称一座西方城市。当时模仿西欧特别是法国成为时尚，贵族甚至以讲法语为荣，只有对下人说话时才讲俄语。贵族子弟从小就要学习法语。
③ 切比雪夫不擅长于写信，信件几乎都由布尼亚科夫斯基来处理。布尼亚科夫斯基去世后，切比雪夫就几乎和西欧数学家失去了联系。
④ 终极指现象的目的论解释。
⑤ 现代科学家认为世界具有多个方面，有些不仅未知，且本质上是不可知的。
⑥ 李文林．数学珍宝[M]．北京：科学出版社，2000．
① Sheynin. O. B.V Ya Buniakovsky's work in the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci.,1991, 43(2):199-223.
② [苏]格涅坚科．概率论教程[M]．丁寿田译．北京：人民教育出版社，1957．
③ 吴文俊．世界著名数学家传记[M]．北京：科学出版社，1990．
④ [M]. 4-e,1924.
⑤ Sheynin.O.B.V Ya Buniakovsky's work in the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci., 1991,43(2):199-223.
⑥ 徐传胜，曲安京．拉普拉斯的《分析概率论》研究[J]．自然科学史研究，2006，(3)：227-237．
⑦ 概率定义最初源于卡尔达诺的《机会性游戏手册》。在1678年9月的备忘录中，莱布尼兹宣称“概率是可能性的度量”。雅科布和棣莫弗所给概率定义，也影响了拉普拉斯，但最直接影响的是孔多塞的概率定义：概率是等可能的组合之比。
① [M]. CCCP,1948.
② Sheynin.O.B.V Ya Buniakovsky's work in the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci.,1991,43(2): 199-223.
③ Chebyshev.P.L.Essay on the elementary analysis of the theory of probability[J] (1845).Reprinted 1951 in vol.5 of the author's Complete works, pp.26-87.
④ Sheynin Oscar.Chebyshev's lectures on the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci., 1994,46(1): 321-340.
⑤ Sheynin. O.B.A.A.Markov's work on probability[J].Arch.History Exact Sci,1989, 39(3):337-377.
⑥ [M]. 4-e,1924.
① Hald.A.A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M].New York:Wiley, 1998.
② 徐传胜，曲安京．拉普拉斯的《分析概率论》研究[J]．自然科学史研究，2006，(3)：227-237．
① Laplace.P.S.M.de. Theorie analytique des probabilites[M].Paris:Courcier, 1812.
② Sheynin.O.B.V Ya Buniakovsky's work in the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci., 1991,43(2): 199-223.
③ 徐传胜，曲安京．拉普拉斯的《分析概率论》研究[J]．自然科学史研究，2006，(3)：227-237．
① Sheynin.P.B.On V Ya Buniakovsky's work in thetheory of probability[J]. Inst.hist.nat.sci.& technology, preprint No. 17.Moscow, 1988.
② Sheynin. P. B.On V Ya Buniakovsky's work in the theory of probability[J]. Inst.hist.nat.sci.& technology, preprint No. 17.Moscow, 1988.
① [M].CCCP,1948.
② Sheynin.O.B.V.Ya.Buniakovsky's work in the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci.,1991,43(2): 199-223.
③ [M]. CCCP, 1959．
① 孔多塞主要相关著作：1765年出版的《概率计算》，1785年的《论判定多数意见的概率应用》，1789年的《概率计算原理及其对机遇游戏、抽彩和人类判断的应用》。
② Laplace.P. S..de.Essai philosophique sur les probabilites[M]. Paris: Courtier,1814.
③ Sheynin. P.B.On V Ya Buniakovsky's work in the theory of probability[J]. Inst.hist.nat.sci.& technology, preprint No. 17.Moscow, 1988.
① Sheynin. O.B.V Ya Buniakovsky's work in the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci., 1991, 43(2): 199-223.
② [M]. 4-e, 1924.
③ 吴文俊．世界著名数学家传记[M]．北京：科学出版社，1990．
④ 哲学家反感数学的傲慢和数学的“帝国主义”，担心概率论会侵入他们的领地而使哲学失去本色和传统。
① Sheynin. O. B.V Ya Buniakovsky's work in the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci., 1991, 43(2): 199-223.
② 代数语言学、统计语言学、应用数理语言学等数学与语言学的交叉学科已应运而生。北京大学首先开设数理语言学课程。我国的“748工程”从21657039个汉字样本中，统计出不同的汉字6374个，编成《汉字频率表》。1985年，原北京航空学院计算机科学工程系又抽样11873029字进行统计，为现代汉字的定量分析提供了大量数据。
③ Hald. A.A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M].New York:Wiley. 1998.
④ 陈希孺．数理统计学简史[M]．长沙：湖南教育出版社，2005．
① 曾有人建议彼得堡数学学派改称为欧拉—切比雪夫学派。
② Zdravkovska, S & Durcn,P. Golden Years of Moscow Mathcmatics[J].History of Mathematics,1993,6:1-33
③ 棣莫弗的书中没有太多理论，他用一长串问题，而不是定理和证明来表达自己的观点。他声称正在创建概率代数，但书中没有多少代数知识，且由于没有多少代数符号，而精心写成了许多长句，用“at a venture”表示“随机取”。他否认了运气在机会游戏中的作用，与卡尔达诺的观点完全相反。
④ Sheynin. O. B.A.A.Markov's work on probability[J].Arch.History Exact Sci,1989, 39(3):337-377.
⑤ Gillispie.Ch. C.Dictionary of Scientific Biography[M].New York:Charles Scribner's Sons,vol.9.1971. pp.124-130.
① 大数定理的“平均化”影响在物理现象中表现得格外准确。按照现代物理学的观点，任何气体都是由大量不断运动的分子所组成。对每个分子而言，不能预言其在指定时刻的运动速度及位置，但在一定条件下，可计算气体分子以某速度运动的百分率，或有百分之几的分子将落在某指定体积内。这正是物理学所需要的数据，因气体的主要特征——压力、温度、粘性等并不是由个别分子的复杂行为所决定，而是由其集体作用所决定。如气体的压力等于单位时间内撞击在单位面积上的分子总影响。
② Poisson.S -D.Recherches sur la probabilite des jugements en matiere criminelle et en matiere civile[M].Paris,1837.
③ 这种类型的大数定理属于弱大数定理。
④ Hacking I.The emergence ofprobability[M].Cambridge:Cambridge University Press,1975.
⑤ 《猜度术》分为5部分。在第1卷中，对惠更斯的《论赌博中的计算》作了较为详细的注释，其长度为惠更斯原文的五倍。雅可布对某些问题给出了自己的证明，并把一些问题推广到一般情形，因而其注释比原文更有价值。第2卷比较系统地论述了排列组合知识，并给出著名的“伯努利数”和“伯努利方程”。第3卷由24个问题组成，是前述理论的应用。第4卷包含了该书的精华——伯努利大数定理。另外，该卷还论述了雅各布特有的哲学思想。第5卷是附录，包含两部分内容。一部分是关于无穷级数的五篇论文，另一部分以书信的形式讨论了网球比赛中的计分问题。《猜度术》出版于1713年，而雅可布死于1705年。由于弟兄间的矛盾，雅可布的遗孀不相信约翰而把雅可布的手稿藏匿起来，后在莱布尼兹的一再敦促下，才出版问世。1913年，马尔可夫在彼得堡出版了《猜度术》俄文版，并发起庆祝大数定理发现200周年活动。
⑥ 同②
⑦ 该文首先发表在《彼得堡科学院通讯》，1867年被刘维尔杂志转载。
① Bernoulli. J.Ars conjectandi[M]. Basel. 1713.
② 李文林．数学珍宝[M]．北京：科学出版社，2000．
① 李文林．数学珍宝[M]．北京：科学出版社，2000．pp798-790．
② 伯努利家族第一代：雅可布、尼古拉、约翰；第二代：雅可布的儿子尼古拉、尼古拉的儿子尼古拉、约翰的儿子尼古拉第二、丹尼尔、约翰：第三代：约翰的三个儿子：约翰三世、丹尼尔、雅可布。
③ Hald.A.A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M].New York Wiley, 1998.
① [M]. 4-e,1924.
② Chebyshev.P.L.Demonstration elementaire d'une proposition generale de la Theorie des probabilites[J]. J.Reine Azgew.Math., 1846,33:259-267.
① 肖果能译．概率论的莫斯科学派[J]．数学译林，2001，20(2)：158．
② [M].CCCP,1948.
③ 泊松是数学家、力学家和物理学家，于1826年获彼得堡科学院名誉院士称号。他认为人生只有两件美好的事情：发现数学和讲授数学。泊松是拉普拉斯在多科工艺学校的学生，深受拉普拉斯的影响而对概率论产生了兴趣。在法国科学院，泊松和其同事就概率论应用于法律而展开了长期和激烈地争论。
① 在大量生产中当废品比例预计很小时，泊松分布对于产品检验和质量控制特别有用。
② Hald.A.A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M].New York:Wiley, 1998.
③ Poisson.S -D.Recherches sur la probabilite des jugements en matiere criminelle et en matiere civile[M]. Paris, 1837.
① Hacking. I.The taming of Chance[M].Cambridge:Cambridge University Press,1990.
② Hald.A.A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M].New York:Wiley, 1998.
① Hald. A. A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M]. New York: Wiley, 1998.
② Sheynin. O. B. S. -D. Poisson's work in probability[J]. Ibid. vol. 18. No. 3,1978, 245-300.
③ 1852年10月12日，切比雪夫第一次见到比埃奈梅。比埃奈梅的父亲是法国高级官员。比埃奈梅于1820年进入法国政界，1836年晋升为法国高级检察官。1848年始比埃奈梅从事科学研究，曾一度担任统计协会 大奖的评委达23年之久。1852年4月11日辞职并与4月30日离开政坛。此后全身心投入科学研究工作。
① Butzer Paul. L. P. L. Chebyshev(1821-1894)and his contacts with western European scientists [J]. Historia mathematica 1989,16: 46-68.
② 比埃奈梅把n叫做持续时间。
③ Bienayme . I . J. Theoreme sur la probabilite des resultats moyens des observations [J]. Soc. Philomat. Paris Extr 1839,5: 42-49.
④ Hald. A. A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M]. New York: Wiley, 1998.
① Berbstein. S. N. On Chebyshev's works on the theory of probability[J]. Reprinted 1964 in author's Collected works, vol. 4,pp: 409-433. Moscow.
② Chebyshev. P. L. Essay on the elementary analysis of the theory of probability[J] (1845). Reprinted 1951 in vol. 5 of the author's Complete works, pp. 26-87.
③ [M]. CCCp. 1964.
① Kolmogorov. A. N. & Yushkevich A P. Mathematics of the 19th Century[M]. Basel; Boston; Berlin: Birkhauser, 1992.
② Sheynin Oscar. Chebyshev's lectures on the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci. , 1994, 46(1): 321-340.
③ Chebyshev. P. L. Essay on the elementary analysis of the theory of probability[J] (1845). Reprinted 1951 in vol. 5 of the author's Complete works, pp. 26-87.
④ Sheynin Oscar. Chebyshev's lectures on the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci. , 1994, 46(1): 321-340.
① 这里切比雪夫错误的把1—p看作不可约的概率。
② Huygens. C. De Ratioeiniis in Ludo Aleae[M]. Elsevirii Leiden, 1657. Reprinted English translation by Arbuthnott, 1692.
③ Bernstein. S. N. On Chebyshev's works on the theory ofprobability[J]. Reprinted 1964 in author's Collected works, vol. 4,pp: 409-433. Moscow.
① [M] CCCP. 1948.
① Sheynin Oscar. Chebyshev's lectures on the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci. , 1994, 46(1): 321-340.
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③ Bernstein. S. N. Chebyshey and his influence on the development of mathematics[J]. Uchenye zapiski Moskovskogo Universiteta No. 91,35-45.
① Bernstein. S. N. On Chebyshev's works on the theory of probability[J]. Reprinted 1964 in author's Collected works, vol. 4. pp: 409-433. Moscow.
① 这与实际情况有些不符，因轨道倾角并不是随机变化的。
② Chebyshev. P. L. Des valeurs moyennes[J]. Liouville's J. Math. Pures Appl. 1867, 12(2): 177-184.
① 李文林．数学珍宝[M]．北京：科学出版社，2000．
② Bienayme. I J. Considerations a I'appui de la decouverte de Laplace sur la loi de Probabilite dans la methode des moindres carres. C. R. Hebd. Seances Acad. Sci. , 37, 309-324; and in Liouville's J. Math. Pures Appl. 1867, 12 (2): 158-176.
③ Chebyshev. P. L. Oeuvres de P. L. Tchebychef(A. Markov and N. Sonin eds. ),2 vols. 1899-1907. French translation of Russian edition. Reprinted by Chelsed,New York.
① Bienayme. I. J. Sur la probabilite des erreurs d'apres la methode des moindres carres. Liouville's J. Math. Pures Appl. 1852,17: 33-78.
② Bienayme. I. J. Sur les differences qui distinguent l'interpolation de M. Cauchy de la methode des moindres carres, et qui assurent la superiorite de cette methode. C. R. Hebd. Seances Acad. Sci. , 1853,37: 5-13.
③ Chebyshev. P. L. Sur les fractions continues[J]. 1855, In Russian. French transl. 1858 in J. math. pures et appl. , t. 3: 289-323.
④ [M]. 2,1948.
① Markov. A. A. Selected works[M]. Ed. Yu V Linnik. Leningrad, 1951.
② Markov. A. A. Sur quelques cas des theoremes sur les limites de probabilite et des esperances mathematiques[J]. IAN, 1907,1(16): 707-714.
① 1950.
① 1939.
② 伯恩斯坦1880年3月6日生于敖德萨，1968年10月26日卒于莫斯科。他1893年毕业于法国巴黎大学，1901年毕业于巴黎综合工科学校。1904年在巴黎获数学博士学位，1907年晋升为教授。1914年在哈尔科夫又获纯粹数学博士学位。1907—1933年在哈尔科夫大学任教，1933—1941年在列宁格勒综合技术学院和列宁格勒大学工作，1935年后在原苏联科学院数学研究所工作。1925年当选为乌克兰科学院院士，1929年当选为原苏联科学院院士。他还是巴黎科学院的外国院士，曾获得许多国家的荣誉称号和奖励。伯恩斯坦对偏微分方程，函数构造论和多项式逼近理论，概率论都做出了贡献。其主要论著都被收入1952—1964年出版的《伯恩斯坦文集》1-4卷中。
③ 1950.
① Maistrov. L E. Probability theory[M]. New York-Londun,1974. pp. 249-252.
② 1936.
① 1912年，波利亚在匈牙利的布达佩斯大学获得理学博士学位，其博士论文《概率演算中的一些问题及相关定积分的研究》中给出“中心极限定理”术语。他是布达佩斯研究概率论的第一人。
② Cramer. H. Half a century with probability thery: some personal recollections[J]. The annals of probability, 1976 4(4): 509-546.
③ 1711年，棣莫弗在英国皇家学会的《哲学学报》(Philosophical Transactions)上发表了“论抽签的原理”(De mensure sortis)，该文于1718年用英文出版时翻译成《机会的学说》(The doctrine of chance)，并扩充成书，其中没有涉及二项分布近似估计问题。1738年再版《机会的学说》时，棣莫弗以附录的形式给出二项分布的正态近似(normal approximation to the binomial distribution)。若以发表时间为依据，某些学者认为正态分布最早出现在1716年左右是错误的。
④ 徐传胜，吕建荣．棣莫弗的概率思想与正态概率曲线[J]．西北大学学2006，(2)339-343．
⑤ 在德国10马克的钞票上，高斯头像左边印有美丽的正态分布钟形曲线，这表明在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的莫过于发现正态分布。
⑥ Chebyshev. P. L. Sur deux theoremes relatifs aux probabilites[J]. Sur deux theoremes relatifs aux probabilites[J]. Bull. Phys. -Math. Acad. Sci. st. Petersbourg, 1887,55 and Acta math. 1891, 14: 305-315.
⑦ Sheynin. O. B. A. A. Markov's work on probability[J]. Arch. History Exact Sci, 1989, 39(3): 337-377.
⑧ Liapunov. A. M. Sur une proposition de la theorie des probabilites[J]. IAN 1900 13(4): 359-386.
⑨ 林德贝格是Helsingfors大学的教授，并拥有一个美丽的农场。当有人指责他在科学研究上不是十分积极时，他就说：”我是一个农民。”而若有人说他农场经营不好时，他就会说：“当然，我的真正工作是一个教授。
① Moiver. De. The Doctrine of Chances [M]. London, 1927
① 李文林等译．数学史通论．北京：高等教育出版社．2004．2：466-468．
① Laplace. P. S. M. de. Theorie analytique des probabilites[M]. Paris: Courcier,1812.
② 拉普拉斯注释到，由于a，a′满足公式仅需二阶矩存在，故可推广到任何具有二阶矩的离散型随机变量结论都成立。
① Todhunter. I. A History. of the Mathematical of theory of probability from the times of pascal to that of Laplace[M]. Cambridge and Londun: Macmillan, 1865. Reprinted New York: Chelsea, 1993.
① 陈希孺．数理统计学简史[M]．长沙：湖南教育出版社，2005．
② 布尼亚科夫斯基从1850年到1859年退休一直在彼得堡大学讲授概率论课程，切比雪夫自1860年起在彼得堡大学讲授概率论。
③ 现切比雪夫的讲义内容主要源于李雅普诺夫的听课笔记，他认真记录了老师每一堂的讲解过程。
① Laplace. P. S. M. de. Theorie analytique des probabilites[M]. Paris: Courcier,1812.
① Sheynin Oscar. Chebyshev's lectures on the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci. , 1994, 46(1): 321-340.
② Ⅹ, 1944.
③ 1919年，米西斯(R. Von Mises,1883-1953)重新获得这一极限定理。
① Bienayme. I. J. Sur la probabilite des erreurs d'apres la methode des moindrescarres. Liouville's J. Math. Pures Appl. 1852,17: 33-78
① Chebyshev. P. L. Oeuvres de P. L. Tchebychel(A. Markov and N. Sonin eds. ),2 vols. 1899-1907. French translation of Russian edition. Reprinted by Chelsed,New York.
② 马尔可夫称之为“切比雪夫问题”。
③ 1951.
① 1948.
② 彼得堡科学院记录55卷，6号，1887，附录．
③ Chebyshev. P. L. Sur deux theoremes relatifs aux probabilites[J]. Bull. Phys. -Math. Acad. Sci. st. Petersbourg, 1887, 55 and Acta math, 1891, 14: 305-315.
④ φ(X)为标准正态分布的分布函数。
① Markov. A. A. Selected works[M]. Ed. Yu V Linnik. Leningrad, 1951.
② Markov. A. A. Sur les racines de l'equation exp(x~2 )d" exp(-x~2 )/dx"'=0[J]. IAN,1898, 9(5): 435-446.
① Markov AA. Sur quelques cas des theoremes sur les limites de probabilite et des esperances mathematiques[J]. IAN, 1907,1(6): 707-714.
② Markov AA. Sur quelques cas du theoremes sur la limite de probabilite[J]. IAN, 1908, 2(6): 483-496.
③ 1970.
④ Hald A. A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M]. New York: Wiley,1998.
① 复旦大学．概率论基础[M]．北京：人民教育出版社，1983．
② Liapunov. A. M. Sur une proposition de la theorie des probabilites[J]. IAN 1900 13(4): 359-386.
① A. . M. . Nouvelle forme du theoreme sur la limite des probabilites[M]. 1901.
① A. M. . Nouvelle forme du theoreme sur la limite des probabilites[M]. 1901.
② Ⅹ,1944.
① 魏宗舒等．概率论与数理统计教程[M]．北京：高等教育出版社，2005．
① Cramer. H. Half a century with probability thery: some personal recollections[J]. The annals of probability,1976,4(4): 509-546.
② 1959.
③ 涅克拉索夫毕业于东正教的一所神学院，1874年进入莫斯科大学学习(俄罗斯1875年官方统计数据 表明，当时神学院毕业的学生数占全国大学学生总数的40％。)，师从巴格夫(Bugaev，1837-1903)。巴哥夫是俄罗斯第一位讲授复变函数论的教师，对离散数学和哲学都带有偏激性的研究。1879年，涅克拉索夫取得学士学位并留校任教。1885年，其博士论文《拉格朗日级数及一类函数的近似展开》答辩通过，获得数学博士学位。同年晋升为副教授，1890年晋升为教授。1893年，涅克拉索夫被任命为莫斯科大学的校长。自1898年，他负责莫斯科地区的教育管理工作。1891年任莫斯科数学会副理事长，1903年升任理事长。作为人民教育部委员会成员，1905年迁往彼得堡工作。
① Chirikov. M. V and Sheynin. O. B. Correspondence between Nekrasov and Andreev. IMI 1994,35: 124-147.
② 第一递交人是当时的著名教育家弗劳绕夫(Florov)，而大量工作是涅克拉索夫所做。
③ 当时社会主义科学院改名为共产主义科学院，产生了一些马克思主义数学家。1892-1899年期间，涅克拉索夫研究了固体绕定点旋转问题，并取得标志性结果。正是涅克拉索夫保护了地震学家高利特真。最初高利特真在数学物理的研究遭到大多数杰出俄罗斯物理学家的反对。马尔可夫直接拒绝他入选彼得堡科学 院。1908年，高利特真成为彼得堡科学院院士。
① Sheynin Oscar. Nekrasov's work on probability: the background[J]. Arch. History Exact sci. , 2003,57(1): 339.
② Markov. A. A. Reponse a M. Nekrassov[J]. MS,t. 28,No. 2,1912,215-227.
③ 当时《数学通报》由莫斯科数学会出版，属于涅克拉索夫的管辖范围。
④ Sheynin Oscar. Nekrasov's work on probability: the background[J]. Arch. History Exact sci. , 2003,57(1): 341.
① Sheynin Oscar. Nekrasov's work on probability: thc background[J]. Arch. History Exact sci. , 2003,57(1): 341.
② 书中不含马尔可夫链相关内容。
③ Nekrasov. P. A. The general properties of mass independent phenomena in connection with approximate calculation of functions of very large numbers. MS 20: 431-442,1898.
④ Nekrasov. P. A. New principles of the doctrine of probabilities of sums and mean values. MS, 1900-1902. 21: 579-763, 22: 1-142,323-498,23: 41-455,
① Sheynin. O. B. A. A. Markov's work on probability[J]. Arch. History Exact Sci,1989,39(3): 363
① Sheynin Oscar. Nekrasov's work on probability: the background[J]. Arch. History Exact sci. , 2003, 57(1): 337-353.
② Sheynin. O. B. A. A. Markov's work on probability[J]. Arch. History Exact Sci,1989, 39(3): 337-377.
③ 1948.
① Soloviev. A. D. P. A. Nekrasov and the central limit theorem of the theory of probability. IMl 1997, ser. 2, 2(37): 9-22.
② [苏]数学科学的成就，1944年第10卷。
③ [苏]格涅坚科．概率论教程[M]．丁寿田译．北京：人民教育出版社，1957．
④ Ⅱ, 1947.
① Markov. A. A. Selected works[M]. Ed. Yu V Linnik. Leningrad,1951.
② Markov. A. A. Recherches sur un cas remarquable d'epreuvres dependantes[J](1907). French version: Acta Math. , t. 33,1910,87-104.
③ 同①
④ 1948.
⑤ 在2006年国际数学家大会上，首届高斯奖授予90岁的日本数学家伊藤清，因为“他的工作与每天的日常生活紧密相连：通常一个微不足道、不可预测的机会决定一个骰子是否进入轮盘赌的洞里。当然，不可预测的因素是无法预测的，然而可以通过统计学方法来做决定。”由于“对概率论理论和应用概率论做出了奠基性贡献，特别是随机微积分的建立”，伊藤清获得了1987年的沃尔夫数学奖。
⑥ 马尔可夫过程的研究大致可分为：离散时间马尔可夫链、连续时间马尔可夫链、轨道连续的马尔可夫过程和跳过程等。
⑦ 1856年6月14日，马尔可夫出生于俄罗斯梁赞省。父亲安德烈·格瑞高耶维奇·马尔可夫，母亲娜德智达·彼特维娜。马尔可夫5岁时，举家迁往彼得堡。父亲先在一寡妇庄园做管家，后开设了私人律师事务所。1866年，马尔可夫进入彼得堡第五中学学习。马尔可夫聪明颖悟，对数学有着一种近乎天然的兴趣和喜好，自学了微积分，其水平远远超过了一般高中学生。当发现一种与教科书不同的常系数线性常微分方程的解法时，马尔可夫非常兴奋立即给当时俄国的数学元老布尼亚科夫斯基写了一封信，向他报告这一结果。布尼亚科夫斯基把信转给了自己的学生科尔金和佐洛塔廖夫，他们很快就给马尔可夫回了信，鼓励他报考彼得堡大学数学系，以数学作为自己的终身事业。
① 1883年，马尔可夫与自幼相识的女友瓦尔瓦切夫娅(M．I．Valvatyeva)结婚。岳母就是老马尔可夫当年的雇主。
② 经过切比雪夫的推荐和提名，马尔可夫进入彼得堡科学院。
③ 十月革命前夕，彼得堡的局势动荡不定，科学院和大学已无正常的工作秩序。马尔可夫请求科学院派他到俄罗斯内地从事教育。
④ 马尔可夫的儿子与他同名，是卓越的苏维埃数学家、苏联科学院通讯院士、列宁格勒国立大学教授。主要研究方向为：动力系统、测度论、拓扑学、计算理论和数理逻辑等。
⑤ Sheynin. O. B. A. A. Markov's work on probability|J]. Arch. History Exact Sci: 1989,39(3): 337-377.
⑥ 小马尔可夫曾随父亲一同到萨兰斯科县城，并在那里作为马尔可夫的学生听课学习。
⑦ 1967.
① 高尔基因发表《海燕之歌》而遭到宪兵搜捕和流放。
② 1896年，俄罗斯末代沙皇尼古拉二世粉墨登基。他残酷暴虐，被称作“血腥的尼古拉”。
③ 柯罗连科是十九世纪末二十世纪初俄罗斯批判现实主义作家。上大学时，受民粹派思想影响参加革命活动，遭反动当局逮捕和流放。1896年起任民粹派喉舌《俄罗斯财富》主要负责人多年。1902年，为抗议反动当局对高尔基的歧视，和契柯夫一起愤然辞去科学院名誉院士。柯罗连科始终未能理解无产阶级的历史使命和十月革命的伟大意义，但他对沙俄反动统治一直不妥协，对劳动人民则充满同情、热爱和信任。
④ 契诃夫与法国的莫泊桑、美国的欧·亨利被称为世界三大短篇小说作家。
⑤ 1951．
⑥ 康斯坦丁是沙皇的叔父。
⑦ 1907年6月3日，沙皇的走卒斯托雷平(1862-1911)悍然解散由社会民主党人参加的第二届国家杜马，随后组织了代表地主和资产阶级利益的第三届杜马。
⑧ 1951.
⑨ 1967.
① ⅩⅥ,1918.
② Markov. A . A. Table des valeurs de l'integral integral from n=x to ∞(exp(-t~2)dt[M]. st. Petersbourg, 1875.
③ 1951.
④ 1924.
⑤ A. . A. Sur une probabitite a posteriori[J]. Kharkow Comm. , 1900,7(1): 23-25.
⑥ Sheynin. O. B. A. A. Markov's work on probability[J]. Arch. History Exact Sci,1989,39(3): 337-377.
① 3,1937.
② 3,1937.
③ 1967.
④ 4-e,1924.
⑤ Ⅹ, 1944.
① 切比雪夫证得p=2时为真。1920年，波利亚对此进行了研究。
② Sheynin. O. B. A. A. Markov's work on probability[J]. Arch. History Exact Sci,1989，39(3): 337-377.
③ 东正教最高领导者是尼古拉二世的私人教师和谋臣，他们在奴役俄罗斯各族人民、镇压日益高涨的民主运动等一系列问题上是沆瀣一气的。沙皇政府大力支持东正教会的所作所为。
① Gillispie. Ch. C. Dictionary of Scientific Biography[M]. New York: Charles Scribner's Sons,vol. 9. 197 1. p. 126.
② 吴文俊．世界著名数学家传记[M]．北京：科学出版社，1990．
③ 4-e,1924.
④ BunyakovskiIV. Ya. The principles of the mathematical theory of probability. Petersburg,1846.
⑤ 同①
⑥ Sheynin. O. B. A. A. Markov's work on probability[J]. Arch. History Exact Sci,1989, 39(3): 337-377.
① 1950.
② 《论赌博中的计算》是概率论的第一部著作，系统化了以前的概率论理论体系，首次提出数学期望的概念，后人对概率论的研究多以此为蓝本。
① Huygens. C. De Ratiociniis in Ludo Aleae[M]. Elsevirii Leiden, 1657. Reprinted English translation by Arbuthnott. 1692.
① 杨向群．可列马尔可夫过程构造论[M]．湖南：湖南科学技术出版社，1980．
② Markov. A. A. Selected works[M]. Ed. Yu V Linnik. Leningrad,1951.
① p_(ij)表示由状态i转移到状态j的概率。
② Bernoulli D. Exposition of a new theory on the measurement of risk[J|. Econometrica, 1754. 22(1): 23-36.
③ 随着熵的发现及以后的发展，现代物理理论确认拉普拉斯已经发现了“遍历性“。1907年，物理学家发现热力学第二定律的统计特性，实则为丹尼尔-拉普拉斯问题的特例。1915年，豪斯廷斯基(HOSTINSKY)应用拉普拉斯所得微分方程来研究布朗运动。
④ Laplace. P. S. M. de. Theorie analytique des probabilites[M]. Paris: Courcier,1812,
① Markov. A. A. Selected works[M]. Ed. Yu V Linnik. Leningrad, 1951.
② Markov. A. A. Selected works[M]. Ed. Yu V Linnik. Leningrad, 1951.
① Sheynin. O. B. A. A. Markov's work on probability[J]. Arch. History Exact Sci,1989, 39(3): 337-377.
② 玻耳兹曼得到气体单体约化概率分布演化的不可逆方程，但由于在推导中引入了某些概率假设而受到数学家和物理学家的猛烈攻击。后玻耳兹曼提出了遍历性理论，建立起动力学和统计物理学间的桥梁。
③ 如果随机过程X(t)，t≥0的初始分布μ使得对每一t≥0，X(t)的概率分布都与μ相同，则称μ为此过程的平稳分布。对一般自旋过程来说，遍历性研究主要是指弄清楚平稳分布集的结构，进而找出收敛于给定平稳分布的初始分布。过程遍历指：平稳分布唯一，且不论初始分布如何，过程都(弱)收敛于此唯一的平稳分布。无穷粒子马尔可夫过程的研究则提出上述更一般的遍历性研究课题。可解释为一个随时间演化的有空间分布的的随机系统，如一片自然森林群落，“最后”总会形成一种特定布局。这就是平稳分布的一种原型，需要弄清楚平稳分布集的结构，以及形成那些特定布局的初始分布。
④ Markov. A. A. Recherches Sur le cas general d'epreuves liees en chaine[J]. IAN, 1910,4(5): 385-417.
① Markov. A. A. Selected works[M]. Ed. Yu V Linnik: Leningrad,1951. pp444.
② Markov. A. A. Selected works[M]. Ed. Yu V Linnik. Leningrad, 1951. pp347.
③ Markov. A. A. Selected works[M]. Ed. Yu V Linnik. Leningrad,1951. pp339-361.
① [苏]格涅坚科．概率论教程[M]．丁寿田译．北京：人民教育出版社，1957．
② 遍历理论的思想和方法现已广泛应用于统计物理和凝聚态物理的各种现象，如Monte-Carlo、临界现象、
① Markov.A .A.Recherches sur un cas remarquable d'epreuvres dependantes[J](1907). French version:Acta Math.,t.33,1910,87-104.
② Markov.A .A.Sur quelques cas du theoremes sur la limite de probabilite[J]. IAN, 1908,2(6):483-496.
① Sheynin.O.B.A.A.Markov's work on probability[J].Arch.History Exact Sci,1989,39(3):337-377.
② 哲学的三大要素：对立统一、量变和质变、偶然和必然都包含着随机思想，也正是因具有随机思想才使得哲学具有广泛的指导意义。
③ 3,1937.
① Laplace.P.S. M. de.Essai philosophique sur les probabilites[M]. Paris: Courcier, 1814.
① 4. 1924.
② 林元烈，梁宗霞．随机数学引论[M]．北京：清华大学出版社，2004．
① [美]蒋庆琅著．随机过程与生命科学模型[M]．方积乾译．上海：上海翻译出版公司，1987．
① 陈木法．谈谈概率论与其他学科的若干交叉[J]．数学进展，2005，34(6)：661-672．
① 大量杂乱无章的数据，须经过整理、约化，才能突出其中所包含的信息。
② 19世纪前，欧洲因饥饿、战争、疾病等原因，尤其是黑死病流行的影响，死亡率很高。自1604年起伦敦教会每周一次发表“死亡公报”(bill of mortality)。第一个生命表是格朗特(John Graunt，1620—1674)据这些数据构建的。生命表是指现存人口的年龄分布。据此可以计算处在某一年龄段的人数比例，可推测人们的寿命，这对于保险金、年金的计算有直接关系。格朗特根据生命表，采取奇特的内插方式，做出一张表。该表列出年龄在0-6，6-16，16-26，……，66-76，76-80各段的死亡率。估计出3％的人寿命为66岁，1％的可活到76岁。
③ Kolmogorov. A. N. & Yushkevich A P. Mathematics of the 19th Century[M]. Basel; Boston; Berlin; Birkhauser, 1992.
④ 《年金论》在欧洲产生了很大影响，被后人奉为经典，先后出版了7次之多。
⑤ Todhunter. I. A History of the Mathematical of theory of probabilny from the times of pascal to that of Laplace[M]. Cambridge and Londun: Macmillan, 1865. Reprinted New York: Chelsea, 1993.
⑥ 法国数学家、天文家勒让德19世纪初(1805)在研究慧星轨道计算时发明此方法，他在估计过巴黎的子午线长的工作中，曾使用该方法。而高斯宣称，自1795年以来他一直在使用这个原理。但高斯使用这一方法最早见诸文字是1809年，比勒让德晚。为此二人争执多年，迟至1827年，勒让德还继续严斥高斯剽窃他人成果。现在公认这项发明系由二人独立做出。
① 在自然现象中不乏一些严格、确定性规律，但在社会现象中这种规律则绝少，因组成社会的单元——人、家庭、单位、地区等都有很大的变异性。因此只能从统计的角度去考察社会现象，如某措施对大多数人有利，这就是一种统计性规律，因这种“有利”是指对大多数，而非一切人。在20世纪初，统计学家研究过在英国几种救助贫困方式的效果评估，都是借助抽样调查并通过复杂的统计分析得出的结果。
② Sheynin.O.B.V Ya Buniakovsky's work in the theory of probability[J]. Arch. History Exact sci., 1991, 43(2): 199-223.
① BunyakovskiiV.Ya.The principles of the mathematical theory of probability. Petersburg, 1846.
② 布尼亚科夫斯基的这些研究有助于政府决策，故称其为人口统计学政府专家，尽管他不是政府官员。
③ 近年来，俄罗斯人口总数逐年减少，且减少速度星加快趋势。据联邦国家统计局的统计资料，1992年俄罗斯人口总数为1.487亿，而2000年初这个数字已变为1.448亿，9年中减少了390万人。这意味着俄罗斯人口数量每小时约减少109人。照此发展到本世纪末，俄罗斯将仅存5000万人。
④ Sheynin.P.B.On V Ya Buniakovsky's work in the theory of probability[J]. Inst.hist.nat.sci.& technology, preprint No.17.Moscow,1988.
⑤ 据记载，霍乱共有7次全球性大流行。第一次1817-1823年，疫情到达欧洲边境；第二次1827-1837年，疫情分三路穿过俄罗斯到达德国，后被传到英国、加拿大和美国；第三次1846-1863年，到达北美并波及整个北半球；第四次1863-1875年，通过一艘从埃及开往美国的航船流传开来：第五次1881-1896年，其流行广泛分布于远东的中国和日本、近东的埃及以及欧洲的德国和俄国；第六次1899-1923年；1908年9月，霍乱侵袭了整个俄国，仅彼得堡患者就有4931人，死亡1875人。1961年后霍乱又开始第七次大流行。起于印度尼西亚，后传到亚洲其他国家和欧洲，1970年进入非洲。
⑥ BunyakovskiiV.Ya.A few words concerning the dread of cholera[J]St. Petersburg Vedomosti, 24 June 1848, No 140:560.
② Sheynin Oscar.Markov and life insurance[J]. Math.Scientist. 2005,30:5-12.
① Sheynin Oscar.Markov and life insurance[J].Math.Scientist, 2005,30:5-12.
① Hald. A.A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M].New York:Wiley, 1998.
② Sheynin Oscar.Chebyshev's lectures on the theory of probability [J]. Arch. History Exact sci., 1994, 46(1): 321-340.
① 1951.
② Sheynin.O .B.A.A.Markov's work on probability[J].Arch.History Exact Sci,1989, 39(3):337-377.
③ Markov. A .A. Selected works[M].Ed.Yu V Linnik.Leningrad, 1951.
④ 此即高斯—马尔可夫定理。
⑤ Sheynin .O.B.A.A.Markov's work on probability[J].Arch.History Exact Sci,1989, 39(3):337-377.
① 如已知数据1、2、3、4、5，求其离散系数。先求均值为(1+2+3+4+5)／5=3；再求离差，分别为：(1-3)=-2，(2-3)=-1，(3-3)=0．(4-3)=1，(5-3)=2；离差平方，分别为：4，1，0，1，4。离差平方和等于4+1+0+1+4=10，离差平方和的平均数：10／5=2，所以方差为2，标准差为2~(1/2)，离散系数为2~(1/2)／3。在彩票中离散系数是指任何一期大奖奖号组合中所有两个代码数字的代数差值个数的系数值。从理论上讲，“齐鲁风采”30选7的离散系数最小值为0，最大值为15。通过对其30选7前400期开奖数据统计分析得，离散系数的平均值为9，其中第2002014期的离散系数值最小为1；第2002069期的离散系数值最大为15。有将近90％都在7-11这个范围内，有1／4的离散系数为9的奖号组合，有100次。离散系数值基本上是以9为中心上下波动。若某期离散系数值越小，表明该期大奖奖号组合的分布平衡性越差，假若在数期内离散系数偏离值变化不大，则说明其近期大奖号组合“规律性”因素占主导地位；反之，则说明大奖奖号组合的随机性越强。
② 3.1937.
③ 4. 1924.
① 1959.
② 1967.
① 马尔可夫是第一个如此确定随机变量密度函数者，从中可以看到其思维的独特性。
② 3, 1937.
③ “小数定律”目前在经济学和金融学中正在越来越受到重视。行为金融学家用它解释股市“过度反应”等金融市场的异常现象。小数法则对航空公司的价格竞争与降价决策有着重要的作用，在价格决策中，航空公司决策者会系统性地给大概率较小的权重，小概率较大的权重。率先降价的航空公司会倾向于高估价格战的成功概率、低估其他航空公司抵抗的概率，或者认为其他航空公司的反应是不可置信的。政府部门容易关注这种被人为凸现出来的突发事件，出台一系列价格管制政策，以便避免过度降价出现的航空公司经营业绩不佳、社会经济动荡。
④ Markov.A.A.On the coefficient of dispersion for small numbers[J]. Strakh. obosrenie, 1916, 2:55-59.
⑤ Markov.A.A.Selected works[M].Ed,Yu V Linnik.Leningrad,1951.
① Sheynin.O.B.A.A.Markov's work on probability[J].Arch.History Exact Sci,1989, 39(3):337-377.
② 3,1937.
① Chebyshev. P .L.Oeuvres de P.L.Tchebychef(A.Markov and N.Sonin eds.),2 vols. 1899-1907.French translation of Russian edition.Reprinted by Chelsed,New York.
① Hald.A.A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M] New York:Wiley, 1998.
① Chebyshev. P. L.Sur I'interpolation par la methode des moindres carres[J]. Mem. Acad.Sci.st. Petersbourg, 1859, 1(15):1-24.
① Hald A.A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M].New York:Wiley.1998.
① Chebyshev. P.L.Oeuvres de P.L.Tchebychef(A.Markov and N.Sonin eds.),2 vols. 1899-1907.French translation of Russian edition.Reprinted by Chelsed,New York.
② Chebyshev.P.L.Sur I'interpolation des valeurs equidistantes[J]. Proc. Acad.sci.st.Petersbourg, 1875, 25, No.5.
① Hald.A.A history of mathematical statistics from 1750 to 1930[M].New York:Wiley, 1998.
① 4.1950.
② 1967.
③ 1967.
④ 1948.
① 虽辛钦和柯尔莫戈洛夫的性格完全不同，但相处得却很好。辛钦长柯尔莫戈洛夫9岁，是后者的老师，但他从来不想成为领袖，对柯尔莫戈洛夫很尊敬，把他作为放射着新思想的人物。柯尔莫戈洛夫对自己的老师非常尊敬，但他成为领袖是自然之事。若遇到错误见解，他就完全不能控制情绪而高声辩解。而辛钦总是彬彬有礼，从不提高嗓门，用简单易懂的语言来说服对方，证明自己观点的正确性。某问题一旦解决后，柯尔莫戈洛夫在很大程度上就对其失去了兴趣。对他来说，创造过程是根本的。其创造过程随时可能发生，他陷入沉思后，就完全摆脱了周围一切，对任何事物都觉察不到了。辛钦需要安静的环境来思考，对没有解决的问题总是说：“让我想想，下次见面时我们再讨论这个问题。”他从来不忘自己答应过的事情。再次见面时，他会给出绝对清晰、完整、详细的解答。
② 1936.
③ 柯尔莫戈洛夫的学生中有6位成为苏联科学院院士或通讯院士。但他从不炫耀自己的成就，更不看重金钱，把获得奖金全部捐给学校图书馆。鉴于柯尔莫戈洛夫在概率论、调和分析和动力系统的贡献，被授予1980年沃尔夫奖，而他竟没有去领奖金。
① 概率论最初属于自然科学，被称为数的物理学。希尔伯特在23个问题中提出如何改造概率论，引发了概率论的公理化运动。以柯尔莫戈洛夫的公理化研究为标志，概率论完全成为人的理性创造物。
② 勒贝格为发展积分理论而使得直线上的集合也有“长度”，即满足可数可加性的测度。柯尔莫戈洛夫认为概率是对“事件集”的一种量度，将概率看作抽象的事件空间中事件集上的可数可加测度。
③ [俄]亚历山大洛夫．数学—它的内容方法和意义(第2卷)[M]．北京：科学出版社，2005．
④ 1936.
① 如ξ关于随机变元族的条件期望，定义为ξ关于这族随机变元所生成的子σ代数的条件期望。可测集A的条件概率则定义为在A上取1，其余取0的随机变量的条件期望。
② 吴文俊．世界著名数学家传记[M]．北京：科学出版社，1990．
③ 肖果能译．概率论的莫斯科学派[J]．数学译林，2001，20(2)：158．
① [苏]柯尔莫戈洛夫等．四十年来的苏联数学[M]．陈翰馥译．北京：科学出版社，1965．
② 复旦大学．概率论基础[M]．北京：人民教育出版社，1983．
① 肖果能译．概率论的莫斯科学派[J]．数学译林，2001，20(2)：158．
② 因条件不同，切比雪夫大数定理和辛钦大数定理不能互推。
① 1959.
② 3, 1937.
① 复旦大学．随机过程[M]．北京：人民教育出版社，1983
② [苏]柯尔莫戈洛夫等．四十年来的苏联数学[M]．陈翰馥译．北京：科学出版社，1965．
① 1959.
② 1948.
③ 如纺纱过程前一小时和后一小时的纺纱状态，总体上可看成一样，但每时刻纺出的纱还是有粗细之别，因而是随机变量。该过程就属于平稳过程。
① 1967.
② [苏]柯尔莫戈洛夫等．四十年来的苏联数学[M]．陈翰馥译．北京：科学出版社，1965．
① 江宁徐虎臣编译。
② 华蘅芳，字若汀，江苏金匮(今无锡市)人。1861年与徐寿同往安庆曾国藩军中，佐理洋务新政。1865年曾国藩、李鸿章合奏设立江南制造局于上海，华蘅芳即往上海筹各设局事宜。1868年，制造局内添设翻译馆，翻译西方科学书籍，与傅兰雅合作传译数学书籍，十余年间得《代数术》二十五卷、《微积溯源》八卷、《三角数理》十二卷、《代数难题解法》十六卷、《决疑数学》十卷、《合数术》十一卷。华蘅芳的研究涉及论开方术，数根术，积较术，特别是广义莫比乌斯反演的工作，推进了我国早期组合数学的研究。
③ 周达，字美权，浙江建德人，一生不仅自己从事数学研究，而且积极推动中国数学的发展。1900年， 在杨州成立了「知新算社」，是中国最早的民间数学团体，知新算社注重提高数学水平，学习外国先进数学。周达亦两次访问日本，增进了中日数学界的增进了互相了解，对中日数学发展都有促进作用，其子周炜良是当代著名代数几何学家。
① 华蘅芳，傅兰雅．决疑数学[M]．上海：上海飞鸿阁石印，1897．
② 《决疑数学》中将帕斯卡、费马和惠更斯分别译为巴斯果、勿马和晦正士。
① 1984年，为了纪念许宝騄，数学家钟开莱、郑清水、徐利治发起“许宝禄统计数学奖”，奖励35岁以下研究概率统计与理论统计的青年工作者。这是我国最高的数学奖项之一。
② 江泽涵，段学复．深切怀念许宝騄教授[J]．数学的实践与认识，1980，3：1-3．
③ 徐利治致力于分析数学领域的研究，在多维渐近积分，无界函数逼近以及高维边界型求积法等方面获众多成果，并在我国倡导数学方法论的研究。
④ 张尧庭在多元分析理论、部分平衡不完全区组设计、广义相关系数及应用方面取得一系列研究成果。
① 吴文俊．世界著名数学家传记[M]．北京：科学出版社，1990．
② 徐传胜，曲安京．许宝禄对概率统计所做的卓越贡献[J]．中国科技史料，2006，(4)：340-347．
① Pao-Lu. Hsu and H. Robbins.Complete convergence and the law of large number[J]. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1947,33:25-31.
② 这是原文中的定理3，是对贝莱定理的改进。
① Pao-Lu.Hsu The approximate distribution of the mean and variance of a sample of independent variables[J], Ann. Math. Statist. 1945,16:1-29.
② 当格涅坚科和柯尔莫戈洛夫合著的书英译本出版时，添加了许宝騄的论文作为附录。
③ Pao-Lu.Hsu.Contributions to the two-sample problem and the theory ofthe"Student's"T-test[J], Statist. Res. Mem. 1938,2:1-24.
① Pao-Lu.Hsu.On the best quadratic estimate of the variance[J], Statist. Res. Mem. 1938,2:91-104.
② 徐传胜，曲安京．许宝禄对概率统计所做的卓越贡献[J]．中国科技史料，2006，(4)：340-347．
① Pao-Lu. Hsu. Analysis of variance from the power function standpoint[J], Biometrika, 1941, 32: 62-69.
② 吴文俊．世界著名数学家传记[M]．北京：科学出版社，1990．
① 徐传胜，曲安京．许宝禄对概率统计所做的卓越贡献[J]．中国科技史料，2006，(4)：340-347．
② 吴文俊．世界著名数学家传记[M]．北京：科学出版社，1990．
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