神经网络和遗传算法在导热反问题中的应用
|
摘要
导热反问题(Inverse Heat Conduction Problem，IHCP)广泛存在于工程中的各个领域，对它的研究有着十分重要的意义。本文回顾了导热反问题的发展过程，对其做了一个比较合理的分类。同时，对导热反问题理论做了简要介绍，并提供了一些常用求解方法。
鉴于导热反问题传统求解方法存在的缺陷，本文将近年来得到飞速发展和广泛应用的人工神经网络(Artificial Neural networks，ANN)和遗传算法(Genetic Algorithms，GA)引入了导热反问题的求解中，对用ANN和GA求解导热反问题做了比较深入的研究，建立了相应的求解模型，提出了ANN和GA用于求解导热反问题时的一些设计方法和求解规律，这些正是本课题的创新之处。
本文分别用BP网络、RBF网络和GA求解了一维导热反问题，分别用BP网络和GA求解了二维导热反问题，并用正问题具有解析解的导热反问题对所提出的算法进行了验证。求解结果表明：1)ANN和GA对一维导热反问题均能得到满意的结果，2)对二维设计型导热反问题，两者也能得到高精度的解；对二维多宗量导热反问题，两者的抗噪声性能都比较差，3)对二维单宗量导热反问题，GA的抗噪声性能可以达到要求，ANN则性能较差。对工程实际来说，本文的结果具有较大的应用价值。
The research to the IHCP that extensively exist in the most areas of the engineering has very important worth. In this paper, the history of IHCP is reviewed, and a classification to the IHCP is proposed. A introduction to the IHCP theory and some methods of solving the IHCP are presented
In this paper, because of the shortcoming of the solution methods in the past, the ANN and the GA are applied to solving the IHCP. The comprehensive research of solving IHCP with ANN and GA is developed, and the solution models are presented, and some design methods and solution rules are proposed, which are the innovations of this paper.
The one-dimension IHCP was solved with BP networks, RBF networks and GA, and the two-dimensions IHCP was solved with BP networks and GA, and the solution methods presented in this paper were tested with the IHCP to that the direct problem has analytical solution opposite. The results of simulations show that :1) Both of the ANN and the GA can get the good results to the one-dimension IHCP ,2)the two methods also can get the good results to the two-dimensions design IHCP, 3) the two methods have poorer anti-noise performance to the two-dimensions multi-varies IHCP. 4) the GA has good anti-noise performance to the two-dimensions unique-varies IHCP, nor has the ANN. The results got in this paper have higher use value.
鉴于导热反问题传统求解方法存在的缺陷，本文将近年来得到飞速发展和广泛应用的人工神经网络(Artificial Neural networks，ANN)和遗传算法(Genetic Algorithms，GA)引入了导热反问题的求解中，对用ANN和GA求解导热反问题做了比较深入的研究，建立了相应的求解模型，提出了ANN和GA用于求解导热反问题时的一些设计方法和求解规律，这些正是本课题的创新之处。
本文分别用BP网络、RBF网络和GA求解了一维导热反问题，分别用BP网络和GA求解了二维导热反问题，并用正问题具有解析解的导热反问题对所提出的算法进行了验证。求解结果表明：1)ANN和GA对一维导热反问题均能得到满意的结果，2)对二维设计型导热反问题，两者也能得到高精度的解；对二维多宗量导热反问题，两者的抗噪声性能都比较差，3)对二维单宗量导热反问题，GA的抗噪声性能可以达到要求，ANN则性能较差。对工程实际来说，本文的结果具有较大的应用价值。
The research to the IHCP that extensively exist in the most areas of the engineering has very important worth. In this paper, the history of IHCP is reviewed, and a classification to the IHCP is proposed. A introduction to the IHCP theory and some methods of solving the IHCP are presented
In this paper, because of the shortcoming of the solution methods in the past, the ANN and the GA are applied to solving the IHCP. The comprehensive research of solving IHCP with ANN and GA is developed, and the solution models are presented, and some design methods and solution rules are proposed, which are the innovations of this paper.
The one-dimension IHCP was solved with BP networks, RBF networks and GA, and the two-dimensions IHCP was solved with BP networks and GA, and the solution methods presented in this paper were tested with the IHCP to that the direct problem has analytical solution opposite. The results of simulations show that :1) Both of the ANN and the GA can get the good results to the one-dimension IHCP ,2)the two methods also can get the good results to the two-dimensions design IHCP, 3) the two methods have poorer anti-noise performance to the two-dimensions multi-varies IHCP. 4) the GA has good anti-noise performance to the two-dimensions unique-varies IHCP, nor has the ANN. The results got in this paper have higher use value.
引文
[1]．黄光远，李小军。数学物理反问题，山东：山东科学技术出版社，1993：1-35；
[2]. Tikhonov A N, Arsenin V Y. Solution of I11-posed Problems, Washington D C.: V H Winston&Sons, 1977
[3]．吉洪洛夫 A H，阿尔先宁 B R．不适定问题的解法，北京：地质出版社，1979。
[4] Cannon J R, Duchateau P. An Inverse Problem for an Unknown Source Term in a Heat Equation, J.R. Math. Anal. Appl. 1980(75): 465-485;
[5]. Duchateau P. Monotonicity and Uniqueness Results in Identifying an Unknown Coefficient in a Nonlinear Diffusion Equation. SIAM. J. Appl. Math, 1981(41);
[6]. Tsien D S, Chen Y M. A Numerical Method for Nonlinear Inverse Problem in Fluid Dynamics. Proc. Int. Conf. Comput. Methods in Nonlinear Mechs, 1974: 935-943;
[7]．徐定华。数学物理反问题与边值问题的积分方程方法[博士学位论文]。上海：上海大学，2001；
[8]．刘家琦。数学物理反问题的分类及不适定性问题的解。应用数学与计算数学，1993(4)：43-64；
[9]．王康宁。一类分布参数问题的参数辨识问题。数学物理学报，1983，3(3)：319-324；
[10]．程石清，张盛宗，黄延章，等。油藏渗流反问题研究与进展。水动力学研究与进展(A辑)，2003，18(1)：98-103；
[11]．黄光远，李小军。地震勘探中若干反演数学模型的探讨。CT理论与应用研究，1992，2(2)：8-13；
[12]．王玉学 薛欢庆 王爱民。一个偏微分方程反问题数值求解的方法。大庆石油学院学报．2003，27(2)：125-126；
[13]．沙丽新 石雪飞。可靠度及其反问题理论在桥梁中的应用。建筑技术开发．2003，30(3)：19-21；
[14]．汪文华，颜威利。自适应模拟退火法在电磁场反问题中的应用。中国电机工程学报，1995，15(4)：234-238；
[15]．周静伟。不适定导热反问题理论及其在热处理中的应用[博士学位论文]．武汉：华中理工大学，1996；
[16]．胡国俊。传热中的多宗量反演研究[硕士学位论文]．大连：大连理工大学，2002；
[17]. H. M. Park, J. H. Lee. A method of solving inverse convection problems by means of mode reduction. Chemical Engineering, 1998, 53(9): 1731-1744;
[18]．徐安军，田乃媛．传热反问题研究方法在钢水温度预定中的应用．炼钢，1996，36(7)：36-40；
[19]．马继涌，谢鸣．多层壁导热反问题的解析公式及其应用．哈尔滨建筑大学学报，1995，28(6)：71-75
[20]．关荣华，曹春梅，陈衡。工业设备内部缺陷的红外热诊断研究。激光与红外，2001，31(4)：228-229；
[21]．於可广，纪志广，谢庭藩。人体深部热病灶产生时体表温度变异的换热机制。中国生物医学工程学报，1999，18(1)：109-112；
[22]. Stolz G Jr. Numerical Solutions to an Inverse Problem of Heat Conduction for Simple Shapes. J. Heat Transfer, 1960(80): 20-26;
[23]. Beck J V. Surface Heat Flux Determination Using an Integral Method. Nucl. Eng. Des, 1968(7): 170-178
[24]. Beck J V, Blackwell B, St. Clair C R. Inverse Heat conduction I11-posed Problems. New York: John Wiley & Sons. Inc, 1985;
[25]. Blackwell B F. An Efficient Technique for the Numerical Solution Of the One-dimensional Inverse Problem of Heat Conduction. Numer. Heat Transfer, 1981(4): 229-239;
[26]. Imber M. Nonlinear Heat Transfer in Planar Solids: Direct and Inverse Applications. AIAA. J, 1979(17): 204-212;
[27]. Muholland G P, San Martin R L. Indriect Thermal Sensing in Composite Media. Int. J. Heat Transfer, 1973(16): 1056-1060;
[28]. Williams S D, Curry D M. An Analytical Exprimental Study for Surface Heat Flux Determination. J. Spacecrapt. 1977(14): 632-637;
[29]. France D M, Chiang T. Analytical Solution to Inverse Heat Conduction Problems with Periodieity. J. Heat Transfer. 1980(102): 579-581;
[30]. Bass B R. Applications of the Finite Element to the Inverse Heat Conduction Problem Using Beck's Second Method. J. Eng. Ind, 1980(102): 168-176;
[31]. Miller K. Least-Squares Methods for I11-posed Problems with a Prescribed Bound. SIMA. J. Math. Anal, 1970,1(1): 52-74;
[32]. Murio D A. The Mollification Method and the Numerical Solution of an Inverse Heat Conduction Problem. SIAM J. Sci. Stat. Comput, 1981(2): 17-34;
[33]. Hill R G, Muholland G P. Accuracy and Resolving Power of One-Dimensional Transient Inverse Heat Conduction Theory as Applied to Discrete and Inaccurate Measurements. Int. J. Heat Mass Transfer, 1979(22): 1221-1229;
[34]. Beck J C, Murio D A. Combined Function Specification Regularization Procedure for Solution of Inverse Heat Conduction Problem. AIAA. J, 1986(24): 180-185;
[35]. Weber C F. Analysis an solution of the Ill-posed Inverse Heat Conduction Problem. Int. J. Heat Mass Transfer, 1981, 24(11):1783-1792;
[36]．周静伟，毛谦敏。淬火测试探头表面冷却特性的反问题辨识。中国计量学报，1998(2)：85-89；
[37]．王登刚，刘迎曦，李守巨。二维稳态导热反问题的正则化解法。吉林大学自然科学学报，2000(2)：55-59；
[38]．俞昌铭。计算热物性参数的导热反问题。工程热物理学报，1982，13(4)：373-378；
[39]．俞炳丰，王志刚，蒋立军。基于导热反问题分析的推力轴承瞬态油膜温度监控方法。2001，35(3)：225-228；
[40]．於可广，纪志广，谢庭藩，等。人体换热过程中参数的反问题辨识。生物医学工程杂志，1999，16(2)：225-229；
[41]．杨海天，胡国俊，薛齐文。共轭梯度法求解稳态传热组合边界条件反问题。大连理工大学学报，2003，43(2)：136-140；
[42]．方肇洪，柳晓雷，岳光溪。膜式壁上稳态热流测量技术的误差分析。热能动力工程，1999，14(3)：350-352；
[43]．靳蕃。神经计算智能基础。成都：西南交通大学出版社，2000；
[44]．虞和济。基于神经网络的智能诊断。北京：冶金工业出版社，2000；
[45]．杨朋。神经网络算法在导热反问题中的应用[硕士学位论文]。天津：河北工业大学，2003；
[46]. Beck J V, Blackwell B, St. Clair C R. Inverse Heat conduction I11-posed Problems. New York: John Wiley&Sons. Inc, 1985: 111-113;
[47]. Beck J V, Blackwell B, St. Clair C R. Inverse Heat conduction I11-posed Problems. New York: John Wiley&Sons. Inc, 1985, 67-73;
[48]. Beck J V, Blackwell B, St. Clair C R. Inverse Heat conduction I11-posed Problems. New York:
John Wiley & Sons. Inc, 1985: 115-135;
[49]. Beck J V, Blackwell B, St. Clair C R. Inverse Heat conduction I11-posed Problems. New York: John Wiley&Sons. Inc, 1985: 243-247;
[50]．杨海天，薛齐文。两级敏度分析求解非线性稳态多宗量导热反问题。中国工程热物理学会．传热传质学术会议论文集，上海，2002：17-19；
[51]．靳蕃。神经计算智能基础。成都：西南交通大学出版社，2000，21-26；
[52]．王文成。神经网络及其在汽车工程中的应用。北京：北京理工大学出版社，1998，232-236；
[53]．王伟。人工神经网络原理。北京：北京航空航天大学出版社，1995，1-9；
[54]．许东，吴铮。基于Matlab．x的系统分析与设计——神经网络。西安：西安电子科技大学出版社，2002，3-5；
[55]．王伟。人工神经网络原理。北京：北京航空航天大学出版社，1995，55-58；
[56]．赵林明，胡浩云，魏德华，等。多层前向人工神经网络。河南：黄河水利出版社，1999，23-36；
[57]．谢庆生，尹键，罗延科。机械工程中的神经网络方法。北京：机械工业出版社，2003，39-51；
[58]．韩力群。人工神经网络理论、设计及应用。北京：化学工业出版社，2002；
[59]．徐丽娜。神经网络控制。哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1999，12-15；
[60]．焦李成。神经网络系统理论。西安：西安电子科技大学出版社，1990：
[61]．周凤利，李绍滋，粱文林。一种改进型的BP算法。电气传动自动化，1997，19(1)：39-41
[62]．丛爽。神经网络、模糊系统及其在运动控制中的应用。合肥：中国科学技术大学出版社，2001，19-27：
[63]．赵振宇。模糊理论和神经网络的基础与应用。北京：清华大学出版社，1996；
[64]．王文成。神经网络及其在汽车工程中的应用。北京：北京理工大学出版社，1998，89-95；
[65]．丛爽。神经网络、模糊系统及其在运动控制中的应用。合肥：中国科学技术大学出版社，2001，80-83；
[66]．王小平，曹立明。遗传算法—理论、设计及软件实现。西安：西安交通大学出版社，2002，7-10；
[67]．云庆夏。遗传算法原理。北京：冶金工业出版社，2001；
[68]．虞和济。基于神经网络的智能诊断。北京：冶金工业出版社，2000；
[69]．张乃尧，阎平凡。神经网络与模糊控制。北京：清华大学出版社，1998，33～36；
[70]. Hornik K et al. Multilayer Feedfoward Network are Universal Approximators, Neural Network, 1989, (2): 359-366.
[71]．王文成。神经网络及其在汽车工程中的应用。北京：北京理工大学出版社，1998，242-245；
[72]．林丹，李敏强，寇纪凇。基于实数编码的遗传算法的收敛性研究[J]。计算机研究与发展，2000，37(11)，1322-1327；
[73]. Michalewicz Z. Genetic Algorithms+Data Structures=Evolution Programs. 3rd ed. New York: Springer Veerlag, 1996;
[74]．王小平，曹立明。遗传算法-理论、设计及软实现。西安：西安交通大学出版社，2002，25-27；
[75]．杨世铭，陶文铨。传热学。北京：高等教育出版社。1999年，40-50．
[76]．M．N．奥齐西克 著，俞昌铭 译．热传导[M]．北京：高等教育出版社，1983，58-72．
[2]. Tikhonov A N, Arsenin V Y. Solution of I11-posed Problems, Washington D C.: V H Winston&Sons, 1977
[3]．吉洪洛夫 A H，阿尔先宁 B R．不适定问题的解法，北京：地质出版社，1979。
[4] Cannon J R, Duchateau P. An Inverse Problem for an Unknown Source Term in a Heat Equation, J.R. Math. Anal. Appl. 1980(75): 465-485;
[5]. Duchateau P. Monotonicity and Uniqueness Results in Identifying an Unknown Coefficient in a Nonlinear Diffusion Equation. SIAM. J. Appl. Math, 1981(41);
[6]. Tsien D S, Chen Y M. A Numerical Method for Nonlinear Inverse Problem in Fluid Dynamics. Proc. Int. Conf. Comput. Methods in Nonlinear Mechs, 1974: 935-943;
[7]．徐定华。数学物理反问题与边值问题的积分方程方法[博士学位论文]。上海：上海大学，2001；
[8]．刘家琦。数学物理反问题的分类及不适定性问题的解。应用数学与计算数学，1993(4)：43-64；
[9]．王康宁。一类分布参数问题的参数辨识问题。数学物理学报，1983，3(3)：319-324；
[10]．程石清，张盛宗，黄延章，等。油藏渗流反问题研究与进展。水动力学研究与进展(A辑)，2003，18(1)：98-103；
[11]．黄光远，李小军。地震勘探中若干反演数学模型的探讨。CT理论与应用研究，1992，2(2)：8-13；
[12]．王玉学 薛欢庆 王爱民。一个偏微分方程反问题数值求解的方法。大庆石油学院学报．2003，27(2)：125-126；
[13]．沙丽新 石雪飞。可靠度及其反问题理论在桥梁中的应用。建筑技术开发．2003，30(3)：19-21；
[14]．汪文华，颜威利。自适应模拟退火法在电磁场反问题中的应用。中国电机工程学报，1995，15(4)：234-238；
[15]．周静伟。不适定导热反问题理论及其在热处理中的应用[博士学位论文]．武汉：华中理工大学，1996；
[16]．胡国俊。传热中的多宗量反演研究[硕士学位论文]．大连：大连理工大学，2002；
[17]. H. M. Park, J. H. Lee. A method of solving inverse convection problems by means of mode reduction. Chemical Engineering, 1998, 53(9): 1731-1744;
[18]．徐安军，田乃媛．传热反问题研究方法在钢水温度预定中的应用．炼钢，1996，36(7)：36-40；
[19]．马继涌，谢鸣．多层壁导热反问题的解析公式及其应用．哈尔滨建筑大学学报，1995，28(6)：71-75
[20]．关荣华，曹春梅，陈衡。工业设备内部缺陷的红外热诊断研究。激光与红外，2001，31(4)：228-229；
[21]．於可广，纪志广，谢庭藩。人体深部热病灶产生时体表温度变异的换热机制。中国生物医学工程学报，1999，18(1)：109-112；
[22]. Stolz G Jr. Numerical Solutions to an Inverse Problem of Heat Conduction for Simple Shapes. J. Heat Transfer, 1960(80): 20-26;
[23]. Beck J V. Surface Heat Flux Determination Using an Integral Method. Nucl. Eng. Des, 1968(7): 170-178
[24]. Beck J V, Blackwell B, St. Clair C R. Inverse Heat conduction I11-posed Problems. New York: John Wiley & Sons. Inc, 1985;
[25]. Blackwell B F. An Efficient Technique for the Numerical Solution Of the One-dimensional Inverse Problem of Heat Conduction. Numer. Heat Transfer, 1981(4): 229-239;
[26]. Imber M. Nonlinear Heat Transfer in Planar Solids: Direct and Inverse Applications. AIAA. J, 1979(17): 204-212;
[27]. Muholland G P, San Martin R L. Indriect Thermal Sensing in Composite Media. Int. J. Heat Transfer, 1973(16): 1056-1060;
[28]. Williams S D, Curry D M. An Analytical Exprimental Study for Surface Heat Flux Determination. J. Spacecrapt. 1977(14): 632-637;
[29]. France D M, Chiang T. Analytical Solution to Inverse Heat Conduction Problems with Periodieity. J. Heat Transfer. 1980(102): 579-581;
[30]. Bass B R. Applications of the Finite Element to the Inverse Heat Conduction Problem Using Beck's Second Method. J. Eng. Ind, 1980(102): 168-176;
[31]. Miller K. Least-Squares Methods for I11-posed Problems with a Prescribed Bound. SIMA. J. Math. Anal, 1970,1(1): 52-74;
[32]. Murio D A. The Mollification Method and the Numerical Solution of an Inverse Heat Conduction Problem. SIAM J. Sci. Stat. Comput, 1981(2): 17-34;
[33]. Hill R G, Muholland G P. Accuracy and Resolving Power of One-Dimensional Transient Inverse Heat Conduction Theory as Applied to Discrete and Inaccurate Measurements. Int. J. Heat Mass Transfer, 1979(22): 1221-1229;
[34]. Beck J C, Murio D A. Combined Function Specification Regularization Procedure for Solution of Inverse Heat Conduction Problem. AIAA. J, 1986(24): 180-185;
[35]. Weber C F. Analysis an solution of the Ill-posed Inverse Heat Conduction Problem. Int. J. Heat Mass Transfer, 1981, 24(11):1783-1792;
[36]．周静伟，毛谦敏。淬火测试探头表面冷却特性的反问题辨识。中国计量学报，1998(2)：85-89；
[37]．王登刚，刘迎曦，李守巨。二维稳态导热反问题的正则化解法。吉林大学自然科学学报，2000(2)：55-59；
[38]．俞昌铭。计算热物性参数的导热反问题。工程热物理学报，1982，13(4)：373-378；
[39]．俞炳丰，王志刚，蒋立军。基于导热反问题分析的推力轴承瞬态油膜温度监控方法。2001，35(3)：225-228；
[40]．於可广，纪志广，谢庭藩，等。人体换热过程中参数的反问题辨识。生物医学工程杂志，1999，16(2)：225-229；
[41]．杨海天，胡国俊，薛齐文。共轭梯度法求解稳态传热组合边界条件反问题。大连理工大学学报，2003，43(2)：136-140；
[42]．方肇洪，柳晓雷，岳光溪。膜式壁上稳态热流测量技术的误差分析。热能动力工程，1999，14(3)：350-352；
[43]．靳蕃。神经计算智能基础。成都：西南交通大学出版社，2000；
[44]．虞和济。基于神经网络的智能诊断。北京：冶金工业出版社，2000；
[45]．杨朋。神经网络算法在导热反问题中的应用[硕士学位论文]。天津：河北工业大学，2003；
[46]. Beck J V, Blackwell B, St. Clair C R. Inverse Heat conduction I11-posed Problems. New York: John Wiley&Sons. Inc, 1985: 111-113;
[47]. Beck J V, Blackwell B, St. Clair C R. Inverse Heat conduction I11-posed Problems. New York: John Wiley&Sons. Inc, 1985, 67-73;
[48]. Beck J V, Blackwell B, St. Clair C R. Inverse Heat conduction I11-posed Problems. New York:
John Wiley & Sons. Inc, 1985: 115-135;
[49]. Beck J V, Blackwell B, St. Clair C R. Inverse Heat conduction I11-posed Problems. New York: John Wiley&Sons. Inc, 1985: 243-247;
[50]．杨海天，薛齐文。两级敏度分析求解非线性稳态多宗量导热反问题。中国工程热物理学会．传热传质学术会议论文集，上海，2002：17-19；
[51]．靳蕃。神经计算智能基础。成都：西南交通大学出版社，2000，21-26；
[52]．王文成。神经网络及其在汽车工程中的应用。北京：北京理工大学出版社，1998，232-236；
[53]．王伟。人工神经网络原理。北京：北京航空航天大学出版社，1995，1-9；
[54]．许东，吴铮。基于Matlab．x的系统分析与设计——神经网络。西安：西安电子科技大学出版社，2002，3-5；
[55]．王伟。人工神经网络原理。北京：北京航空航天大学出版社，1995，55-58；
[56]．赵林明，胡浩云，魏德华，等。多层前向人工神经网络。河南：黄河水利出版社，1999，23-36；
[57]．谢庆生，尹键，罗延科。机械工程中的神经网络方法。北京：机械工业出版社，2003，39-51；
[58]．韩力群。人工神经网络理论、设计及应用。北京：化学工业出版社，2002；
[59]．徐丽娜。神经网络控制。哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1999，12-15；
[60]．焦李成。神经网络系统理论。西安：西安电子科技大学出版社，1990：
[61]．周凤利，李绍滋，粱文林。一种改进型的BP算法。电气传动自动化，1997，19(1)：39-41
[62]．丛爽。神经网络、模糊系统及其在运动控制中的应用。合肥：中国科学技术大学出版社，2001，19-27：
[63]．赵振宇。模糊理论和神经网络的基础与应用。北京：清华大学出版社，1996；
[64]．王文成。神经网络及其在汽车工程中的应用。北京：北京理工大学出版社，1998，89-95；
[65]．丛爽。神经网络、模糊系统及其在运动控制中的应用。合肥：中国科学技术大学出版社，2001，80-83；
[66]．王小平，曹立明。遗传算法—理论、设计及软件实现。西安：西安交通大学出版社，2002，7-10；
[67]．云庆夏。遗传算法原理。北京：冶金工业出版社，2001；
[68]．虞和济。基于神经网络的智能诊断。北京：冶金工业出版社，2000；
[69]．张乃尧，阎平凡。神经网络与模糊控制。北京：清华大学出版社，1998，33～36；
[70]. Hornik K et al. Multilayer Feedfoward Network are Universal Approximators, Neural Network, 1989, (2): 359-366.
[71]．王文成。神经网络及其在汽车工程中的应用。北京：北京理工大学出版社，1998，242-245；
[72]．林丹，李敏强，寇纪凇。基于实数编码的遗传算法的收敛性研究[J]。计算机研究与发展，2000，37(11)，1322-1327；
[73]. Michalewicz Z. Genetic Algorithms+Data Structures=Evolution Programs. 3rd ed. New York: Springer Veerlag, 1996;
[74]．王小平，曹立明。遗传算法-理论、设计及软实现。西安：西安交通大学出版社，2002，25-27；
[75]．杨世铭，陶文铨。传热学。北京：高等教育出版社。1999年，40-50．
[76]．M．N．奥齐西克 著，俞昌铭 译．热传导[M]．北京：高等教育出版社，1983，58-72．