两类新辅助方程及其应用
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摘要
非线性发展方程(组)的精确求解是孤立子理论中的一个重要研究课题。本文是继许多专家和学者的研究，对非线性发展方程(组)的精确求解进行了一些研究，得到一些有意义的结果。如对辅助方程法进行了扩展，并利用两类新的辅助方程的解给出了一些非线性发展方程(组)的新的精确孤立波解。全文主要由三部分组成。
第一章作为绪论介绍了发展方程、孤立子和非线性发展方程的精确求解方法等。
第二章介绍了用辅助方程法求解非线性发展方程(组)的精确孤立波解的具体步骤，并以(2+1)维Korteweg-de Vries方程组的精确求解为实例，说明了辅助方程法的应用。
第三章提出了两类新的辅助方程，并分别利用它们的解求出Boussinesq方程，修正的Benjamin-Bona-Mahony(mBBM)方程，Zakharov Kuznetsov方程，Korteweg-de Vries(KdV)方程，Korteweg-de Vries Burgers(KdV-Burgers)方程，修正的Kadomtsev-Petviashvili方程组，二维色散长波方程组，修正的Korteweg-de Vries(mKdV)方程等方程(组)的精确孤立波解。
Finding the exact solution of nonlinear evolution equations is one of very important topic in soliton theory. This paper is devoted to find the exact solutions of the nonlinear evolution equations. We have get some interested results: such as, extended the auxiliary equation method, and which is also used to find the exact solitary wave solution of some nonlinear evolution equations. This paper contains three parts.
Preface introduces the definition of evolution equation, the developments of soliton theory and some methods for finding the exact solutions of nonlinear evolution equations.
In part two, the steps of finding the exact solutions of the nonlinear evolution equations by using the auxiliary eqution method are introduced.
In part three , two class of new auxiliary equations are given, the solution of which is used to obtain the exact solitary wave solutions of some equations. For example, Boussinesq equation, modified Benjamin Bona Mahony eqution, Zakharov Kuznetsov equation, Korteweg-de Vries equation, Korteweg-de Vries Burgens eqaution, modified Kadomtsev-Petviashvili equations, two dimensional dispersive long wave equations, modified Korteweg-de Vries equation etc.
第一章作为绪论介绍了发展方程、孤立子和非线性发展方程的精确求解方法等。
第二章介绍了用辅助方程法求解非线性发展方程(组)的精确孤立波解的具体步骤，并以(2+1)维Korteweg-de Vries方程组的精确求解为实例，说明了辅助方程法的应用。
第三章提出了两类新的辅助方程，并分别利用它们的解求出Boussinesq方程，修正的Benjamin-Bona-Mahony(mBBM)方程，Zakharov Kuznetsov方程，Korteweg-de Vries(KdV)方程，Korteweg-de Vries Burgers(KdV-Burgers)方程，修正的Kadomtsev-Petviashvili方程组，二维色散长波方程组，修正的Korteweg-de Vries(mKdV)方程等方程(组)的精确孤立波解。
Finding the exact solution of nonlinear evolution equations is one of very important topic in soliton theory. This paper is devoted to find the exact solutions of the nonlinear evolution equations. We have get some interested results: such as, extended the auxiliary equation method, and which is also used to find the exact solitary wave solution of some nonlinear evolution equations. This paper contains three parts.
Preface introduces the definition of evolution equation, the developments of soliton theory and some methods for finding the exact solutions of nonlinear evolution equations.
In part two, the steps of finding the exact solutions of the nonlinear evolution equations by using the auxiliary eqution method are introduced.
In part three , two class of new auxiliary equations are given, the solution of which is used to obtain the exact solitary wave solutions of some equations. For example, Boussinesq equation, modified Benjamin Bona Mahony eqution, Zakharov Kuznetsov equation, Korteweg-de Vries equation, Korteweg-de Vries Burgens eqaution, modified Kadomtsev-Petviashvili equations, two dimensional dispersive long wave equations, modified Korteweg-de Vries equation etc.
引文
[1] Russell J. S. Reports on waves[J], Edinburgh: Proc. Royal. Soc. 1844, 311-390.
[2] Zabusky N. J. and Kruskal M.D., Interaction ofsolition in a collisions plasma and the recurrence of initial states[J], Phys, Rev. Lett., 1965,15: 240-243.
[3] Gardener C.S.,Greene J.M.,Kruskal M.D.and Miura R.M.,Method for Soving the korteweg-de equation[J],Phys.Rev.Lett., 1967,19:1095-1097; Korteweg-de Vries and generalizations VI,Methods for exact solutions[J], Commun. Pure Appl. Math., 1974, 27: 97-133.
[4] 田畴，广义KP方程和广义Miura变换[J]，科学通报，1988，2：84-88：不同的演化方程之间的Bcklund变换[J]．科学通报，1987，21：1601-1605．
[5] 李翊神，孤子与可积系统[M]，上海科技教育出版社，1999．
[6] 王明亮，李志斌，周宇斌，齐次平衡原则及其应用[J]，兰州大学学报(自然科学版)1999，3：8-15．
[7] 张辉群，齐次平衡法的扩展及其应用[J]，数学物理学报，2001，3：321-325．
[8] 范恩贵，张鸿庆，齐次平衡法若干新应用[J]，数学物理学报，1999，19：286-292．
[9] 斯仁道尔吉，齐次平衡法的一个新应用[J]，内蒙师大学报，2001．4：1-4．
[10] 李志斌，张善卿，非线性波动方程孤立波解的符号计算[J]，数学物理学报．1997．1：81-89．
[11] 斯仁道尔吉，双曲正切函数法的两种推广[J]，内蒙师大学报，2001，3：4-10．
[12] 尚亚东，几个非线性演化方程的准确孤立波解[J]，宁夏大学学报，1999．1：22-25．
[13] Yan C T. A simple transformation for nonlinear waves[J]. Phys, Lett. A. 1996. 224: 77-84.
[14] 刘式适等，Jacobi椭圆函数展开法及其在解非线性波动方程中的应用[J]，物理学报．2001，11：2068-2073．
[15] 张善卿，李志斌，Jacobi椭圆函数展开法的新应用[J]，物理学报，2003．(52)5：1066-1069．
[16] 刘式适等，变系数非线性方程的Jacobi椭圆函数展开解[J]，物理学报，2002．9：1923-1926．
[17] 斯仁道尔吉，辅助方程法与非线性发展方程的孤立波解[J]，内蒙古师范大学学报，2003，1：1-6．
[18] 斯仁道尔吉，广义Pochhammr-Chhree方程的新孤立波解[J]，内蒙古师范大学学报自然科学(蒙文)版，2003，2：1-3．
[19] 套格图桑，斯仁道尔吉，新辅助方程与非线性发展方程的孤立波解[J]，内蒙古师范大学学报．2003，4：316-323．
[20] Weiss J, Tabor M.and Catnevale G.The Painleve property for partial differential equations[J], Math. Phys. 1983, 24: 522-526.
[21] PENG Yan-Ze, New Bcklund transformation and new exact solutions to (2+1)-Dimensional KdV equation[J], Commun. Theor. Phys.(China)40(2003): 257-258.
[22] 刘式适，刘式达．物理学中的非线性方程[M]，北京大学出版社，2000．
[23] 刘式适等，函数和非线性演化方程的多级准确解的不变性[J]，物理学报，2003．8： 1842-1848．
[24] HUANG Wen-Hua, YU Dang-Jun, and JIN Mei-Zhen, Some special types of multisoliton solution of the modified Kadomtsev-Petviashvili equation[J],Commun. Theor. Phys. (China)40(2003): 262-264.
[25] 斯仁道尔吉，二维色散长波方程组的新的精确孤立波解[J]，内蒙古大学学报，2002，5： 483-490．
[26] 尚亚东，组合BBM与修正BBM方程的精确解[J]，纺织高校基础科学学报，1998，2：
138-142．
[27] 郭柏灵，非线性演化方程[M]，上海科技教育出版社，1995．
[28] 黄文华，褚玉才，变形映射法求方程的显式精确行波解[J]，宜春学院学报，2003，5：22-24．
[29] 刘春平，张丹，Burgers-KdV混合型方程的显式精确解[J]，高校应用数学学报，1998，1：1-4．
[30] 韩家骅等，KdV方程的精确解析解[J]，安徽大学学报，2002，3：44-50．
[31] Calagero F and Degasperis A, Nonlinear evolution equations solvable by the inverse scattering transform [J], Nuovo Cimento,B, 1976, 32(2): 201-242.
[32] Lou S Y. Painlevé test for the integrable dispersive long wave equations in two space dimensions[J], Phys. Lett, A, 1993, 17: 96-100.
[2] Zabusky N. J. and Kruskal M.D., Interaction ofsolition in a collisions plasma and the recurrence of initial states[J], Phys, Rev. Lett., 1965,15: 240-243.
[3] Gardener C.S.,Greene J.M.,Kruskal M.D.and Miura R.M.,Method for Soving the korteweg-de equation[J],Phys.Rev.Lett., 1967,19:1095-1097; Korteweg-de Vries and generalizations VI,Methods for exact solutions[J], Commun. Pure Appl. Math., 1974, 27: 97-133.
[4] 田畴，广义KP方程和广义Miura变换[J]，科学通报，1988，2：84-88：不同的演化方程之间的Bcklund变换[J]．科学通报，1987，21：1601-1605．
[5] 李翊神，孤子与可积系统[M]，上海科技教育出版社，1999．
[6] 王明亮，李志斌，周宇斌，齐次平衡原则及其应用[J]，兰州大学学报(自然科学版)1999，3：8-15．
[7] 张辉群，齐次平衡法的扩展及其应用[J]，数学物理学报，2001，3：321-325．
[8] 范恩贵，张鸿庆，齐次平衡法若干新应用[J]，数学物理学报，1999，19：286-292．
[9] 斯仁道尔吉，齐次平衡法的一个新应用[J]，内蒙师大学报，2001．4：1-4．
[10] 李志斌，张善卿，非线性波动方程孤立波解的符号计算[J]，数学物理学报．1997．1：81-89．
[11] 斯仁道尔吉，双曲正切函数法的两种推广[J]，内蒙师大学报，2001，3：4-10．
[12] 尚亚东，几个非线性演化方程的准确孤立波解[J]，宁夏大学学报，1999．1：22-25．
[13] Yan C T. A simple transformation for nonlinear waves[J]. Phys, Lett. A. 1996. 224: 77-84.
[14] 刘式适等，Jacobi椭圆函数展开法及其在解非线性波动方程中的应用[J]，物理学报．2001，11：2068-2073．
[15] 张善卿，李志斌，Jacobi椭圆函数展开法的新应用[J]，物理学报，2003．(52)5：1066-1069．
[16] 刘式适等，变系数非线性方程的Jacobi椭圆函数展开解[J]，物理学报，2002．9：1923-1926．
[17] 斯仁道尔吉，辅助方程法与非线性发展方程的孤立波解[J]，内蒙古师范大学学报，2003，1：1-6．
[18] 斯仁道尔吉，广义Pochhammr-Chhree方程的新孤立波解[J]，内蒙古师范大学学报自然科学(蒙文)版，2003，2：1-3．
[19] 套格图桑，斯仁道尔吉，新辅助方程与非线性发展方程的孤立波解[J]，内蒙古师范大学学报．2003，4：316-323．
[20] Weiss J, Tabor M.and Catnevale G.The Painleve property for partial differential equations[J], Math. Phys. 1983, 24: 522-526.
[21] PENG Yan-Ze, New Bcklund transformation and new exact solutions to (2+1)-Dimensional KdV equation[J], Commun. Theor. Phys.(China)40(2003): 257-258.
[22] 刘式适，刘式达．物理学中的非线性方程[M]，北京大学出版社，2000．
[23] 刘式适等，函数和非线性演化方程的多级准确解的不变性[J]，物理学报，2003．8： 1842-1848．
[24] HUANG Wen-Hua, YU Dang-Jun, and JIN Mei-Zhen, Some special types of multisoliton solution of the modified Kadomtsev-Petviashvili equation[J],Commun. Theor. Phys. (China)40(2003): 262-264.
[25] 斯仁道尔吉，二维色散长波方程组的新的精确孤立波解[J]，内蒙古大学学报，2002，5： 483-490．
[26] 尚亚东，组合BBM与修正BBM方程的精确解[J]，纺织高校基础科学学报，1998，2：
138-142．
[27] 郭柏灵，非线性演化方程[M]，上海科技教育出版社，1995．
[28] 黄文华，褚玉才，变形映射法求方程的显式精确行波解[J]，宜春学院学报，2003，5：22-24．
[29] 刘春平，张丹，Burgers-KdV混合型方程的显式精确解[J]，高校应用数学学报，1998，1：1-4．
[30] 韩家骅等，KdV方程的精确解析解[J]，安徽大学学报，2002，3：44-50．
[31] Calagero F and Degasperis A, Nonlinear evolution equations solvable by the inverse scattering transform [J], Nuovo Cimento,B, 1976, 32(2): 201-242.
[32] Lou S Y. Painlevé test for the integrable dispersive long wave equations in two space dimensions[J], Phys. Lett, A, 1993, 17: 96-100.