优化问题的几种算法
|
摘要
本文针对几种重要的优化模型，对近几年备受关注的几种新型优化算法(如极大熵函数法、同伦算法、填充函数法等)作了比较深入的研究，在此基础上将这些算法有机结合并作了进一步的改进、推广和应用，取得了比较满意的效果，详细内容如下：
1．对熵函数法作了进一步的研究，对改进的熵函数法作了较深入的理论分析，给出了误差估计，并将其用于解一般的约束问题、多目标规划问题，在此基础上又构造了一种新的对偶算法，并给出数值实验和收敛性证明．
2．对同伦算法作了进一步的推广应用，并利用熵函数法思想，给出了多目标规划的一种连续同伦算法，此外对非线性方程组提出了一种路径跟踪算法，理论分析与数值实验表明本算法比其它算法具有更快的收敛速度，且数值稳定性较好．
3．对填充函数法作了较深入的研究，在已有算法的基础上提出了一种单参数填充函数法，理论分析与数值实验表明该算法明显优于已有的算法．
This thesis is devoted to some numerical methods ,such as entropy method, filled function method and homotopy method. Their properties and extended applications are discussed on emphasis. The main work of the dissertation can be summarized as follows:
Essential properties of the adjusted maximum entropy function and the convergence analysis of the method are investigated at fist. Then the effectivity of the method is illustrated by using to solve the general constrained optimization problems and the multi-objective problem .Furthermore ,an extended dual algorithm is described. Finally,numerical results are given and analyzed.
Some new extension and applications of the homotopy method are discussed. First, an continued homotopy method ,based on the entropy function ,is applied to solve the multi-objective problem. Then an path following method on the basis of the entropy function is applied to solve nonlinear equations .Theory analysis and numerical experiments show that the method is effective.
Besides all of the above ,a new modified filled function method is given to solve the Lipschitz problem ,and the convergence analysis and the numerical results show this new method is practical and effective.
1．对熵函数法作了进一步的研究，对改进的熵函数法作了较深入的理论分析，给出了误差估计，并将其用于解一般的约束问题、多目标规划问题，在此基础上又构造了一种新的对偶算法，并给出数值实验和收敛性证明．
2．对同伦算法作了进一步的推广应用，并利用熵函数法思想，给出了多目标规划的一种连续同伦算法，此外对非线性方程组提出了一种路径跟踪算法，理论分析与数值实验表明本算法比其它算法具有更快的收敛速度，且数值稳定性较好．
3．对填充函数法作了较深入的研究，在已有算法的基础上提出了一种单参数填充函数法，理论分析与数值实验表明该算法明显优于已有的算法．
This thesis is devoted to some numerical methods ,such as entropy method, filled function method and homotopy method. Their properties and extended applications are discussed on emphasis. The main work of the dissertation can be summarized as follows:
Essential properties of the adjusted maximum entropy function and the convergence analysis of the method are investigated at fist. Then the effectivity of the method is illustrated by using to solve the general constrained optimization problems and the multi-objective problem .Furthermore ,an extended dual algorithm is described. Finally,numerical results are given and analyzed.
Some new extension and applications of the homotopy method are discussed. First, an continued homotopy method ,based on the entropy function ,is applied to solve the multi-objective problem. Then an path following method on the basis of the entropy function is applied to solve nonlinear equations .Theory analysis and numerical experiments show that the method is effective.
Besides all of the above ,a new modified filled function method is given to solve the Lipschitz problem ,and the convergence analysis and the numerical results show this new method is practical and effective.
引文
[1] Hajela P.,Techniques in optimum structural synthesis with static and dynamic constraints.Ph.D.thesis ,Stanford University, 1982.
[2] Hajela P.,Further developments in the controlled growth approach for optimal structural synthesis, ASME,paper (82—det—62), 1982.
[3] Li Xingsi,Entropy and optimization ,Ph.D.Thesis ,University of Liverpool, 1987.
[4] Li Xingsi,An aggregate constraint method for non-liner programming, Journal of optimization research society, 1991,42(11), 1003～1010.
[5] 李兴斯，解非线性规划的凝聚函数法，中国科学，1991(A辑)(12)，1283～1288．
[6] 李兴斯，解非线性规划的一个“准”精确惩罚函数法，科学通报，1991，36(19)，1451～1453．
[7] 李兴斯，非线性极大极小问题的一个有效解法，科学通报，1991，36(19)，1448～1450．
[8] 李兴斯，非线性极大极小问题的凝聚函数法，计算力学及其应用，1991，8(1)，85～92．
[9] 李兴斯，一类不可微优化问题的有效解法，中国科学，1991，4，371～377．
[10] 唐焕文，张立卫，凸规划的极大熵法，科学通报，1994,39(8)，682～684．
[11] 唐焕文，张立卫，王雪华，一类不可微优化问题的极大熵解法，计算数学，1993，15(31)，268～275．
[12] 杨庆之，对凝聚函数法的探讨，计算数学，1998，20(1)，25～34．
[13] 杨庆之，调节熵函数法，计算数学，2001,23(1)，81～86．
[14] 陈国庆，赵素芬，熵函数的数学理论，计算数学，1999，21(4)，397～406．
[15] 陈国庆，唐焕文，极大熵解法与指数罚函数，数学研究与评论，1998，18(2)，297～300．
[16] Liwei Zhang and huanwen Tang ,A maximum entropy algorithm with parameters for sloving minimax problem, 1997,6,(1-2), ,47～59.
[17] 王雪华，秦学志，多目标规划的极大熵解法，计算数学，1996,18(3)，305～308．
[18] Tang Huanwen ,Zhang Liwei and Wang Xuehua ,Maximum entropy methods for constrained optimization and minimax problem, Systems Science and Mathematical Science, 1996,9(1), 1～4.
[19] 唐焕文，张立卫，求解线性规划的极大熵方法，计算数学，1995,(2)，160～172．
[20] 唐焕文，秦学志，王雪华，大系统优化有效算法的研究，系统工程学报，1997,12(1)，1～8．
[21] 王长钰，韩继业，非光滑半无限规划极大熵方法的稳定性，1999．
[22] Wang Yuncheng ,Tang Huanwen and Zhang Liwei ,Maximum entropy method for constrained non-liner programming ,Operations Research and its Applications,World Published Corporation, 1995,74～81.
[23] 施保昌，胡新生，极大熵方法与非单调曲线搜索可行方向算法，计算数学，1997，19(3)，241～256．
[24] 施保昌，陈挺，胡新生，周济，多目标决策的逼近方法(1)：理论分析，系统工程学报，1996，11(3)，1～10．
[25] 施保昌，陈挺，多目标minimax问题的极大熵方法及其收敛性，华中理工大学学报，1997，25(1)，95～98．
[26] 胡新生，周济，施保昌，陈挺，多目标决策的逼近方法(Ⅱ)：应用与数值分析，系统工程学报，1996，11(3)，11～20．
[27] Zhou Guanglu and Wang Changyu ,A Maximum entropy Method for Semi- infinite programming, Operations Research and its Applications, World Published Corporation, 1995,82～87.
[28] 黄震宇，沈祖和，解一类非线性极大极小问题的极大熵方法，科学通报，1996，41(17)，1550～1554．
[29] 周广路，王长钰，张玉忠，半无限规划的一个有效算法，计算数学，1991，21 (1)，1～8．
[30] 秦学志，王雪华，模糊优化的极大熵方法，经济数学，1997，14(1)，81～84．
[31] Barthelemy ,J.F.M;Chang,K.J,Shuttle solid rocket booster bolted field joint shape optimization ,Journal of Spacecraft and Rockets, 1988,25,117～124.
[32] 杨海霞，杨仲候，最大熵方法在无约束优化方法中的应用，河海大学学报，1996，24(3)，23～30．
[33] 贺素香，张立卫，求解约束优化的一个对偶算法，计算数学，2001，23(3)，307～322．
[34] 王海鹰，张乃良，带约束条件的离散Minimax问题的区间极大熵方法，高校计算数学学报，2000，15(3)，369～376．
[35] Fang S.-C,Rajasekera J.R and Tsao H.-S.J.,Entropy optimization and mathematical programming ,Boston/London:Kluwer Acadomic Publishers ,1997.
[36] Davidenko,O.,On a new method of numerical solution of system of nonlinear equations ,Doklady Akad.Nauk USSR, 1953,28,601～605.
[37] Kellogg,R.B,li&Yorke,J.A.,A constructive proof of the Brouwer fixed—point theorem and computational results,SIAM J,Numerical Analysis, 1976,13,473～484.1(19)，25～32．
[38] Garcia ,C.B.and Zangwill ,W.I,Pathways to solutions ,Fixed points and equilibria , prenice-Hall ,Englewood Cliffs ,N.J. 1981．
[39] Karmarkar,N.K,A new polynomial-time algorithm for linear programming , Combinatorica ,1984,4,373-395．
[40] M.Kojima ,N,Megiddo and S. Mizuno ,A primal-dual infeasible-interior-point algorithm for linear programming,Mathematical programming, 1993,61,263-280．
[41] Monteiro ,R.D.C and Adler ,I.,Interior path following primal-dual algorithms ,part I: linear programming , Mathematical programming, 1989,44,27-41．
[42] Monteiro ,R.D.C and Adler ,I.,An extension of Karmarkar type algorithm to a class of convex separable programming problems with global linear rate of convergence, Mathematics of Operations Research ,1990,15,408-422．
[43] Monteiro ,R.D.C and Adler ,I., Interior path following primal-dual algorithms,part II, convex quadratic programming,Mathematical Programming, 1989,44,43-46．
[44] Monteiro ,R.D.C and Adler , I., A polynomial-time primal-dual affine scaling algorithm for linear and convex quadratic programming and its power series extension , Mathematics of Operations Research ,1990,15,191-214．
[45] K.O. Kortanek,and Zhu ,J.,A polynomial barrier algorithm for linearly constraints convex programming, Mathematics of Operations Research ,1993,18,116-127．
[46] Y. Ye and E. Tse .An extension of Karmarkar's projective algorithm for convex quadratic programming, Mathematical Programming,1989,44,157-179．
[47] 王宇,计算机优化同伦算法,大连:大连理工大学出版社,1991．
[48] Den Hertog ,D.,Roos ,C.and T. Terlaky ,A large-step analytic center method for a class of smooth convex programming problems ,SIAM Journal on Optimization, 1992,12,55-70．
[49] Den Hertog ,D.,Roos ,C.and T. Terlaky ,On the classical logarithmic barrier function method for a class of smooth convex programming problems Journal of Optimization Theory and Applications, 1992,173,1-25．
[50] Feng ,G.C,Lin Z.H. and Yu B., Existence of interior pathway to a Karush-Kuhn-Tucker point of a nonconvex programming problem,Nonlinear Analysis Jheory ,Method & Application,1998,32(6) ,761-768．
[51] Feng Guo-Chen and Yu Bo ,Combined homotopy interior point method for nonlinear programming problems, Advance in Numerical Mathematics ,Proceeding of the second Japan-China Seminar on Numerical Mathematics ,Lecture Notes in Num .Appl.Anal., 1995,14,9-16．
[52] 杨冰,刘朝阳,关于非线性规划的同伦算法与罚函数法,应用数学学报,1996,
[53] 林正华，于晓林，于波，连续方法求解约束凸规划问题，计算数学，1999，21，(3)，309～316．
[54] 王云诚，张立卫等，一般约束凸规划极大熵方法的收敛性，大连理工大学学报，1995，(35)，764～768．
[55] Lin. Z,B.Yu,andG.Feng, A combined homotopy interior point methed for convex nonlinear programming problems. Appl.mathematics and computation. 1997 ,84,193～211.
[56] 王则柯，高堂安，同伦方法引论，重庆：重庆出版社，1990．
[57] 林锉云，董加礼，多目标优化的方法与理论，吉林：吉林教育出版社，1992．
[58] Lin Z.H. and Li Y.,Homotopy method for solving variational inequalities, Journal of Optimization Theory and Applications, 1999,100(1),207～218.
[59] 冯果忱，非线性方程组迭代解法，上海：上海科学技术出版社，1989．
[60] 孔敏，沈祖和，解非线性方程组的极大熵方法，高等学校计算数学学报，1999，3(1)，1～7．
[61] 王宇，李兴斯，解非线性极大极小问题的路径跟踪算法，大连理工大学学报，1996，36(1)，14～18．
[62] 袁亚湘，非线性规划数值解法，上海：上海科技出版社，1993．
[63] 陈开周，最优化计算方法，西安：西安电子科技大学出版社，1984．
[64] 王云诚，系统优化的若干方法研究，大连理工大学博士论文，1999．
[65] Allgower. E.L,Georg. K,Numerical contiuation-methods:An introduction. Belin:springer-verlag 1990.
[66] Liu Zheng-hua Li Yong and Yu Bo .A combined homotopy interior point method for general nonlinear programming problems,Applied mathematics and computation, 1996, 80,209～224.
[67] 刘庆怀，林正华，求解多目标规划最小弱有效解的同伦内点算法，应用数学学报，2000，23(2)，188～195．
[68] 刘庆怀，董加礼，最优化问题中的同伦方法简介，东北运筹与应用数学，1998，3，1～3．
[69] 陈永，李立，张剑，严静，一种基于同伦函数的迭代法—同伦迭代法，2001，22(2)，149～156．
[70] 刘庆怀，解非凸规划问题的组合同伦内点法，吉林大学博士学位论文，1999．
[71] 张希，张可村，求解正定几何规划的同伦内点算法，计算数学，1996，3，225～232．
[72] 王云诚，系统优化的若干方法研究，大连理工大学博士论文，1999．
[73] 庄建南，多元函数总体极小的双参数广义填充函数法，高等学校计算数学学报，1994，16(3)，279～287．
[74] 孔敏．一类改进的非光滑规划的填充函数法．系统科学与数学，2000,20(2)，149～154．
[75] 李宝秀，沈愉．Lipschitz规划的填充函数法．系统科学与数学，1991，11(4)，346～348．
[76] 庄建南．求非光滑规划总体极小点的一类改进填充函数法，高等学校计算数学学报，1996，(2)，165～174．
[77] Ge R.P. and Qin. Y.F., A class of filled function for finding global minimizers of a function of several variables ,Journal of optimizition theory and applications, 1987,54 (2) ,241～252.
[78] H.Clarke .Optimizition and Nonsmooth Analysis,Wily ,New York, 1985.
[79] Wang D.Y and Sheng S.B ,A modified filled function method for finding a global minimizer of a function of several variables .Journal of computational mathematics, 1992,60-65.
[80] Ge R.P.,The theory of the filled function method for finding a global minimizer of a nonlinear constraints problem .Journal of computational mathematics, 1989.(5).
[81] Liu Xian,Finding Global Minima With a Computable Filled Function,Journal of global optimization, 2001,19:151-161.
[82] Zheng Xu,Hongxuan Huang and Panos M.and Chengxian xu ,Filled functions for unconstrained global optimization, Journal of global optimization, 2001,20,49～65.
[83] 应玫茜，魏权龄，非线性规划及其理论，北京：中国人民大学出版社，1994．
[84] 张乐友，刘三阳，求解多目标规划的一种连续同伦算法，(应用数学，录用)．
[85] 张乐友，刘三阳，求解非线性方程组的路径跟踪算法，(西安电子科技大学学报，录用)．
[86] 张乐友，刘三阳，葛泽慧，求解L—规划的改进的填充函数法，(已投高校计算数学学报)．
[87] 张乐友，刘三阳，改进熵函数的理论探讨与应用，(已投稿)．
[88] 张乐友，刘三阳，改进熵函数法在求解优化问题中的应用，(已投稿)．
[2] Hajela P.,Further developments in the controlled growth approach for optimal structural synthesis, ASME,paper (82—det—62), 1982.
[3] Li Xingsi,Entropy and optimization ,Ph.D.Thesis ,University of Liverpool, 1987.
[4] Li Xingsi,An aggregate constraint method for non-liner programming, Journal of optimization research society, 1991,42(11), 1003～1010.
[5] 李兴斯，解非线性规划的凝聚函数法，中国科学，1991(A辑)(12)，1283～1288．
[6] 李兴斯，解非线性规划的一个“准”精确惩罚函数法，科学通报，1991，36(19)，1451～1453．
[7] 李兴斯，非线性极大极小问题的一个有效解法，科学通报，1991，36(19)，1448～1450．
[8] 李兴斯，非线性极大极小问题的凝聚函数法，计算力学及其应用，1991，8(1)，85～92．
[9] 李兴斯，一类不可微优化问题的有效解法，中国科学，1991，4，371～377．
[10] 唐焕文，张立卫，凸规划的极大熵法，科学通报，1994,39(8)，682～684．
[11] 唐焕文，张立卫，王雪华，一类不可微优化问题的极大熵解法，计算数学，1993，15(31)，268～275．
[12] 杨庆之，对凝聚函数法的探讨，计算数学，1998，20(1)，25～34．
[13] 杨庆之，调节熵函数法，计算数学，2001,23(1)，81～86．
[14] 陈国庆，赵素芬，熵函数的数学理论，计算数学，1999，21(4)，397～406．
[15] 陈国庆，唐焕文，极大熵解法与指数罚函数，数学研究与评论，1998，18(2)，297～300．
[16] Liwei Zhang and huanwen Tang ,A maximum entropy algorithm with parameters for sloving minimax problem, 1997,6,(1-2), ,47～59.
[17] 王雪华，秦学志，多目标规划的极大熵解法，计算数学，1996,18(3)，305～308．
[18] Tang Huanwen ,Zhang Liwei and Wang Xuehua ,Maximum entropy methods for constrained optimization and minimax problem, Systems Science and Mathematical Science, 1996,9(1), 1～4.
[19] 唐焕文，张立卫，求解线性规划的极大熵方法，计算数学，1995,(2)，160～172．
[20] 唐焕文，秦学志，王雪华，大系统优化有效算法的研究，系统工程学报，1997,12(1)，1～8．
[21] 王长钰，韩继业，非光滑半无限规划极大熵方法的稳定性，1999．
[22] Wang Yuncheng ,Tang Huanwen and Zhang Liwei ,Maximum entropy method for constrained non-liner programming ,Operations Research and its Applications,World Published Corporation, 1995,74～81.
[23] 施保昌，胡新生，极大熵方法与非单调曲线搜索可行方向算法，计算数学，1997，19(3)，241～256．
[24] 施保昌，陈挺，胡新生，周济，多目标决策的逼近方法(1)：理论分析，系统工程学报，1996，11(3)，1～10．
[25] 施保昌，陈挺，多目标minimax问题的极大熵方法及其收敛性，华中理工大学学报，1997，25(1)，95～98．
[26] 胡新生，周济，施保昌，陈挺，多目标决策的逼近方法(Ⅱ)：应用与数值分析，系统工程学报，1996，11(3)，11～20．
[27] Zhou Guanglu and Wang Changyu ,A Maximum entropy Method for Semi- infinite programming, Operations Research and its Applications, World Published Corporation, 1995,82～87.
[28] 黄震宇，沈祖和，解一类非线性极大极小问题的极大熵方法，科学通报，1996，41(17)，1550～1554．
[29] 周广路，王长钰，张玉忠，半无限规划的一个有效算法，计算数学，1991，21 (1)，1～8．
[30] 秦学志，王雪华，模糊优化的极大熵方法，经济数学，1997，14(1)，81～84．
[31] Barthelemy ,J.F.M;Chang,K.J,Shuttle solid rocket booster bolted field joint shape optimization ,Journal of Spacecraft and Rockets, 1988,25,117～124.
[32] 杨海霞，杨仲候，最大熵方法在无约束优化方法中的应用，河海大学学报，1996，24(3)，23～30．
[33] 贺素香，张立卫，求解约束优化的一个对偶算法，计算数学，2001，23(3)，307～322．
[34] 王海鹰，张乃良，带约束条件的离散Minimax问题的区间极大熵方法，高校计算数学学报，2000，15(3)，369～376．
[35] Fang S.-C,Rajasekera J.R and Tsao H.-S.J.,Entropy optimization and mathematical programming ,Boston/London:Kluwer Acadomic Publishers ,1997.
[36] Davidenko,O.,On a new method of numerical solution of system of nonlinear equations ,Doklady Akad.Nauk USSR, 1953,28,601～605.
[37] Kellogg,R.B,li&Yorke,J.A.,A constructive proof of the Brouwer fixed—point theorem and computational results,SIAM J,Numerical Analysis, 1976,13,473～484.1(19)，25～32．
[38] Garcia ,C.B.and Zangwill ,W.I,Pathways to solutions ,Fixed points and equilibria , prenice-Hall ,Englewood Cliffs ,N.J. 1981．
[39] Karmarkar,N.K,A new polynomial-time algorithm for linear programming , Combinatorica ,1984,4,373-395．
[40] M.Kojima ,N,Megiddo and S. Mizuno ,A primal-dual infeasible-interior-point algorithm for linear programming,Mathematical programming, 1993,61,263-280．
[41] Monteiro ,R.D.C and Adler ,I.,Interior path following primal-dual algorithms ,part I: linear programming , Mathematical programming, 1989,44,27-41．
[42] Monteiro ,R.D.C and Adler ,I.,An extension of Karmarkar type algorithm to a class of convex separable programming problems with global linear rate of convergence, Mathematics of Operations Research ,1990,15,408-422．
[43] Monteiro ,R.D.C and Adler ,I., Interior path following primal-dual algorithms,part II, convex quadratic programming,Mathematical Programming, 1989,44,43-46．
[44] Monteiro ,R.D.C and Adler , I., A polynomial-time primal-dual affine scaling algorithm for linear and convex quadratic programming and its power series extension , Mathematics of Operations Research ,1990,15,191-214．
[45] K.O. Kortanek,and Zhu ,J.,A polynomial barrier algorithm for linearly constraints convex programming, Mathematics of Operations Research ,1993,18,116-127．
[46] Y. Ye and E. Tse .An extension of Karmarkar's projective algorithm for convex quadratic programming, Mathematical Programming,1989,44,157-179．
[47] 王宇,计算机优化同伦算法,大连:大连理工大学出版社,1991．
[48] Den Hertog ,D.,Roos ,C.and T. Terlaky ,A large-step analytic center method for a class of smooth convex programming problems ,SIAM Journal on Optimization, 1992,12,55-70．
[49] Den Hertog ,D.,Roos ,C.and T. Terlaky ,On the classical logarithmic barrier function method for a class of smooth convex programming problems Journal of Optimization Theory and Applications, 1992,173,1-25．
[50] Feng ,G.C,Lin Z.H. and Yu B., Existence of interior pathway to a Karush-Kuhn-Tucker point of a nonconvex programming problem,Nonlinear Analysis Jheory ,Method & Application,1998,32(6) ,761-768．
[51] Feng Guo-Chen and Yu Bo ,Combined homotopy interior point method for nonlinear programming problems, Advance in Numerical Mathematics ,Proceeding of the second Japan-China Seminar on Numerical Mathematics ,Lecture Notes in Num .Appl.Anal., 1995,14,9-16．
[52] 杨冰,刘朝阳,关于非线性规划的同伦算法与罚函数法,应用数学学报,1996,
[53] 林正华，于晓林，于波，连续方法求解约束凸规划问题，计算数学，1999，21，(3)，309～316．
[54] 王云诚，张立卫等，一般约束凸规划极大熵方法的收敛性，大连理工大学学报，1995，(35)，764～768．
[55] Lin. Z,B.Yu,andG.Feng, A combined homotopy interior point methed for convex nonlinear programming problems. Appl.mathematics and computation. 1997 ,84,193～211.
[56] 王则柯，高堂安，同伦方法引论，重庆：重庆出版社，1990．
[57] 林锉云，董加礼，多目标优化的方法与理论，吉林：吉林教育出版社，1992．
[58] Lin Z.H. and Li Y.,Homotopy method for solving variational inequalities, Journal of Optimization Theory and Applications, 1999,100(1),207～218.
[59] 冯果忱，非线性方程组迭代解法，上海：上海科学技术出版社，1989．
[60] 孔敏，沈祖和，解非线性方程组的极大熵方法，高等学校计算数学学报，1999，3(1)，1～7．
[61] 王宇，李兴斯，解非线性极大极小问题的路径跟踪算法，大连理工大学学报，1996，36(1)，14～18．
[62] 袁亚湘，非线性规划数值解法，上海：上海科技出版社，1993．
[63] 陈开周，最优化计算方法，西安：西安电子科技大学出版社，1984．
[64] 王云诚，系统优化的若干方法研究，大连理工大学博士论文，1999．
[65] Allgower. E.L,Georg. K,Numerical contiuation-methods:An introduction. Belin:springer-verlag 1990.
[66] Liu Zheng-hua Li Yong and Yu Bo .A combined homotopy interior point method for general nonlinear programming problems,Applied mathematics and computation, 1996, 80,209～224.
[67] 刘庆怀，林正华，求解多目标规划最小弱有效解的同伦内点算法，应用数学学报，2000，23(2)，188～195．
[68] 刘庆怀，董加礼，最优化问题中的同伦方法简介，东北运筹与应用数学，1998，3，1～3．
[69] 陈永，李立，张剑，严静，一种基于同伦函数的迭代法—同伦迭代法，2001，22(2)，149～156．
[70] 刘庆怀，解非凸规划问题的组合同伦内点法，吉林大学博士学位论文，1999．
[71] 张希，张可村，求解正定几何规划的同伦内点算法，计算数学，1996，3，225～232．
[72] 王云诚，系统优化的若干方法研究，大连理工大学博士论文，1999．
[73] 庄建南，多元函数总体极小的双参数广义填充函数法，高等学校计算数学学报，1994，16(3)，279～287．
[74] 孔敏．一类改进的非光滑规划的填充函数法．系统科学与数学，2000,20(2)，149～154．
[75] 李宝秀，沈愉．Lipschitz规划的填充函数法．系统科学与数学，1991，11(4)，346～348．
[76] 庄建南．求非光滑规划总体极小点的一类改进填充函数法，高等学校计算数学学报，1996，(2)，165～174．
[77] Ge R.P. and Qin. Y.F., A class of filled function for finding global minimizers of a function of several variables ,Journal of optimizition theory and applications, 1987,54 (2) ,241～252.
[78] H.Clarke .Optimizition and Nonsmooth Analysis,Wily ,New York, 1985.
[79] Wang D.Y and Sheng S.B ,A modified filled function method for finding a global minimizer of a function of several variables .Journal of computational mathematics, 1992,60-65.
[80] Ge R.P.,The theory of the filled function method for finding a global minimizer of a nonlinear constraints problem .Journal of computational mathematics, 1989.(5).
[81] Liu Xian,Finding Global Minima With a Computable Filled Function,Journal of global optimization, 2001,19:151-161.
[82] Zheng Xu,Hongxuan Huang and Panos M.and Chengxian xu ,Filled functions for unconstrained global optimization, Journal of global optimization, 2001,20,49～65.
[83] 应玫茜，魏权龄，非线性规划及其理论，北京：中国人民大学出版社，1994．
[84] 张乐友，刘三阳，求解多目标规划的一种连续同伦算法，(应用数学，录用)．
[85] 张乐友，刘三阳，求解非线性方程组的路径跟踪算法，(西安电子科技大学学报，录用)．
[86] 张乐友，刘三阳，葛泽慧，求解L—规划的改进的填充函数法，(已投高校计算数学学报)．
[87] 张乐友，刘三阳，改进熵函数的理论探讨与应用，(已投稿)．
[88] 张乐友，刘三阳，改进熵函数法在求解优化问题中的应用，(已投稿)．